Primzahlen 1-100
a) Primzahlmuster
c) 2 PZ-Reihen
auf dem Oktaeder
a) Primzahlmuster
1.
Das grundlegende Primzahlmuster, das sich nach jeweils 30 Zahlen wiederholt, habe
ich bereits vor Jahren dargelegt. Aus diesem Muster fallen die Primzahlen 2, 3 und 5 heraus. Zwischen 1 und 100 gibt es demnach 3+23 Primzahlen. Hier soll
die Ordnung der 23 Primzahlen untersucht werden:
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In horizontaler Ansicht besteht das Primzahlmuster 1-30 aus viermal je zwei Zahlen, deren Summen jeweils durch 12 teilbar sind und sich konzentrisch zweimal zu 60 ergänzen:
sm |
12 |
36 |
24 |
48 |
120 |
/12 |
1 |
3 |
2 |
4 |
10 |
Mit jeder Wiederholung nach drei Zehnereinheiten wächst die Zahl um 8*30 = 240, sofern nicht eine oder mehrere Positionen von zusammengesetzten Zahlen besetzt sind. Demnach müßte die Summe der ersten drei Durchgänge (1-90) 120+360+600 = 1080 betragen. 49+77 = 126 sind jedoch abzuziehen, was 954 ergibt. Vom vierten Durchgang gehört nur die erste Zehnereinheit mit der Primzahl 97 zu 1-100.
2.
Die 8 Primzahlen ergeben in konzentrischer Addition
viermal jeweils 30:
1 |
7 |
11 |
13 |
29 |
23 |
19 |
17 |
30 |
30 |
30 |
30 |
3.
Die Primzahlen 2, 3, 5 regulieren den Abstand
zwischen den 8 Positionen des PZ-Musters, das in zwei Reihen im Abstand
von jeweils 2*3 = 6 verläuft, wenn man die Zahl 5 als Ausgangszahl der
zweiten Reihe nimmt:
1 |
|
7 |
|
13 |
|
19 |
|
(25) |
|
40 |
|
(5) |
|
11 |
|
17 |
|
23 |
|
29 |
80 |
Zwei Zahlen mit gleicher Einerstelle gehören je einer Reihe an, z.B. 1 und 11, die Differenz ist jeweils 10, ihr Additionsergebnis 12. Nach regulärer Primzahlordnung treten Primzahlen mit derselben Einerziffer stets paarweise in zwei aufeinander folgenden Zehnereinheiten auf. Von 1-100 gibt es 10 solcher Primzahlpaare:
1 |
11 |
31 |
41 |
61 |
71 |
216 |
13 |
23 |
43 |
53 |
73 |
83 |
288 |
7 |
17 |
37 |
47 |
|
|
108 |
19 |
29 |
79 |
89 |
|
|
216 |
40 |
80 |
190 |
230 |
134 |
154 |
828 |
230:368:230 = 23*(10:16:10) = 23*36 |
||||||
432:396
= 36*(12:11) |
Von 1-1000 sind es 51 Zahlenpaare, es verbleiben 67 Einzelprimzahlen mit dem Durchschnittswert 12*43 = 516. Näheres erfahren Sie in diesem Kapitel.
Die beiden Reihen treffen in ihren 6-er Abständen vermehrt auf zusammengesetzte Zahlen, z.B. 25.
1.
Die Wiederholung des Primzahlmusters begründet sich
darin, daß die Zahl 3 erstmals nach 0
auftritt und nach 10 3-er Einheiten zum Ausgangspunkt (3)0 zurückkehrt. Die Positionen der beiden
Primzahlreihen sind jeweils abwechselnd die 1. und 2. Zahl nach einer durch 3
teilbaren Zahl. Einer Primzahl der 1. Reihe geht – nach der ersten 3 – jeweils eine durch 2*3 teilbare Zahl (6, 12,
18) voraus,
eine Primzahl der 2. Reihe überspringt die gerade Zahl nach der ersten 3 und setzt die Reihe in
6-er Schritten fort:
Reihe1 |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
– |
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|
|
|
|
Pos. |
|
1. |
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
Pos. |
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
2. |
|
Reihe2 |
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|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
Der Abstand zwischen der 1. Zahl nach Teilbarkeit durch 3 und der 2. Zahl nach folgender Teilbarkeit durch 3 ist 4 (1+5; 4+8). Die Addition der 1. und 2. Zahl ist daher immer durch 6 oder ein höheres Vielfaches von 6, z.B. 1+5 = 6, 11+13 = 24 teilbar.
2.
Die Summe 1051 der 23 Primzahlen ist selbst eine Primzahl, wie auch 1061 unter Einschluß der drei
Primzahlen 2, 3, 5.
Die ersten zwei horizontalen Reihen sind vollständig, genügen also der Zuwachsregel, also für die erste Reihe: 12+(12+60)+(12+120) = 216.
Die Ordnung der horizontalen Summen wird erkennbar, wenn man ihre Faktorenwerte (FW) ermittelt und sie dazuzählt:
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1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
216 |
288 |
272 |
275 |
1051 |
FW |
15 |
16 |
25 |
21 |
77 |
|
231 |
304 |
297 |
296 |
1128 |
1128 = 24*47 |
|||||
231:297 = 33*(7:9)
= 528 |
|||||
304:296 = 8*(38:37)
= 600 |
In den Gruppierungen 1+3 und 2+4 haben die Summen das Verhältnis 528:600 = 24*(22:25). Die Verhältniszahlen 22:25 betreffen den Doppelaspekt von zwei Figuren aus zwei und drei Achsen, die 4+6 = 10 Maßeinheiten des Dezimalsystems grundlegen und von 12 bzw. 15 Punkten (bei einem Mittelpunkt je Achse) begrenzt werden:
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Zählt man für jede Achse einen Mittelpunkt, sind 3 Punkte mehr zu zählen:
ME |
10 |
10 |
20 |
Pu. |
12 |
15 |
27 |
|
22 |
25 |
47 |
Auch die Zahl 47 selbst hat mit einem Doppelaspekt zu tun. Die Einzelziffern ihrer Konstitutivzahlen 23+24 sind auf 5 Durchmesser- und 2*3 Radialelemente der Kreisachse zu beziehen:
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Die Zahl 47 bildet die Mitte der 21 Primzahlen von 11-97, deren Summe 1043 = 7*149 beträgt. Die Summe der ersten 11 Primzahlen ist 7*47, woraus sich das Verhältnis 7*(47:102) für 11:10 Primzahlen ergibt.
3.
Die Summe 120 der 8 Primzahlen des ersten
Primzahldurchgangs zeigt durch die Produktzahlen 10*12 die konkurrierenden Zählsysteme von 10-er und 12-er Einheiten, die im Tetraktysstern eine wesentliche
Grundlage besitzen. 120 ist die Summe der Zahlen 1-15, 15 die Summe der Zahlen 1-5, die sowohl die Elemente der Kreisachse bilden als auch die Radialelemente
einer Seite der Zickzacklinie der Doppelraute im Tetraktysstern:
|
4.
Das Flächenverhältnis der beiden
konzentrischen Kreise des Tetraktyssterns beträgt 1:3. Die geometrischen Elemente des Hexagons und
seiner Erweiterung sind in analoger Weise auf dieses Flächenverhältnis
hingeordnet. So bedeuten etwa 2:4 Radialmaße der Doppelraute-Zickzacklinie das
Flächenverhältnis 1:3.
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Die Primzahlen 2,3, 5 sind als Radialelemente der DR-Zickzacklinie anzusehen:
|
5 erweist sich als Summe von 3+2 Radialelementen und übernimmt als Ausgangszahl der zweiten Primzahlreihe eine Sonderaufgabe.
5.
Das Primzahlmuster der in 6-er Abständen erfolgenden zwei Reihen kann endlos
fortgesetzt werden. Es seien hier die ersten 4*8 Reihen dokumentiert, vertikal geordnet nach den
Einerstellen 1, 3, 7, 9:
1. |
1 |
31 |
61 |
151 |
244 |
|
|
|
11 |
41 |
71 |
101 |
224 |
468 |
36*13 |
2. |
13 |
43 |
73 |
103 |
232 |
|
|
|
23 |
53 |
83 |
113 |
272 |
504 |
72*7 |
3. |
7 |
37 |
67 |
97 |
208 |
|
|
|
17 |
47 |
107 |
137 |
308 |
516 |
12*43 |
4. |
19 |
79 |
109 |
139 |
346 |
|
|
|
29 |
59 |
89 |
149 |
326 |
672 |
96*7 |
|
120 |
390 |
660 |
990 |
2160 |
|
|
Jedes Zahlenpaar ist mindestens durch 6 teilbar, z.B. 67+107 = 174 = 6*29, häufiger durch 12 oder ein Mehrfaches von 6. Die Summen der 1. und 3. sowie 2. und 4. Doppelreihe sind durch 24 teilbar: 984:1176 = 24*(41:49), das Verhältnis der 2. zur 4. Doppelreihe 504:672 ist 7*24*(3:4) = 168*7.
Die ersten drei vertikalen Summen bilden mit der vierten das Verhältnis 1170:990 = 90*(13:11) = 90*24.
6.
Die beiden
Reihen verlaufen weder genau parallel noch halten sie Summengleichheit – mit
einer staunenswerten Ausnahme: Mit der Zahl 5 besteht von 1-100 jede Reihe aus 12 Primzahlen und derselben Summe 528 = 48*11 = FW 11+11 = 22:
1 |
7 |
13 |
19 |
31 |
37 |
43 |
61 |
67 |
73 |
79 |
97 |
528 |
5 |
11 |
17 |
23 |
29 |
41 |
47 |
53 |
59 |
71 |
83 |
89 |
528 |
Die Einzelziffern der Summen 528
geben 7 Punkte und 8
Linien des DR-Rahmens wieder. Die beiden Summen sind also wieder
auf die Bildung des Oktaeders ausgerichtet, der aus 4
Rauten mit je 11 Elementen zusammensetzbar
ist. Dem entspricht die FW-Summe 44.
Näheres dazu habe ich in einer früheren
Untersuchung ausgeführt.
Die außergewöhnliche Summengleichheit der Primzahlen von 1-100 hat eine plausible Begründung in den 10+10 Punkten von zwei Tetraktys, und 100 ist 10*10.
7.
Auf die systemrelevante Bedeutung der Zahl 120 ist noch vertieft einzugehen. 120 ist aufteilbar in die
Faktoren (3*4)*(2*5), die FW sind 7+7 = 14. Die Faktoren lassen sich als Punkte zweier DR in einem DR-Kreuz eintragen und zu einem
Oktaeder zusammenfügen:
|
Die
Ausrichtung der Zahl 120 auf das DR-Kreuz zeigt sich in der Hinzufügung
ihres FW 14
und im Ergebnis 134, dessen Einzelziffern
als Gleichung 1+3
= 4 die Punkte zweier Rauten wiedergeben:
|
|
134 ist Summe von 2*67, deren Einzelziffern als je 6 Binnenelemente und 7 Punkte einer DR verstanden werden können.
Erstellt: Juni, August 2019