Primzahlen
1-100
1.
Das grundlegende Primzahlmuster, das sich nach jeweils 30 Zahlen wiederholt, habe
ich bereits vor Jahren dargelegt. Aus diesem Muster fallen die Primzahlen 2, 3 und 5 heraus. Zwischen 1 und 100 gibt es demnach 3+23 Primzahlen. Hier soll
die Ordnung der 23 Primzahlen untersucht werden:
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In horizontaler Ansicht besteht das Primzahlmuster 1-30 aus viermal je zwei Zahlen, deren Summen jeweils durch 12 teilbar sind:
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sm |
12 |
36 |
24 |
48 |
120 |
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/12 |
1 |
3 |
2 |
4 |
10 |
Mit jeder Wiederholung nach drei Zehnereinheiten wächst die Zahl um 8*30 = 240, sofern nicht eine oder mehrere Positionen von zusammengesetzten Zahlen besetzt sind. Demnach müßte die Summe der ersten drei Durchgänge (1-90) 120+360+600 = 1080 betragen. 49+77 = 126 sind jedoch abzuziehen, was 954 = 18*53 ergibt. Vom vierten Durchgang gehört nur die erste Zehnereinheit zu 1-100.
2.
Die 8 Primzahlen ergeben in konzentrischer Addition
viermal jeweils 30:
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1 |
7 |
11 |
13 |
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29 |
23 |
19 |
17 |
3.
Die Primzahlen 2, 3, 5 regulieren den Abstand
zwischen den 8 Positionen des PZ-Musters, das in zwei Reihen im Abstand
von jeweils 2*3 = 6 verläuft, wenn man die Zahl 5 als Ausgangszahl der
zweiten Reihe nimmt:
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1 |
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7 |
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13 |
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19 |
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(25) |
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40 |
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(5) |
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11 |
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17 |
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23 |
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29 |
80 |
Zwei Zahlen mit gleicher Einerstelle gehören je einer Reihe an, z.B. 1 und 11, die Differenz ist jeweils 10. Die beiden Reihen treffen in ihren 6-er Abständen auch auf zusammengesetzte Zahlen, z.B. 25.
4.
Die Summe 1051 der 23 Primzahlen ist selbst eine Primzahl, wie auch 1061 unter Einschluß der
drei Primzahlen 2, 3, 5.
Die ersten zwei horizontalen Reihen sind vollständig, genügen also der Zuwachsregel, also für die erste Reihe: 12+(12+60)+(12+120) = 216.
Die Ordnung der horizontalen Summen wird erkennbar, wenn man ihre Faktorenwerte (FW) ermittelt und sie dazuzählt:
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1 |
2 |
3 |
4 |
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216 |
288 |
272 |
275 |
1051 |
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FW |
15 |
16 |
25 |
21 |
77 |
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231 |
304 |
297 |
296 |
1128 |
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1128 = 24*47 |
|||||
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231:297 = 33*(7:9) = 528 |
|||||
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304:296 = 8*(38:37) = 600 |
|||||
In den Gruppierungen 1+3 und 2+4 haben die Summen das Verhältnis 528:600 = 24*(22:25). Die Verhältniszahlen 22:25 betreffen den Doppelaspekt von zwei Figuren aus zwei und drei Achsen, die 10 Maßeinheiten des Dezimalsystems grundlegen und von 12 bzw. 15 Punkten (bei einem Mittelpunkt je Achse) begrenzt werden:
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Zählt man für jede Achse einen Mittelpunkt, sind 3 Punkte mehr zu zählen:
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ME |
10 |
10 |
20 |
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Pu. |
12 |
15 |
27 |
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22 |
25 |
47 |
Auch die Zahl 47 selbst hat mit einem Doppelaspekt zu tun. Die Einzelziffern ihrer Konstitutivzahlen 23+24 sind auf 5 Durchmesser- und 2*3 Radialelemente der Kreisachse zu beziehen:
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Die Zahl 47 bildet die Mitte der 21 Primzahlen von 11-97, deren Summe 1043 = 7*149 beträgt. Die Summe der ersten 11 Primzahlen ist 7*47, woraus sich das Verhältnis 7*(47:102) für 11:10 Primzahlen ergibt.
5.
Schließlich ist auf den Tetraktysstern zu verweisen, das geometrische Grundmodell des
Dezimalsystems. Das Flächenverhältnis seiner beiden
konzentrischen Kreise beträgt 1:3. Die geometrischen Elemente des Hexagons und seiner
Erweiterung sind in analoger Weise auf dieses Flächenverhältnis hingeordnet. So
bedeuten etwa – nach obiger Zuordnung – 2:4 Radialmaße der Doppelraute-Zickzacklinie das
Flächenverhältnis 1:3.
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Die Primzahlen 2,3, 5 sind als Radialelemente der DR-Zickzacklinie anzusehen:
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6.
Das Primzahlmuster der in 6-er Abständen erfolgenden zwei
Reihen kann endlos fortgesetzt werden. Es seien hier die ersten 4*8 Reihen dokumentiert,
geordnet nach den Einerstellen 1, 3, 7, 9:
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1 |
31 |
61 |
151 |
244 |
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11 |
41 |
71 |
101 |
224 |
468 |
36*13 |
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13 |
43 |
73 |
103 |
232 |
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23 |
53 |
83 |
113 |
272 |
504 |
72*7 |
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7 |
37 |
67 |
97 |
208 |
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17 |
47 |
107 |
137 |
308 |
516 |
12*43 |
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19 |
79 |
109 |
139 |
346 |
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|
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29 |
59 |
89 |
149 |
326 |
672 |
96*7 |
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120 |
390 |
660 |
990 |
2160 |
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Jedes Zahlenpaar ist mindestens durch 6 teilbar, z.B. 67+107 = 174 = 6*29, häufiger durch 12 oder ein Mehrfaches von 6. Die Summen der oberen und unteren beiden Reihen sind 468+504 = 972 = 9*108 und 516+672 = 1188 = 11*108 oder 12*(81:99) = 12*180.
Die ersten drei vertikalen Summen bilden mit der vierten das Verhältnis 1170:990 = 90*(13:11) = 90*24.
7.
Bis zur Zahl 1000 ermöglichen 18*8 = 144 Primzahlen 18 Durchgänge mit der Gesamtsumme 55980 = 18*3110. Es bleiben 22+3 = 25 Primzahlen übrig. Die
Quadratzahlen 12²+5² = 13² entsprechen dem Satz des Pythagoras von rechtwinkligen
Dreiecken. Der letzte Durchgang und die 22 restlichen Primzahlen sind:
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811 |
991 |
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821 |
881 |
911 |
941 |
971 |
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823 |
853 |
883 |
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773 |
863 |
983 |
953 |
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757 |
787 |
877 |
907 |
937 |
967 |
997 |
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827 |
857 |
887 |
947 |
977 |
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919 |
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809 |
839 |
929 |
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Die Gesamtsumme der 169 Primzahlen beträgt 76128 = 96*13*61 >FW 87, die der 13+9 Zahlen der 1. und 2. Reihe 11939+8199 = 20138 = 2*10069. Es fehlen noch die aus dem Muster herausfallenden Primzahlen 2, 3 und 5, die nach Bedarf den beiden Einzelergebnissen komplementär hinzugefügt werden können. Hier ist 11939+2+5 = 11946 = 6*11*181 >197 und 8199+3 = 8202 = 6*1367 >FW 1372 zu ergänzen. Die Differenz zwischen beiden ergänzten Summen beträgt 3744 = 96*3*13 >29. Wenn 20148-3744 = 16404 zur Summe 55980 der 18 Durchgänge hinzugefügt wird, ergibt sich das Verhältnis 72384:3744 = 96*13*(58:3).
Es gibt vermutlich mehrere komplementäre Kombinationen. Eine ist auffällig: Das Muster der zweiten Reihe 11, 13, 17, 19 ergibt bis 1000 22+20+22+18 = 82 Primzahlen mit der Summe 37698 = 6*61*103, das Muster der ersten und dritten Reihe 19+24+21+20 = 84 Primzahlen mit der Summe 38420. Die Primzahlen 2, 3, 5, die ja zur ersten Reihe gehören, erhöhen die Summe auf 38430 = 6*61*105. Die Zahlen 103 und 105 sind konstitutiv für ihre Summe 208 = 16*13.
Auch die Gesamtsummen der ersten und zweiten Reihe erhalten durch komplementäre Hinzufügungen ein Zahlenverhältnis: 36669+3 = 36672 = 96*382, 39449+7 = 39456 = 96*411.
Erstellt: Juni 2019