Primzahlpaare mit gleicher Endziffer

in aufeinander folgenden Zehnereinheiten

1.      Dieses Kapitel setzt die Ausführungen über die in 30-er Einheiten wiederkehrende Primzahlordnung (s. Grafik) fort. Die erste 30-er Einheit zeigt vier Zahlenpaare mit jeweils gleichen Endziffern 1, 3, 7 und 9. Im weiteren Verlauf wird diese Parallelität vermehrt durchbrochen durch zusammengesetzte Zahlen. Die Parallelität ergibt sich aus zwei Zahlenreihen im 6-er Abstand mit den Ausgangszahlen 1 und 5. Da aber 5 nicht zum eigentlichen Primzahlmuster gehört, beginnt die zweite Reihe mit der Zahl 11.

1

 

7

 

13

 

19

 

(25)

 

40

 

(5)

 

11

 

17

 

23

 

29

80

Die Primzahlen der zweiten Reihe sind stets um 10 höher als die der ersten Reihe (1-11, 7-17). In den folgenden Tabellen werden die Primzahlpaare von 1-1000 und die verbleibenden Einzelprimzahlen dargestellt:

1

31

61

181

241

271

421

631

691

751

811

 

 

 

 

11

4091

11

41

71

191

251

281

431

641

701

761

821

 

 

 

 

 

4201

13

43

73

103

163

223

283

373

433

643

673

733

853

 

 

13

4609

23

53

83

113

173

233

293

383

443

653

683

743

863

 

 

 

4739

7

37

97

127

157

307

337

457

547

577

607

787

877

937

967

15

6825

17

47

107

137

167

317

347

467

557

587

617

797

887

947

977

 

6975

19

79

139

229

349

379

409

439

499

709

829

919

 

 

 

12

4998

29

89

149

239

359

389

419

449

509

719

839

929

 

 

 

 

5118

4500

18960

18096

51

41556

18960 = 40*6*79 = 40*474; 18096 = 48*13*29; 41556 = 12*3463 = FW 3470

Von 1-1000 gibt es 51 Primzahlpaare im Abstand von 10 und bei gleichen Endziffern. Summen wurden zweimal von je 40 Zahlen erstellt, übrig bleiben 22 Zahlen. Eine wiederkehrende Eigenschaft des Dezimalsystems sind Umkehrungen, wie sie sich hier überraschend in den Summen 18960 und 18096 zeigen. Die Summe aller 169 Primzahlen von 1-1000 ist 76128 = 2*48*13*61. Daher ergibt sich ein Teilverhältnis von 18096:57168 = 48*13*(29:93) = 624*122.

Die Gesamtsumme 41556 beschränkt sich mit dem Faktor 12 auf das Wesentliche der Primzahlpaare: Jedes Paar ist durch 12 teilbar. Die Primzahl 3463 ist auf den Tetraktysrahmen beziehbar: auf 4 Punkte für jede einzelne Seite, zusammen 12, und – als gesamter Rahmen – 6 hexagonale Punkte +3 Eckpunkte. Daraus ergibt sich das Verhältnis 12:21 = 3*(4:7), das im FW 3470 abgebildet erscheint:

3463 weist ebenso auf 4*3 "Dachelemente" und 9 Achsenelemente der Doppelraute (DR) hin.

Eine Parallele zu den 51 Primzahlpaaren bilden die 8 verschiedenen Buchstaben des SATOR-Quadrats in dem Wort PENSATORder Wiegende, im Gleichgewicht Haltende, der Vergeltende: Je vier Buchstaben haben die Zahlensumme (ZS) 51. Die Zahl ist am ehesten drei "Fischfiguren" der Tetraktys zuzuordnen, von denen jede aus 17 Elementen besteht: 6 Punkten, 8 Linien, 3 Flächen. Die 3 Flächen sind auf die drei göttlichen Personen beziehbar.

2.      Um – entsprechend den beiden Tetraktys – ein spiegelsymmetrisches Gleichgewicht herzustellen, werden die Zahlen der zweiten Reihe vom Ende der ersten her angeordnet. In 6 Reihen befinden sich jeweils 17 Zahlen:

1

7

13

19

31

37

43

61

73

79

97

103

127

139

157

163

181

14496

96*151

977

947

929

887

863

839

821

797

761

743

719

701

683

653

641

617

587

223

229

241

271

283

307

337

349

373

379

409

421

433

439

457

499

547

12564

36*349

557

509

467

449

443

431

419

389

383

359

347

317

293

281

251

239

233

577

607

631

643

673

691

709

733

751

787

811

829

853

877

919

937

967

14496

96*151

191

173

167

149

137

113

107

89

83

71

53

47

41

29

23

17

11

2526

2472

2448

2418

2430

2418

2436

2418

2424

2418

2436

2418

2430

2418

2448

2472

2526

41556

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

 

 

Das Ergebnis sind spiegelsymmetrisch gleiche Vertikalsummen und zwei gleiche Horizontalsummen. Die Summe 2418 = 6*13*31 ist auf jeder Symmetriehälfte dreimal vertreten, die übrigen 5 Summen einmal. Die Summen spiegelsymmetrischer Hälften sind gleich. Z.B. die Summen der ersten Hälfte der ersten Reihe und der zweiten Hälfte der dritten Reihe sind jeweils 7272, die zwei diagonalen anderen jeweils 6390. 14496 steht durch die Teilungszahl 96 in einem Verhältnis zur Gesamtsumme 76128 = 96*13*61 der 169 Primzahlen von 1-1000.

Der Primzahlfaktor 151 verweist auf 5+2 Punkte der Doppelraute (DR), 349 auf 3*4 Punkte des Tetraktysrahmens + 9 Linien (s.o.) und 4*3 "Dachelelemente" der DR + 9 Achsenelemente:

Die Faktoren 21*31 der Summe 651 der drei dreistelligen Primzahlen 151+349+151 geben in ihren Einzelziffern die beiden Kreisflächenverhältnisse der beiden Tetraktyskreise wieder.

In der DR lassen sich von den beiden äußeren Punkten 2 "Fischfiguren" aus jeweils 17 Elementen erkennen:

Das obere hexagonale Doppeldreieck wird um 4 Elemente erweitert. In jeder der drei DR des Tetraktyssterns können somit zwei Primzahlreihen untergebracht werden:

Die Anordnung der Zahlen beginnt von den äußeren Eckpunkten aus. Statt der einzelnen Zahlen ist die Summe von 4 Zahlen angegeben entsprechend den 4 Erweiterungselementen, z.B. 1+7+13+19 = 40; 11+17+23+29 = 80. Die Zahlen der ersten Reihe sind von vorne, die der zweiten Reihe von hinten der Tabelle zu entnehmen.

Nun können die ZS der beiden von oben nach unten (A) und von unten nach oben (B) verlaufenden Tetraktys ermittelt werden. Gemeinsame Summe ist jeweils 34512 = 48*719 >730:

 

A

B

sm

FW

ZS

3542

3502

7044

12+587

ZS

34512

34512

 

 

 

38054

38014

76068

2123

FW

414

314

728

26

sm

 

 

 

2149

76068 = 36*2113; 728 = 56*13

2149 = 7*307 >314

Den Einzelziffern des Faktors 2113 entsprechen wieder die beiden Kreisflächenverhältnisse. Auf die Elemente der DR bezogen bedeuten 21 Elemente der ganzen DR zu 13 Elementen des hexagonalen Bereiches das Kreisflächenverhältnis 3:1. 314 ist als p 3,14 bekannt und charakterisiert den Kreis durch zwei Kreisbogenhälften:

Die Summen der 51 Primzahlpaare in Doppelrauten + Tetraktys können nach Punkten, Linien und Flächen ermittelt werden und sind in einem Zusatzbeitrag behandelt.

64 EINZELPRIMZAHLEN

1.      Die folgenden 64 Einzelprimzahlen sind nach 1. und 2. Reihe gruppiert. Auch hier ist die Summe der zweiten Reihe höher als die der ersten:

151

211

331

541

571

601

661

991

 

 

 

8

4058

193

313

463

523

613

823

883

 

 

 

 

7

3811

67

277

367

397

487

727

757

907

997

 

 

9

4983

109

199

619

739

769

859

 

 

 

 

 

6

3294

520

1000

1780

2200

2440

3010

5196 = 12*433

 

 

30

16146

101

131

311

401

461

491

521

881

911

941

971

11

6121

263

353

503

563

593

773

953

983

 

 

 

8

4984

197

227

257

647

677

827

857

 

 

 

 

7

3689

59

179

269

479

569

599

659

809

 

 

 

8

3622

620

890

1340

2090

2300

2690

8486

34

18416

1140

1890

3120

4290

4740

5700

 

 

 

 

 

 

34562

34562 = 2*11*1571

Die Summe der ersten 48 Zahlen beträgt 20880 = 48*435. 435 ist die Summe der Zahlen 1-29. Diese Gruppe von 64 Einzelprimzahlen wird durch die vom Primzahlmuster ausgenommenen 2, 3 und 5 zu 67 vervollständigt, und 67 ist auch tatsächlich die Durchschnittszahl der Gesamtsumme 34572 = 12*43*67 = 516*67. Die Faktoren 12*43 enthalten nicht nur die Zahlen 1-4, sondern können auf 1+2 Eckpunkte der Tetraktys und 4+3 Punkte des Hexagons bezogen werden.

43 und 67 sind die einzigen Primzahlen, deren Einzelziffern 4+6 und 3+7 sich zu 10 ergänzen, aber in ihren Umkehrungen keine Primzahlen sind. Die Summe 110 = 11*10 beiden Primzahlen weist auf die 21 Elemente der Doppelraute (DR) hin, die aus 7 Punkten + 4 Dreiecksflächen und 10 Linien besteht. Die DR wird durch zwei spiegelsymmetrische Tetraktys vervollständigt:

4:6 und 3:7 Punkte geben die Kreisflächenverhältnisse 3:1 und 2:1 wieder. Das hexagonale Doppeldreieck aus 13 Punkten wird jeweils um 4 Elemente erweitert. Daraus lassen sich in dreistelliger Zusammensetzung zwei Umkehrzahlen verrechnen:

 

 

 

sm

FW

sm

FW

Zahl

134

413

547

547

 

 

FW

69

66

135

14

 

 

sm

 

 

682

561

1243

120

FW

 

 

44

31

75

13

sm

 

 

 

 

 

133

134 = 2*67; 413 = 7*59

682 = 62*11; 561 = 51*11; 1243 = 113*11

Die Faktoren 59 und 67 sind die einzigen zweistelligen Einzelprimzahlen (s.o.).

Zweimalige Teilbarkeit durch 11 setzt zwei Einzelrauten zur DR zusammen. Umgekehrt bezeichnen die Einzelziffern in der Gleichung 1+3 = 4 und 4 = 1+3 für jede Raute einen Mittelpunkt:

Die Summe 1243 enthält wiederum die beiden Faktoren 12 und 43 der Summe der 64 Einzelprimzahlen, 113 in der Aufteilung 11 und 13 die Elemente der ineinander geschobenenen Raute und des sanduhrförmigen Doppeldreiecks.

2.      Der ZS der ersten Reihe ist um 51*10 = 510 niedriger als die der zweiten Reihe. Wenn man die Primzahlpaare mit den Einzelprimzahlen verbindet, ergeben sich folgende Summen:

 

PzP

EPz

 

FW

2 3 5

GS

 

1.R.

20523

16146

36669

8844

+3

36672

96*2*191 >206

2.R.

21033

18416

39449

69

+7

39456

96*3*137 >153

 

 

 

76118

6913

 

76128

359

36672:39456 = 96*(382:411) = 96*793 = 96*13*61

Durch Hinzufügung von 3+7 ergibt sich ein Zahlenverhältnis mit dem gemeinsamen Faktor 96. Damit umfaßt die erste Reihe 51+30+1 = 82 >43 Zahlen, die zweite Reihe 51+34+2 = 87 >32 Zahlen. Die Einzelziffern der FW 43 und 32 sind auf 4+3 Elemente einer Tetraktysseiten und 3+2 Elemente einer Hexagonachse beziehbar.

3.      Die Teilsummen 16146 und 18416 enthalten die Umkehrungen 146 und 416, ihre Einzelziffern weisen auf 5 Durchmesserelemente und 6 Radialelemente der Kreisachse hin, die Zahlen 16 und 18 auf deren zusätzliche Numerierung:

Durch getrennte Zählung erhält man 16 für Radialmaße und 18 für Punkte. Der Sinn dieses Zusammenhangs liegt darin, daß sich die Zahl 64 in 4*16 Linien + Punkte eines Achsenkreuzes AK9 aufteilen läßt und die Zahlen 2, 3 und 5 entsprechend den erwähnten Durchmesser- und Radialelementen der Kreisachse 1+2 Mittelpunkte bilden. Die 64 Zahlen werden zunächst in Vierereinheiten konzentrisch von innen nach außen, im Uhrzeigersinn und von links nach rechs beginnend, auf den Linien und Punkten der 4 Achsenarme angeordnet. Am Ende, nach der Punktezahl 997, werden die drei Primzahlen 2, 3 und 5 als Mittelpunkte von unten nach oben hinzugefügt:

1

2

3

4

59

67

101

109

131

151

179

193

197

199

211

227

257

263

269

277

311

313

331

353

367

397

401

461

463

479

487

491

503

521

523

541

563

569

571

593

599

601

613

619

647

659

661

677

727

739

757

769

773

809

823

827

857

859

881

883

907

911

941

953

971

983

991

997

8332

8520

8740

8970

 

2

3

5

Nach Linien und Punkten getrennt befinden sich nun auf jedem Achsenarm 8 Zahlen. Die 8*8 Zahlen werden in A und B aufgeteilt und einander nach folgendem Muster zugeordnet:

1

2

3

4

L

P

P

L

P

L

L

P

 

A

B

1

2

3

4

1

2

3

4

59

151

179

109

131

67

101

193

197

263

269

227

257

199

211

277

311

397

401

353

367

313

331

461

463

521

523

491

503

479

487

541

563

601

613

593

599

569

571

619

647

739

757

677

727

659

661

769

773

859

881

827

857

809

823

883

907

983

991

953

971

911

941

997

3920

4514

4614

4230

4412

4006

4126

4740

Die Additionen der äußeren und inneren Glieder von A und B ergeben:

A

B

3920

4230

8150

50*163

4412

4740

9152

64*11*13

4514

4614

9128

56*163

4006

4126

8132

4*19*107

8434

8844

17278

2*53*163

8418

8866

17284

4*29*149

 

132*67

FW=218

 

 

 

 

FW=182

17278+3+5 = 17286

17284+2 = 17286

Nach Hinzufügung der Mittelpunktszahlen 2 und 3+5 ist eine symmetrische Gleichheit der beiden Zahlengruppen erreicht. Sie ist zwei Tetraktys vergleichbar, deren Punktestruktur zweimal durch die Einzelziffern des Faktors 163 veranschaulicht wird. Auch der Faktor 67 selbst ist in der Teilsumme 8844 berücksichtigt. Das Achsenkreuz läßt etwa so darstellen:

 

4.      Nun fehlt von den vier Gesichtspunkten, die oben über die Kreisachse genannt wurden, nur noch die unnumerierte Zählung: Die Durchschnittszahl 516 wächst durch Hinzufügung von 67 Punkten und Linien auf 517 = 11*47. Die Einzelziffern des Faktors 47 vereinigen nun 4 Radialmaße und 7 Punkte der 6 Radial- und 5 Durchmesserelemente einer Kreisachse. Außerdem werden durch 11+(4+7) die Elemente zweier Rauten (mit 2 Mittelpunkten) wiedergegeben.

Die Hinzufügung von 67 unnumerierten Elementen ermöglicht ein neues Zahlenverhältnis der horizontalen und vertikalen Achse mit dem gemeinsamen Faktor 47:

 

hor.

 

vert.

li.

8332

ob.

8520

re.

8740

unt.

8970

 

3

 

2+5

 

32

 

32

 

1

 

2

 

17108

 

17531

2*(13*14)*47

47*373

Das Summenverhältnis der horizontalen zur vertikalen Achse beträgt 17108:17531 = 47*(364:373) = 47*737 = 11*47*67 >FW 125 = 5³.

Die Einzelziffern der Faktoren 47 und 67 haben etwa vier mögliche Bedeutungen:

·     6 Radial- und 5 Durchmesserelemente einer Kreisachse und 6 und 7 Elemente einer Tetraktysseite:

Die Zahl der Punkte ist jeweils 3+4, die der Linien 2+2 und 3+3.

·     11 und 13 Elemente der Raute und des (sanduhrförmigen) Doppeldreiecks:

Durch die Erweiterung des Hexagons zum Tetraktysstern entsteht nach beiden Seiten je eine Raute. Ein einzelnes Dreieck besteht aus 7 Elementen, für das zweite verbleiben einmal 6 und einmal 4 Elemente. Die Leserichtung geht jeweils vom äußeren Kreis zum inneren.

·     11 und 13 Elemente im DR-Kreuz analog zum Achsenkreuz:

·     Das Hexagon besteht aus 6 Dreiecken und 7 Punkten, die Doppelraute aus 4 Dreiecken und 7 Punkten.

Die beiden zweistelligen Zahlen bilden bemerkenswerte Zahlenverhältnisse:

 

 

 

sm

 

 

sm

GS

Zahl

47

67

114

74

76

150

264

FW

47

67

114

39

23

62

176

sm

 

 

228

 

 

212

440

176:264 = 88*(2:3)

228:212 = 4*(53:57); 114:150 = 6*(19:25)

Das Verhältnis 2:3 weist auf 5 hexagonale Durchmesserelemente, das Differenzverhältnis 2:1 zwischen FS und ZS auf 2 Radialelemente + Mittelpunkt, das ZS-Verhältnis 114:150 = 6*(19:25) auf 10 Punkte + 9 Dreiecke der Tetraktys und 13 Punkte + 12 Dreiecke des Tetraktyssterns, das ZS+FS-Verhältnis 228:212 = 4*(57:53) auf die Entsprechungen von 5:7 DR-Punkten und dem Kreisflächenverhältnis 1:3 und von 53 Radialelementen und dem Kreisflächenverhältnis 3:1:

Die Einzelziffern des gemeinsamen Teilers 88 können als zweimal 3:5 Radialelemente und 11*8 = 88 als 5 hexagonale Durchmesserelemente + 6 Radialelemente und 2*2 Erweiterungselemente aufgefaßt werden:

5.      ZS 34562 der 64 Primzahlen geteilt durch 11 teilbar ergibt 11*3142. Die Einzelziffern geben die Entsprechung von 3:1 Flächeneinheiten zu 4:2 Radiallinien wieder:

Zu den 64 unnumerierten Positionen kommen die Mittelpunkte der numerierten und unnumerierten Positionen (2+3+5)+(1+2) = 13, zusammem 77 = 7*11. Teilung durch 11 ist möglich bei Addition der Summen der Achsenarme (AA) 1+2 und 1+4 und ihrem Gegenüber 3+4 und 2+3:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AA

1

2

 

3

4

 

1

4

 

2

3

 

num.

8332

8520

16852

8740

8970

17710

8332

8970

17302

8520

8740

17260

unn.

 

 

32

 

 

32

 

 

32

 

 

32

MP

 

 

1

 

 

12

 

 

2

 

 

11

*11

5*307

16885

6*269

17754

8*197

17336

11*11*13

17303

16885:17754 = 11*(1535:1614); 17336:17303 = 11*(1576:1573)

Bei 1+2 ist Teilung durch 67 möglich mit MP 0 (+13): 16884 = 12*21*67; 17755 = 5*53*67; 67*(252:265) = 67*517.

Bei 1+4 ist Teilung durch 47 möglich mit MP 9 (+4): 17343 = 9*41*47; 17307 = 16*23*47; 47*(369:368) = 47*737.

 

 

Erstellt: August 2019

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