Primzahl 1

 

 

1.       Sucht man im Internet unter BILDER nach Primzahllisten, bietet sich stets derselbe traurige Befund: Der Zahl 1 wird ihre führende Spitze vorenthalten. Alle folgen sklavisch unklarem mathematischem Denken. Wer die 1 dennoch für eine Primzahl hält, darf unbesorgt an seiner Überzeugung festhalten. Denn keine der Begründungen für den Ausschluß der 1 von den Primzahlen hält den Regeln der Logik stand.

2.       Ich beginne mit einem Vergleichsbeispiel. Die Definition "Alle schwimmenden Lebewesen mit Schwanzflossen sind Fische" ist scheinbar richtig. Dennoch weiß jeder aus dem Schulunterricht, daß diese Wassertiere nach der Art ihrer Fortpflanzung unterschieden werden: Fast alle Fischarten legen Eier, den Laich, aus denen ohne Mitwirkung der Eltern die Jungfische schlüpfen. Einige Spezies bringen jedoch lebende Nachkommen zur Welt und gehören daher zu den Säugetieren. Zu nennen sind Wale, Delphine und Robben. Meerestiere werden also nach ihrem wichtigsten MERKMAL oder WESENSMERKMAL voneinander unterschieden.

3.       Die Zahlen sind in zweimal zwei Klassen einteilbar: in ungerade und gerade Zahlen und in Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen.

Eine zusammengesetzte Zahl besteht aus zwei oder mehr Faktoren größer als 1. Die Zahl 1 ist lediglich Platzhalter für Multiplikationsreihen, z.B. 1*2, 2*2, 3*2 usw. 2 ist also für sich Ausgangszahl für höheres Vielfache.

Eine Primzahl besteht nur aus einem Faktor, d.h. sie ist nicht zusammengesetzt aus der Multiplikation von mindestens zwei Faktoren gößer als 1. Das WESENSMERKMAL der Primzahl ist also ihr EINZIGER Faktor. Genau dies trifft auch auf die ZAHL 1 zu. Alle anderen Eigenschaften der Zahl 1 sind diesem gemeinsamen Wesensmerkmal untergeordnet.

4.       Die Mathematik beachtet jedoch nicht dieses eine Wesensmerkmal der Primzahl. Sie argumentiert also vergleichsweise so: Säugetiere leben auf dem Land. Auch im Meer gibt es Säugetiere, aber weil sie im Meer leben, sind sie nur uneigentliche Säugetiere, daher zählen wir sie nicht zu den Säugetieren.

Natürlich ist diese Argumentation unsinnig. Aber eine vergleichbare findet sich in dem WIKIBOOKS-Eintrag "Warum 1 keine Primzahl ist":

"Das Produkt zweier von einander verschiedener Primzahlen ist nie eine Primzahl, sondern zusammengesetzt. Dies wäre nicht gültig, sollte 1 eine Primzahl sein. Eine Primzahl ist eine Zahl mit genau 2 Teilern. Die 1 hat jedoch nur einen Teiler."

Eine richtige, aber nebensächliche Definition wird allen Ernstes als Argument gegen die 1 als Primzahl eingesetzt.

Eine ebenso wenig stichhaltige Begründung ist die nächste Definition desselben Autors:

"Eine Primzahl ist eine Zahl mit genau 2 Teilern. Die 1 hat jedoch nur einen Teiler."

Mit den zwei Teilern ist der Primzahlfaktor und die Zahl 1 gemeint. Aber wozu braucht eine Primzahl überhaupt einen Teiler? Sie steht für sich. Davon abgesehen gilt auch für die 1, daß sie durch sich selbst und 1 teilbar ist. Die angewendete Teilungsdefinition stellt keinen originären Rechenvorgang dar, sondern setzt eine Multiplikationsreihe voraus: 1*1, 2*1, 3*1 usw., die die übliche Definition in ihre Teilungsform umkehrt. Es ist also unsinnig, die 1 von der laufenden Zahlenreihe wegzunehmen, um zu behaupten, die 1 habe nur einen Teiler.

5.       Letztere Definition ist eine Verkürzung der allgemeinen TEILUNGSFORMEL, an der viel herumgebastelt wird, wie man im Internet selbst nachlesen kann. Nur wenige Definitionen sind eindeutig im Sinne der gewünschten Aussage. Nicht eindeutig ist die Wikipedia-Definition:

"Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die größer als 1 und ausschließlich durch sich selbst und durch 1 teilbar ist."

Auch eine zusammengesetzte Zahl ist durch sich selbst teilbar. Die Definition ist nicht selbsterklärend, da 1 von vorneherein als Primzahl ausgeschlossen wird. Die Begründung hierfür muß nachgereicht werden.

Auf das Problem der Teilungsformel verzichtet inzwischen die englisch-sprachige Wikipedia, Stand 9.1.19:

"A prime number is a natural number greater than 1 that cannot be formed by multiplying two smaller natural numbers."

Hier wird bereits der Aspekt der Multiplikation in den Blick genommen, jedoch unter Ausschluß der 1. Als Grund wird eine Übereinkunft unter Mathematikern angegeben:

 "By the early 20th century, mathematicians began to AGREE that 1 SHOULD NOT be listed as prime, but rather in its own special category as a 'unit'".

Eine Vereinbarungsformel dieser Art vermeidet eine klare Aussage, ob die Zahl 1 eine Primzahl ist oder nicht. WAHRHEIT ist hier kein Anliegen der Mathematik! Aber nur Wahrheit schafft KLARHEIT, und Wahrheit ist durch Regeln der Logik erfaßbar. Wahrheit muß oberste Richtschnur sein, ihr muß sich auch die Mathematik stellen, also über das bloße axiomatische Prinzip hinausgehen.

6.       Die TEILUNGSFORMEL erweist sich als falscher Definitionsansatz, der nicht zum Ziel führt. Ich füge hier meine beiden Definitionen hinzu in der Hoffnung, daß sie zu einem Umdenken hinsichtlich der Zahl 1 führen.

 

Erstellt: Januar 2019

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