36:36 zweistellige Umkehrzahlen im Verhältnis 4:7

2x36 Umkehrzahlen im Verhältnis 4:7

 

I. Zahlensummen

II. Zahlensummen und Faktorensummen

I. Zahlensummen

In den beiden Tabellen sind die Zahlengruppen einander komplementär zugeordnet, z.B. 12-98, 21-89.

Es gibt 36 Paare von zweistelligen Umkehrzahlen in aufsteigender und absteigender Zahlenfolge. Die ersten beiden Umkehrzahlen 12 und 21 haben das Verhältnis 3*(4:7). Das Verhältnis 4:7 trifft auch auf die Summe aller 36 Paare zu: 1440:2520 = 360*(4:7). Ich versuche, beide Summen deskriptiv verständlich zu machen.

1.      Bei der Errechnung der Summen sind die Zehnerstellen und Einerstellen zu unterscheiden. Bei den aufsteigenden Zahlen reichen die Zehnerstellen von 1-8 (12 89), die Einerstellen von 2-9 (12 89). In der zweistelliger Addition ergibt 18+29 die Zahl 47 und bestätigt so das Verhältniss 4:7.

Die Addition der Zehnerstellen erfolgt in der folgenden Tabelle anhand der aufsteigenden Zahlen:

12

13

14

15

16

17

18

19

23

24

25

26

27

28

29

34

35

36

37

38

39

45

46

47

48

49

56

57

58

59

67

68

69

78

79

89

 

8*1

7*2

6*3

5*4

4*5

3*6

2*7

1*8

 

8

14

18

20

20

18

14

8

120

Der Verlauf der beiden Multiplikatoren ist gegenläufig (8*1 zu 1*8). Die Summe 120 ist mit 10 zu 1200 zu multiplizieren.

Die Addition der Einerstellen erfolgt anhand der absteigenden Zahlen und Zehnerstellen  der folgenden Tabelle:

21

31

32

41

42

43

51

52

53

54

61

62

63

64

65

71

72

73

74

75

76

81

82

83

84

85

86

87

91

92

93

94

95

96

97

98

 

1*2

2*3

3*4

4*5

5*6

6*7

7*8

8*9

 

2

6

12

20

30

42

56

72

240

Der Verlauf der beiden Multiplikatoren ist parallel. Die zweite Summe 240 beträgt das Doppelte der ersten 120. Die Summe 360 beträgt das Zehnfache der Zahlen von 1-8. Die Produktergebnisse der zwei Tabellenzeilen schreiten je Spalte um jeweils 10 fort: 8+2 = 10; 14+6 = 20 usw.

Um zu den Umkehrsummen 1440 und 2520 zu gelangen, rechnet man einmal 120*10+240 und einmal 240*10+120.

2.      Von den aufsteigenden Zahlen betrachtet, sind die Zehner- und Einerziffern 1-9 entsprechend ihrer Häufigkeit von 8-0 und 0-8 parallel (z.B. 2*7 und 2*1) mit letzteren zu multiplizieren:

1-9 x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

10-St.

8

7

6

5

4

3

2

1

0

 

Sum1

8

14

18

20

20

18

14

8

0

120

1-St.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Sum2

0

2

6

12

20

30

42

56

72

240

Diff.

+6²++

120

Die Häufigkeiten von 0-8 sind in den beiden Tabellenzeilen der Häufigkeit (Hf.) in Umkehrordnung angelegt, d.h. die Häufigkeit jeder Spalte ist 8. Die Summen von vier konzentrischen Paaren sind jeweils 80. Die Summen der konzentrischen Mitte sind jeweils 20. Die konzentrischen Sum2 (0+72 usw.) sind um die Quadratzahlen 8²+6²+4²+2² größer als die Sum1 (8+0 usw.).

3.      Die Zahlen 12-19 bilden den Ausgang aller 36 aufsteigenden Zahlen in Reihen von 1-8, wobei bei gleichbleibender Einerstelle die Zehnerstellen um je einen Zähler anwachsen. Die Summe jeder Zahlenreihe und deren Umkehrungen haben jeweils das Verhältnis 4:7:

1

2

3

4

5

6

7

8

QS*4

QS

+3

QS*7

Diff.

 

 

 

 

 

 

 

 

0

+3

12

 

 

 

 

 

 

 

12

3

+6

21

1

13

23

 

 

 

 

 

 

36

9

+9

63

3

14

24

34

 

 

 

 

 

72

18

+12

126

6

15

25

35

45

 

 

 

 

120

30

+15

210

10

16

26

36

46

56

 

 

 

180

45

+18

315

15

17

27

37

47

57

67

 

 

252

63

+21

441

21

18

28

38

48

58

68

78

 

336

84

+24

588

28

19

29

39

49

59

69

79

89

432

108

27

756

36

124

182

219

235

230

204

157

89

1440

360

132

2520

120

Diff. 120*9 = 360*3 = 1080; 1440+1080 = 2520

Die in den Zahlenreihen wirksamen Regeln sind an den Zahlen 12 und 21 abzulesen:

Erstens, die Zifferndifferenz zwischen der Zehnerstelle 1 und die Einerstelle 2 beträgt 1, sie bedeutet 1*9 für die Umkehrung 21.

Zweitens, die Quersumme der beiden Ziffern beträgt 3. Ihre Multiplikation mit 3 stimmt mit 1*9 überein.

Drittens, die Ausgangszahl 12 setzt sich aus der Quersumme 3 und dem Multiplikationsfaktor 4 zusammen. Die Quersumme 3 mal 7 ergibt die Umkehrzahl 21.

Diese drei Regeln sind im Aufbau der acht Zahlenreihen wirksam. Die Quersumme mal 3 muß gleich der Zifferndifferenz mal 9 sein, um das Verhältnis 4:7 zu ergeben.

Die Quersumme der jeweils nächsten Reihe erhöht sich von der aktuellen aus jeweils um die vorhergehende + Intervallsume + 3, z.B. QS 30 > 30+(12+3) = 45. Ausgangszahl ist 3, das Intervall jeweils 3.

4.      Das Verhältnis 4:7 der Umkehrzahlen trifft für die 8 Reihen in konzentrischer Weise zu, z.B. 14+34 = 48; 41+43 = 84.

12

 

 

 

 

 

 

 

13

23

 

 

 

 

 

 

14

24

34

 

 

 

 

 

15

25

35

45

 

 

 

 

16

26

36

46

56

 

 

 

17

27

37

47

57

67

 

 

18

28

38

48

58

68

78

 

19

29

39

49

59

69

79

89

124

182

219

235

230

204

157

89

Wenn man möchte, kann man 5 Gruppen konzentrischer Zahlen bilden: Die drei Multiplikationen von 12 bilden für sich das Verhältnis 4:7, sie bilden die Mitte der ungeraden Reihen (1-3-5-7). Hinzu kommen 4 Paare als Mitte der geraden Reihen (2-4-6-8). Es ergeben sich folgende Quersummen der 5 Gruppen, die mit 4 und 7 zu multiplizieren sind:

Gr.

1

2

3

4

5

 

Anzahl

4

8

12

8

4

36

*4/*7

30

72

117

90

51

360

Die Summe der Gruppen 2 und 4 ist – entsprechend ihrer Anzahl – doppelt so groß wie die der Gruppen 1 und 5: 30+51 = 81, 72+90 = 162. Das Zahlenverhältnis der Gruppen 1+4 und 2+5 = 120:123 = 3*(40:41).

 

Erstellt: August 2014

Letzte Änderung: September 2015

INHALT 2