Numerierung von Punkten und Quadraten

in konzentrischen Quadraten

 

1.      In der folgenden Untersuchung geht es besonders zwei Gesichtspunkte:

·     die parallele Numerierung von Punkten und Einzelquadraten jeweils von 1 an;

·     Berücksichtigung von Zahlensummen (ZS) und Faktorensummen (FS);

Ihr übergreifendes Ziel ist zu zeigen, daß das Dezimalsystem eine innere Einheit mit zahlreichen geometrischen Modellen bildet. Das Dezimalsystem selbst ist Abbild und Ausfaltung des einen Gottes in drei Personen. Die unmittelbarsten Zahlsymbole dafür sind die Umkehrzahlen 12, 21, 13, 31, die im Laufe der Ausführungen mehrmals in Erscheinung treten, besonders als Kreisflächenverhältnisse.

2.      Die einzelnen Quadrate werden nach der Zahl der Punkte der Mittelachse benannt. Ein Qu3 besteht demnach aus 3*3 Punkten. Zunächst ist also das Qu3 zu betrachten:

numeriertes Quadrat: 9 Punkte, 4 Quadrate

Die Numerierung der Punkte erfolgt vom Mittelpunkt aus im Uhrzeigersinn, der Einzelquadrate vom linken oberen Feld ebenfalls im Uhrzeigersinn. Die ZS+FS der beiden Numerierungen sind:

Z

1-9

1-4

sm

ZS

45

10

55

FS

39

10

49

sm

84

20

104

104 = 13*8

Die 13 Zahlen haben den durchschnittlichen Zahlenwert (ZW) + Faktorenwert (FW) 8. 13:8 Elemente der Doppelraute geben das Kreisflächenverhältnis 1:2 wieder:

Die Mittelpunktzahl 1 ist variabel dem horizontal-vertikalen oder dem diagonalen Achsenkreuz zuzordnen. Soll es zu ersterem gehören, ergibt sich ein ZS+FS-Verhältnis:

Zahl

5

8

sm

ZS

21

34

55

FS

18

31

49

sm

39

65

104

39:65 = 13*(3:5)

3.      Als nächstes Quadrat folgt Qu5. Es besteht aus 25 Punkten und 16 Einzelquadraten, zusammen aus 41 Zahlen.

numeriertes Quadrat: 25 Punkte, 16 Quadrate

Die ZS+FS der beiden Numerierungen sind:

Z

1-25

1-16

sm

ZS

325

136

461

FS

220

102

322

sm

545

238

783

783 = 27*29

4.      Durch das horizontal-vertikale Achsenkreuz ergeben sich für die Numerierung der Einzelquadrate vier einzelne Viertel. Nimmt man noch die Punkte hinzu, beansprucht ein Viertel zwei Achsenarme, für die restlichen drei Viertel bleiben die anderen beiden Achsenarme übrig.

Ein ZS+FS-Verhältnis wird durch das obere linke Quadrat ermöglicht:

Zahl

10

4

sm

ZS

75

22

97

FS

58

19

77

sm

133

41

174

174 = 6*29

Das ZS+FS-Verhältnis von 13:28 Zahlen beträgt 174:609 = 3*29*(2:7) = 9*87. Wenn man das Verhältnis 13:28 ist auf 7 Punkte + 6 Linien des Hexagons und 10 Punkte und 18 Linien der Tetraktys bezieht, gibt es das Kreisflächenverhältnis 1:3 wieder:

Das Verhältnis 2:7 ist den 9 Elementen zweier Kreishälften vergleichbar:

Um die Kreishälfte zu bestimmen, sind einer Kreisbogen- und Flächenhälfte die 5 Durchmesserelemente hinzuzufügen.

5.      Die ZS und FS der 4*4 Zahlen in den Einzelquadraten stehen einander jeweils diagonal verhältnisbildend gegenüber:

22

32

19

26

40

42

25

32

Das ZS-Verhältnis beträgt 72:64 = 8*(9:8), das FS-Verhältnis 51*(1:1).

6.      Ein auffälliges ZS+FS-Verhältnis unter Einschluß der horizontalen oder vertikalen Mittelachse ist nicht erkennbar, jedoch ein ZS+FS-Verhältnis von den 15 Zahlen der horizontalen Zeilen 1+5+9 und den dazwischen liegenden Zeilen 2-4 und 6-8:

Zeilen

1,5,9

2-4

6-8

sm

GS

Zahl

15

13

13

26

41

ZS

229

96

136

232

461

FS

158

72

92

164

322

sm

387

168

228

396

783

387:396 = 9*(43:44)

72:96 = 24*(3:4); 96:136 = 8*(12:17)

168:228 = 12*(14:19)

Auch die vertikale Mittelachse bildet zusammen mit den jeweils zwei äußeren Reihen ein ZS+FS-Verhältnis zu den anderen 4 Reihen:

Zeilen

1

2

5

8

9

 

Zahl

5

4

5

4

5

23

ZS

71

34

51

46

95

297

FS

48

25

42

38

63

216

sm

119

59

93

84

158

513

216:297 = 27*(8:11)

513:270 = 27*(19:10)

Erstaunlich ist das durch 27 teilbare Verhältnis von FS und ZS. Das Verhältnis 11:8 ist auf den Doppelaspekt von Durchmesser- und Radialelementen im Hexagramm zu beziehen:

Die hexagonale Erweiterung wird hier durch die Faktorenzahl 8 wiedergegeben. Dem Verhältnis 11:8 entspricht das Kreisflächenverhältnis 1:2. Die Zahl 216 = 6³ ist ein Hinweis auf die 6 Ecken des Oktaeders, der aus einem Doppelrautenkreuz gebildet werden kann.

7.      Bemerkenswert ist, daß die Summe der 8 Zahlen des äußeren Rahmens, die nicht zu den beiden Achsenkreuzen gehören, ebenso 136 ist wie die der 16 Quadratezahlen. Wenn man jedes Achsenkreuz gesondert rechnet, erhält man zunächst vier Gruppen von Zahlen:

 

Qu.

QR

sm

hv+M

diag

sm

Zahl

16

8

24

9

8

17

ZS

136

136

272

89

100

189

FS

102

70

172

79

71

150

sm

238

206

444

168

171

339

168:171 = 3*(56:57) = 3*113

150:189 = 3*(50:63)

Die Verhältniszahlen 57 und 56 geben die Numerierungssumme eines Quadrats mit zwei Achsenkreuzes AK5 wieder, wenn man vom Mittelpunkt aus von 1-5 zählt:

Die Summe 113 setzt sich aus 4*28+1 zusammen. Rechnet man für jede Achse einen Mittelpunkt, beträgt die Summe 116 = 4*29.

Addiert man die ZS und FS der beiden Achsenkreuze, ergeben die FW von drei Zahlengruppen wiederum 113:

 

Qu.

QR

hv-d

sm

Qu.

QR

hv-d

sm

GS

 

136

136

189

461

102

70

150

322

783

FW

23

23

16

62

22

14

15

51

113

 

 

 

 

523

 

 

 

373

896

896 = 32*28 = FW 10+11 = 21

Interesse verdienen die ZS und FS der horizontalen und vertikalen Achse:

 

ZS

FS

 

hor.

39

38

77

vert.

50

41

91

 

89

79

168

Die 1 des Mittelpunktes ist der horizontale Achse zugeordnet. 91 und 77 sind die ZS und die FS der Zahlen 1-13, sie werden durch die ZS+FS der vertikalen und horizontalen Achse repräsentiert. Die Hervorhebung der Zahl 13 hat ihre Berechtigung darin, daß sie die Symmetriemitte der Zahlen 1-25 darstellt und ihre Summe 25*13 beträgt. Das FS:ZS-Verhältnis ist 7*(11:13).

8.      Das Quadrat AK5 aus 25 Punkten und 16 Einzelquadraten hat seine Entsprechung im DR-Kreuz:

Das hexagonale Achsenkreuz besteht aus 25 Elementen, die Erweiterung aus 16. Aus der Grafik wird erkennbar, daß sich aus einem sanduhrförmigen Doppeldreieck nach beiden Richtungen eine Rautenfigur entwickelt. Erstere besteht aus 13, letztere aus 11 Elementen. Die Zahl 113 enthält kontrahiert beide Zahlen.

Nun ergibt nicht nur die Numerierung eines Zickzack-Durchmessers der Doppelraute (DR) 29, sondern auch der Rahmen des DR-Kreuzes besteht aus 29 Elementen:

Da sich im Hexagramm drei DR befinden, gibt es drei Paarungen von DR-Kreuzen, die zu einem Oktaeder gebildet werden können. Daher sind die beiden durch drei teilbaren Verhältnisse 171:168 und 189:150 von Bedeutung.

Der hexagonale Bereich der DR-Rahmens besteht aus 17 Elementen. Die FW der ZS 461 und FS 322 des doppelt numerierten Qu5 sind 461+32 = 493 = 17*29. 17:29 Elemente geben das Kreisflächenverhältnis 1:3 wieder.

Teilt man die Gesamtsumme 783 durch 3, erhält man die Zahl 261, die man in 26+1 = 27 aufteilen kann und womit die 26 äußeren Oktaederelemente und das Volumen gekennzeichnet sind. Somit ergibt sich auch eine Erklärung des Produkts 27*29.

Die Einzelziffern der Zahl 783 geben eine Numerierungsfolge der DR wieder, die auf das Ziel der Oktaederbildung gerichtet ist:

Der DR-Rahmen besteht aus 7 Punkten und 8 Linien. Umfährt man 8-förmig die Rahmenelemente bis zum Ausgangspunkt, ergeben sich 2 weitere Punktepositionen, die um 1 zu einer 10. Position erweitert werden, wenn die äußeren Punkte zur Oktaederbildung zusammengeführt werden.

9.      Die Parallelität zwischen DR-Kreuz und Quadrat ist im berühmten SATOR-Quadrat verwirklicht:

Das Quadrat Qu5 beginnt mit einem Rautenquadrat, das über ein Achsenkreuz durch Verbindungslinien gebildet wird. Es folgt ein Quadrat Qu3, dessen Diagonalen zwei sanduhrförmige Doppeldreiecke hervorbringen, vergleichbar den drei Doppeldreiecken des Hexagons. Über dem Qu3 läßt sich ein größeres konzentrisches Rautenquadrat errichten, bevor das Qu5 die Gesamtkonstruktion abschließt.

Man erkennt von unten nach oben drei übereinander stehende Rautenquadrate, die ebenfalls nebeneinander stehen können, insgesamt also fünf. Ein Rautenquadrat besteht aus 17 Elementen im Unterschied zu den 11 Elementen der hexagonalen Raute, ein Doppeldreieck aus 21 im Vergleich zu den 13 Elementen des hexagonalen. Man kann sowohl 3*17 = 51 Elemente oder 17+21+17 = 55 Elemente, vertikal und horizontal.

Die ZS+FS der 17 Achsenkreuzzahlen ist ebenfalls durch 113 teilbar:

 

dia

M

sm

hv

GS

FW

Zahl

8

1

9

8

17

 

ZS

134

13

147

96

243

15

FS

100

13

113

96

209

30

sm

234

26

260

192

452

45

452 = 4*113; 243 = 35; 209 = 11*19

260:192 = 4*(65:48); 15:30 = 15*(1:2)

Die FS der diagonalen Achsenzahlen mit Mittelpunkt beträgt ein Viertel der Gesamtsumme. Die FW 15 und 30 stellen die Summe der Grundzahlen von 1-5 und 6-9 dar.

Auch das doppelt numerierte Qu5 enthält in 5 senkrechten Summen die ZS+FS 452:

Zeilen

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

Zahl

5

4

5

4

5

4

5

4

5

23

ZS

71

34

52

28

51

28

56

46

95

461

FS

48

25

29

19

42

20

38

38

63

322

sm

119

59

81

47

93

48

94

84

158

783

452+331 = 783; 154:168 = 14*(11:12)

Den Einzelziffern der Primzahl 331 und der Summe 93 = 3*31 entspricht die Punkteaufteilung der DR.

Die ZS+FS 339 des Qu5 und 452 des SATOR-Quadrats weisen bei einer ZW/FW-Verrechnung auf die 15 Rahmenelemente der Doppelraute hin:

 

ZS

FS

sm

FW

sm

FW

 

189

150

339

116

 

 

FW

16

15

31

31

 

 

sm

 

 

370

147

517

58

FW

 

 

44

17

61

61

119 = 7*17

119

Aus 15+16 Elementen besteht ein DR-Kreuz mit 1+2 Mittelpunkten.

 

 

ZS

FS

sm

 

243

209

452

FW

15

30

45

sm

 

 

497

497 = 71*7

Die Endprodukte sind als Einzelziffern zu lesen:

Eine DR enthält die beiden Figuren aus 11 und 13 Elementen, die zu 113 zusammengezogen werden können.

10.       Die horizontalen Summen des Qu5 enthalten mehrere durch 13 teilbare Summen:

Zeilen

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

Zahl

5

4

5

4

5

4

5

4

5

23

ZS

75

34

42

20

39

24

54

58

115

461

FS

55

26

27

19

38

19

35

38

65

322

sm

130

60

69

39

77

43

89

96

180

783

138:184 = 2*23*(3:4)

130+180=310+158= 468 = 36*13; 182:286 = 14*(7:11)

Die 4 Zahlen befinden sich in konzentrischer Stellung. Auch die FS ist durch 13 teilbar. Die ZS 286 = 2*11*13 ist zu lesen als 2*(11+13). Aus zwei Rauten und zwei Doppeldreiecken läßt sich ein Oktaeder zusammensetzen. Das Verhältnis 7:11 bezieht sich auf 7 Elemente eines hexagonalen Dreiecks und seiner Erweiterung zu den 11 Elementen der Raute und gibt das Kreisflächenverhältnis 1:3 wieder.

Die ZS+FS der 2. und 8. vertikalen und horizontalen Reihen betragen 143:156 = 13*(11:12) = 13*23 = 299. Ihre ZS und FS sind die Umkehrzahlen 172 und 127. Ihre Einzelziffern stellen jeweils 10 Tetraktyspunkte dar.

Nach Hinzukommen der konzentrischen Summen 60+96 = 156 = 12*13 beträgt die Gesamtsumme 378+246 = 624 = 156*(1:3) und der nicht konzentrische Summe 39 663 = 3*(13*17). Die Summen auf der 2. und 8. vertikalen Reihe sind ebenfalls durch 13 teilbar, wodurch sich 663+143 = 806 = 2*13*31 ergibt. Fügt man noch 93 hinzu, beträgt die Gesamtsumme 29*31. Die 6 vertikalen und 2 verbleibenden horizontalen ZS+FS betragen 667 = 23*29. Durch die ZS 378 kommt die Restsumme 405 und das Verhältnis 27*(14:15) zustande.

Die Faktoren 29 und 31 beziehen sich auf zwei DR-Kreuze mit komplementären 1+3 Mittelpunkten:

Die innere Beziehung der Faktoren 23 und 29 ist mir nicht bekannt. Ihre Bedeutung liegt darin, daß sie die einzigen Primzahlen zwischen 21 und 29 sind und ihre Summe 52 = 4*13 beträgt. Aus 4 Doppeldreiecken läßt sich ein Oktaeder zusammenfügen. Aus 5 hexagonalen Punkten und 2 Erweiterungspunkten besteht die DR. Die Einzelziffern des Produkts können als eine spiegelbildliche Gleichung zweier Rauten gesehen werden:

Unter Zugrundelegung beider Produkte sind die ZS und FS folgende:

 

ZS

FS

sm

FW1

FW2

sm

GS

31*29

529

370

899

46

44

90

989

23*29

393

274

667

134

139

273

940

 

922

644

1566

180

183

363

1929

Das Verhältnis der angrenzenden FW-Summen 180:183 beträgt 3*(60:61) = 3*121 = 3*11*11. Das Produktergebnis stellt drei DR dar. Die Differenzen der ZS und FS betragen 529-393 = 136; 370-274 = 96. Das Differenzverhältnis ist 136:96 = 8*(17:12). 17:12 Rahmenelemente des DR-Kreuzes geben das Kreisflächenverhältnis 1:2 wieder.

Dasselbe Verhältnis 136:96 = 8*(17:12) kommt durch folgende 3 vertikale und 1 horizontale ZS+FS zustande:

4

6

7

6

23

4

4

5

4

17

28

28

56

24

136

19

20

38

19

96

47

48

94

84

232

Das FS:ZS-Verhältnis der beiden 6-er Reihen ist 39:52 = 13*(3:4).

 

Sechs konzentrische Quadrate mit tabellarischen Werten

 

Erstellt: Juli 2016

Inhalt II