26 Primzahlen im Oktaeder

I.     Einleitung

II.    Erste Anordnung

III.  Zweite Anordnung

IV.   Zwei Oktaederhälften

I. Einleitung

1.      Zum Sinngefüge der Zahlen gehört die Wiederholung grundlegender Zahlenbedeutungen: Was etwa im Kreis und im Hexagon grundgelegt ist, kommt auch in der hexagonalen Erweiterung des Hexagramms mit seinen zwei Tetraktys und drei Doppelrauten zum Vorschein.

2.      Aus einem Doppelrautenkreuz läßt sich ein Oktaeder bilden:

Bei diesem Vorgang werden die äußeren Punkte zu jeweils einem verbunden, wodurch sich die Zahl von 9 Durchmesserelementen der Doppelraute, die dreifach links, rechts und in der Mitte zu zählen sind, auf je 8 verkürzt.

3.      Der Oktaeder stellt das Endziel des Kreises und seiner dreiachsig-hexagonalen Entfaltung dar:

Wie die linke Kreisfigur ist auch der Oktaeder als zusammengesetzt aus zwei spiegelbildlich gegenüberstehenden Pyramiden zu denken. Die Besetzung der Oktaederelemente mit 26 Primzahlen wird zeigen, wie sich die Zahlenverhältnisse zweier Kreishälften wiederholen.

II. Erste Anordnung

1.      Von den ersten 100 Zahlen sind 26 Primzahlen. Da ein Oktaeder aus 26 äußeren Elementen besteht, liegt eine Zusammengehörigkeit und die Möglichkeit einer Zuordnung nahe:

2.      Von unten nach oben und zurück sind vier Bahnen zu erkennen. Bei einer Besetzung aller 26 Elemente entfallen auf die erste Bahn 8 Primzahlen, auf die anderen drei je 6:

Bahn

1

2

3

4

sm

o. Hä.

7

 

 

 

 

 

 

 

7

 

5

11

29

31

53

59

79

83

350

Mitte

3

13

23

37

47

61

73

89

346

u. Hä.

2

17

19

41

43

67

71

97

357

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

357:350 = 7*(51:50) = 7*101; 346 = 2*173

1061

358+357 = 715 = 5*11*13

Auffällig sind die benachbarten Summen 358 und 357, die als Konstitutivzahlen für ihre Summe 715 bedeutsam sind. Ihre Faktorenwerte (FW) 181+27 = 208 bilden ein Zahlenverhältnis: 208:715 = 13*(16:55).

3.      Die Zahl 346 verweist in zweifacher Weise auf die beiden Tetraktys:

  Die Einzelziffern lassen sich darstellen als (3+4)*6. Sie beziehen sich auf 2*3 Tetraktysseiten, von denen jede aus 3 Linien und 4 Punkten besteht.

  Von jeder Ecke einer Tetraktys zur gegenüberliegenden Seite läßt sich eine fischförmige Figur erkennen, von den jede aus 17 Elementen besteht:

346 = 2*173 ist demnach zu verstehen als 2*(17*3).

4.      Die FW der drei Summen ergeben 208+175 = 383. Diese Primzahl ist auf etwa vierfache Weise zu verstehen:

  Wie bereits in der Einleitung festgestellt, besteht eine Doppelraute nach Vereinigung der äußeren Punkte aus 3 Durchmesserbahnen von je 8 Elementen. Die zweifache 3 bezieht sich daher auf zwei Doppelrauten: 8*(3+3).

  Da das Hexagramm drei Doppelrauten enthält, kann 383 auch als 8*(3*3) verstanden werden.

  Der Rahmen einer Doppelraute besteht aus 7 Punkten und 8 Linien. Bei der Vereinigung der beiden äußeren Punkte fällt ein Punkt weg und es ist zu zählen 3+8+3:

  Fortlaufende Zahlen sind abwechselnd ungerade und gerade. Dieses zweifache Prinzip ist im Kreis zu erkennen, der eines Radialmaßes bedarf, das sich um den Mittelpunkt bewegt. Zieht man eine Linie durch den Mittelpunkt, so findet man das Radialmaß zweimal. Es ist jeweils durch Mittelpunkt und Kreislinienpunkt begrenzt. Auf diese Weise sind zweimal drei Elemente zu zählen. Betrachtet man andererseits den Durchmesser als eigene Größe, ist die Zahl der Elemente 5. Addiert man beide Aspekte, zählt man den Mittelpunkt dreimal, die Zahl der übrigen Elemente ist 8. Die Zahl 3+8 ist im Hexagon mit 3 zu multiplizieren:

5.      Fügt man zur Primzahlsumme 1061 die Primzahl 383, erhält man ein unmittelbar deutbares Ergebnis: 1061+383 = 1444 = 38². Die Quadratzahl kann man wiederum als 2*3*8 einem Doppelrautenkreuz zuordnen. Eine weitere Beziehung führt zu zwei Tetraktys. Je eine besteht zum einen aus 18 Rahmenelementen und dem Mittelpunkt, und weiterhin aus 10 Punkten und 9 Dreiecken. Darauf weisen auch die Einzelziffern der Zahl 1444 hin, die man verstehen kann als Mittelpunkt und 4 Punkte je Dreiecksseite der Tetraktys.

III. Zweite Anordnung

1.      Eine zweite Anordnung beginnt mit der unteren Spitze, umfährt nach oben hin drei horizontale Bahnen zu je 8 Elementen und endet mit der oberen Spitze:

o.

 

59

61

67

71

73

79

83

89

97

679

7*97

104

 

Mi.

 

23

29

31

37

41

43

47

53

 

304

16*19

27

 

u.

1

2

3

5

7

11

13

17

19

 

78

6*13

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1061

 

149

1210

Die oberste Summe setzt sich zusammen aus 8+1 Zahlen und 97*(6:1).

2.      Die FS 149 und Gesamtsumme 1210 führt bereits zur Betrachtung der oben erwähnten Verhältnissen zweier Kreishälften. Die Einzelziffern der Palindromzahl 121 = 11*11 können zwei numerierte Teilungspunkte der Kreislinie darstellen:

 

Die zwei Kreisbogenhälften können durch 121 oder 12 und 21 wiedergegeben werden. Die zweite Kreisbogenhälfte kehrt spiegelbildlich zum Ausgangspunkt zurück. In der rechten Figur besteht jede Kreishälfte aus 2+5 Elementen: einer Kreislinien- und Flächenhälfte und dem Durchmesser. Zählt man die Durchmesserelemente zweimal, kommen 7+7 Elemente zustande, zählt man sie nur einmal, sind es 7+2 Elemente. Die Addition beider Aspekte ergibt 14+9 = 23. In dieser Weise ist hier die FS 149 zu verstehen. Die Einzelziffern stellen außerdem Quadrate der Zahlen 1 2 3 dar.

Logisch sinnvoll ergibt das Produkt 12*21 die in der rechten Figur untereinander geschriebenen Elemente als dreistellige Zahl 252.

3.      Der beschriebene Doppelaspekt zweier Kreishälften ist auch in der ZW/FW-Verrechnung der beiden Summen 1444 und 1210 erkennbar:

 

 

 

sm

FW

ZS

1444

1210

2654

1329

FW

42

29

71

71

sm

 

 

 

1400

2654 = 2*1327

Der FW von 1400 setzt sich zusammen aus (2+7)+(7+7) = 23.

Die Primzahl 1327 bezieht sich insofern auf die Zahl 26, als die Summe der Zahlen 1-26 13*27 beträgt.

IV. Zwei Oktaederhälften

1.      Auch für den Oktaeder gilt der Doppelaspekt des Ganzen und zweier Hälften. Die mittlere Ebene des Oktaeders gehört zu jeder Hälfte. Ausgehend von den zwei Anordnungen, sind daher zu 2*1061 = 2122 die mittleren Summen 346+304 = 650 hinzuzufügen: 2122+650 = 2772 = 11*252. Nach dem oben bereits Ausgeführten ist der Bezug zu den beiden Kreishälften klar: Entsprechend der zweifachen Primzahlbesetzung des Oktaeders wird zweimal die Ganzheit der beiden Kreishälften durch 2+7 und 7+2 dargestellt.

2.      Es gilt nun, die ZS+FS der jeweils beiden Hälften und der Ganzheit zu ermitteln:

 

u./o.

Mi.

sm

FW

u./o.

Mi.

sm

FW

SM

SM

GS

u.

358

346

704

23

78

304

382

193

 

 

 

o.

357

346

703

56

679

304

983

983

 

 

 

 

 

 

1061

1061

 

 

1061

1061

 

 

 

sm

 

 

2468

1140

 

 

2426

2237

4894

3377

8271

4894 = 2*2447; 3377 = 11*307; 8271 = 9*919 > 925 = 25*37

Die Summe der Zahlen 1-47 ist 24*47. 307 weist auf die 10 Punkte und 37 Elemente der Tetraktys hin. Die Einzelziffern der Primzahl 919 sind auf die 9 Durchmesserelemente und 9+1 Radialelemente der Doppelraute beziehbar, die 8+2 Linien und 7 Punkte mit einem radialen zweiten Mittelpunkt enthält. Der gesamte Ausdruck 9*919 kann die 37 Elemente der Tetraktys wiedergeben: 9+9 Linien, 10 Punkte + 9 Dreiecke.

Die 25 Elemente des Hexagons und 37 Elemente der Tetraktys sind eine Wiedergabemöglichkeit des Flächenverhältnisses 1:3 der beiden konzentrischen Tetraktyskreise.

3.      Die ZW/FW-Verrechnung der vier Teilsummen ergibt:

 

 

 

 

 

sm

FW

ZS/FS

2468

1140

2426

2237

8271

925

FW

621

31

1215

2237

4104

34

sm

 

 

 

 

 

959

4104 = 6³*19 >34; 959 = 7*137 >144

Die dritte Potenz der 6 Ecken des Oktaeders weist auf dessen Dreidimensionalität hin, der FW 34 auf die Elemente zweier Oktaederhälften. Die Zahlen 4104 und 144 sind wiederum auf die 9 Durchmesserelemente der Doppelraute beziehbar.

Auf weitere mögliche Verrechnungen und Auswertungen sei hier verzichtet.

 

Erstellt: August 2014