64 Komplementärzahlen

 

Würfel und Oktaeder: Vergleich zweier Modelle

1.      Im vorigen Kapitel wurde von der Wechselbeziehung zwischen Würfel und Oktaeder gesprochen: 8 Quadrate mit 64 zweistelligen Komplementärzahlen passen zu 8 Oktaederflächen und 6 Rautendreiecke des Hexagramms zu 6 Würfelseiten. Können zwei so unterschiedliche Zahlenmodelle wesentlich, also ontologisch, zusammengehören? Die Möglichkeiten hierfür werden in diesem Kapitel untersucht. Das Modell des numerierten Hexagramms (49 Zahlen) soll dabei dem des Quadrats (64 Zahlen) voranstehen.

2.      Beginnen wir mit einer etwas übergeordneten Betrachtung! Die beiden Zahlenmodelle bestehen aus den Quadratzahlen und 8² = 49+64 = 113. Die Primzahl 113 ist auf Oktaeder und Würfel gleicherweise anwendbar: Im Oktaeder lassen sich zwei geometrische Doppeldreiecke aus 11 und 13 Elementen erkennen, die sich aus der Gestalt der Doppelraute (DR) ergeben. Die Zahl 113 selbst kommt zustande, wenn man die 4 Achsen zweier konzentrischer Quadrate vom Mittelpunkt aus von 1-5 numeriert:

3.      Die Faktorenwerte (FW) 14 und 12 der Zahlen 49 und 64 kennzeichnen die Elemente beider Körper: 12 Kanten (Linien) für beide und 8+6 Elemente wechselseitig für Flächen und Ecken (Punkte). Die Zahlensumme (ZS) und Faktorensumme (FS) 113+26 = 139 ist zu verstehen als 13 und 9 Elemente eines dreiachsigen und zweiachsigen Achsenkreuzes:

4.      Die Zahlen 11 und 13 spielen in beiden Zahlenmodellen eine wichtige Rolle: Die Summen der Komplementärzahlen sind durch 11 teilbar, der Tetraktysstern enthält 13 Punkte, und das sanduhrförmige Doppeldreieck aus 13 Elementen ist Ausgangsfigur des Oktaeders:

Die sanduhrförmigen Doppeldreiecke haben ihre Entsprechung in den getrennten vertikalen und horizontalen Dreiecken des Komplementärquadrats.

Die Summe der Zahlen 1-13 ist ferner 91 = 7*13. Der Ineinanderfügung von 7 Hexagonalpunkten und 13 Gesamtpunkten schließlich entspricht das Kreisflächenverhältnis 1:3 des hexagonalen Kreises und des äußeren Kreises. Es ist daher nicht verwunderlich, daß die Zahl 13 beide Zahlenmodelle verbindet, wie im folgenden ersichtlich wird:

5.      Die ZS der beiden Modelle sind 1225+3520 = 4745 = 13*365, die FS 694+1750 = 2444 = 13*188, das FS:ZS-Verhältnis ist somit 13*(4*47:5*73) = 13*553 = 7*13*79. Die Faktoren 7 und 13 sind demnach auf die 7 hexagonalen und 13 Gesamtpunkte des Hexagramms zu beziehen, die Zahl 79 auf die Numerierungssumme des Oktaeders bei einer Numerierung der Elemente von 1-4: 11+36+32 für Punkte, Linien und Flächen. Bei Numerierung der 15 Rahmenelemente der Doppelraute (DR)von 1-6 ergibt sich die Summe 47 und für alle 21 Elemente die Summe 73.

6.      Die beiden Zahlenmodelle haben 28 Zahlen gemeinsam. Sie ergeben sich, wenn man aus den 38 Zahlen von 12-49 folgende Zahlen herausnimmt: 22,23,44; 20,30,40; 19,28,37,46. Die ZS dieser 10 Zahlen beträgt 99+90+130 = 319, die FS 42+30+92 = 164. Es scheiden ebenfalls aus die Zahlen 1-11 mit der ZS 66 und FS 57. Die ZS 385 und FS 221 dieser 21 nicht gemeinsamen Zahlen, zusammen 606, ist von der ZS 1225 und FS 694 der Zahlen 1-49 abzuziehen. Das Abzugsergebnis ist 840+473 = 1313. Da die ZS+FS der Zahlen 1-49 1919 beträgt, ergibt sich ein ZS+FS-Verhältnis der 21 nicht-gemeinsamen zu den 28 gemeinsamen Zahlen von 606:1313 = 101*(6:13). Die Einzelziffern der Verhältniszahlen sind zu verstehen als 6 Kreislinienpunkte des Hexagons, als Mittelpunkt und als 3 Erweiterungspunkte. Dieses Verhältnis ist nur zu ehalten im Abgleich mit den 64 Komplementärzahlen.

Wenn die ZS+FS der gemeinsamen 28 Zahlen durch 13 teilbar sind, ist dies auch bei den übrigen 21+36 Zahlen der Fall. Die ZS und FS der 64 Komplementärzahlen ist 3520 und 1750. Zieht man die gemeinsamen Summen 840 und 473 ab, bleiben 2680 und 1277, zusammen 3957 = 3*1913. Zu dieser Summen von 36 nicht-gemeinsamen Zahlen ist die der ermittelten 21 hinzuzufügen: 2680+385 = 3065 = 5*613 und 1277+221 = 1498, zusammen 4563 = 27*13³ = 13*351. In dieser Rechnung erscheint wiederum die Punkteverteilung der Tetraktys in der Primzahl 613, übrigens bekannt als Gesamtheit der altjüdischen Gebote und Verbote.

Die 113 Zahlen teilen sich nun auf in 57 nicht gemeinsame und 56 gemeinsame. Das entspricht den Numerierungssummen des oben gezeigten 5x5 Punkte Quadrats, mit der Summe 57 für die horizontal-vertikalen Achsen und zweimal 28 für die Diagonalachsen. Das ZS+FS-Verhältnis der 57 und 56 Zahlen ist also 13*(351:202) = 13*553.

7.      Auch die ZS der 8 Quadrate und 6 Rauten sind zusammen durch 13 teilbar. Durch die gesonderte Zählung kommen zu den 113 noch weitere 32+17 = 49 Zahlen hinzu. Zusammen sind es 96:66 = 6*(16:11) = 162 = 9*18. Die Ausgangs- Erweiterungssummen sind:

 

8 Qu.

6 R.

sm

Fkt.

Ausgang

3520

1225

4745

365*13

Erweit.

1733

425

2158

166*13

 

5253

1650

6903

9*13*59

Die Faktoren der Gesamtsumme regen dazu an, Teilbarkeit durch 13 für 6+8 Summen zu erreichen. Ohne Computerhilfe – die mir nicht zur Verfügung steht – ist es schwierig, optimale Ergebnisse zu erzielen. Es folgt daher ein Vorschlag, der mir gelungen ist. Die paarweisen Summen der Quadrate sind ocker, die der Rauten lila unterlegt:

 

8 Qu.

 

 

sm

 

 

 

515

564

1079

83*13

440

717

1157

89*13

757

686

1443

111*13

110, 160, 342

612

 

208

390

598

46*13

717, 557, 740

2014

 

1480

1640

3120

240*13

 

3783

291*13

3120:3781 = 39*(80:97)

97 ist die Komplementärzahl zu 13.

8.      Ich dokumentiere im folgenden die 4Werte der 8+6 Zahlengruppen, hauptsächlich wegen des Faktors 347 der Gesamtsumme:

 

ZS

FS

sm

FW1

FW2

sm

GS

FW

vr

515

253

768

108

34

142

910

27

vl

717

238

955

242

26

268

1223

1223

Mo

686

438

1124

23

78

101

1225

24

Mu

717

341

1058

242

42

284

1342

74

sm

2635

1270

3905

615

180

795

4700

1348

ho

564

289

853

54

34

88

941

941

hu

757

326

1083

757

165

922

2005

406

Ml

740

419

1159

46

419

465

1624

42

Mr

557

404

961

557

105

662

1623

544

sm

2618

1438

4056

1414

723

2137

6193

4700

SM

5253

2708

7961

2029

903

2932

10893

3281

lo

160

104

264

15

19

34

298

151

lu

390

202

592

23

103

126

718

361

Mo

110

72

182

18

12

30

212

57

Mu

440

246

686

22

46

68

754

44

ro

208

117

325

21

19

40

365

78

ru

342

201

543

27

70

97

640

19

SM

1650

942

2592

126

269

385

2987

710

GS

6903

3650

10553

2155

1172

3327

13880

3991

6903 = 9*13*59; 3991 = 13*307 > 320;

10893 = 3*3631 > FW 3634; 13880 = 40*347 >FW 358

Zwischen den 4W-Summen gibt es keine unmittelbaren Zahlenverhältnisse. An indirekten Verhältnissen läßt sich anführen, daß sowohl die Gesamt-ZS 6903 als auch die FW-Summe der 4Werte 3991 durch 13 sowie die ZS 5253 und 4W-Summe 2987 jeweils durch 103 teilbar sind. Auch ist für den hohen Faktor 3631 der 4W-Summe 10893 eine Ergänzung zu vermuten, wenngleich Zahl und FW interpretierbar sind: Teilt man die Zahl 10893 in 108 und 93 auf und versteht 108 als 9*12 sowie 9+12 und 93 als 9+3, läßt sie sich auf den Tetraktysrahmen beziehen:

Der Tetraktysrahmen besteht aus 9 Punkten und 9 Linien. Zählt man jedoch jede einzelne Seite, kommen zu den 9 Punkten noch 3 hinzu. Der Faktor 3631 kann sich einmal auf jeweils 18 Rahmenelemente zweier Tetraktys beziehen und beim zweiten Mal auf 1+30 Elemente, wenn man den Mittelpunkt hinzufügt und die gemeinsamen Elemente (6 Punkte und 6 Linien des hexagonalen Rahmens) nur einmal zählt bzw. zwischen hexagonalem Rahmen und Sternerweiterung unterscheidet:

Der FW 3634, verstanden als 36+34, bildet die Konstitutivzahlen für ihre Summe 70 = 7*10 = 7+10. 7 hexagonale Punkte und 10 Tetraktyspunkte geben das Kreisflächenverhältnis 1:3 der beiden Tetraktyskreise wieder.

Zählt man jede Tetraktysseite getrennt und rechnet die Punkte getrennt vom Gesamtergebnis von Punkten und Linien, ergibt sich die Rechnung 3*4 = 12 und 3*7 = 21. Das Verhältnis der beiden Produkte 12 und 21 ist 3*(4:7) und ist eine wesentliche Grundlage für die Bedeutung der Primzahl 347. Die Multiplikationen 3*7 und 4*7 weisen auf den Doppelaspekt von 21 Elementen der DR und den 4*7 Elementen ihrer vier Dreiecke hin.

Der Faktor 347 der 4W-Summe 13880 läßt die Bedeutung der 49 Elemente des Tetraktyssterns erkennen. Denn die FS der Zahlen 1-49 ist 2*347 = 694, also 347 für jede Tetraktys. Wie im vorigen Kapitel ausgeführt, wird die FS 694 bei der getrennten Zählung der 6 Rauten um 248 = 8*31 erweitert, ist also in der Gesamtrechnung enthalten.

347 ist eine bedeutende Dreifaltigkeitszahl, da sie die ZS der lateinischen Bezeichnungen PATER (57), FILIUS (73), SANCTUS (92) SPIRITUS (125) ist.

Der Faktor 40 ist als 5*8 bzw. 5+(5+3) Radialelemente zu verstehen und auf die Entsprechung von 3:4 Flächeneinheiten zu beziehen. Der FW 358 weitet in den Einzelziffern die Radialelemente nach beiden Seiten der Durchmesserlinien aus:

Die ZW/FW-Verrechnung der 4W-Summe 13880 und FW-Summe 3991 führt zu folgendem Ergebnis:

 

ZS

FW-S

sm

FW

 

13880

3991

17871

70

FW

358

320

678

118

sm

 

 

 

188

678 = 6*113; 188 = 4*47

17871 = 3*7*23*37

Der oben besprochene Faktor 113 erscheint in der Summe 678 wieder. Er ist ebenfalls vorhanden, wenn man die 4W-Summen des großen Rautenquadrats und die beiden Mittelrauten addiert:

1624

1623

1225

1342

212

754

6780

Der Durchschnittswert der 6 Summen ist 1130. Die entsprechende ZS ist 2700+550 = 3250 und das Zahlenverhältnis zu den übrigen 8 ZS 3250:3653 = 13*(250:281) = 13*553.

9.      Aus den verschiedenen Möglichkeiten durch 40 teilbarer 4W-Summen wähle ich eine aus, um ein Zahlenverhältnis zu bilden:

910

640

1550

941

754

2005

3700

365

1225

1590

1223

1624

1623

4470

1342

718

2060

212

298

 

510

 

 

5200

 

 

 

8680

5200:8680 = 40*(130:217); 217 = 7*31

Die Umkehrfaktoren 13 und 31 sind auch in 910 = 70*13 und 1550 = 50*31 enthalten. 640 = 16*40 ist die einzige durch 40 teilbare Einzelsumme. 347-16 ergibt die Primzahl 331, deren Einzelziffern die Punkteverteilung der Doppelraute wiedergeben. Durch 347+331 gelangt man wieder zu der durch 113 teilbaren Summe 678.

10.   Die ZS-Verhältnis  2635:2618 ist 17*(155*154) und entspricht, wie im vorigen Kapitel dargelegt, zwei Oktaedern. Zusammen mit den Summen der 6 Rauten des Tetraktyssterns, die den 6 Seiten eines Würfels zugeordnet werden können, kann eine ZW/FW-Verrechnung durchgeführt werden. Ein bemerkenswertes Ergebnis ergibt sich aus den 4W-Summen:

 

Ok1

Ok2

sm

FW

sm

FW

4W-S

4700

6193

2987

13880

358

 

 

FW

61

574

132

767

72

 

 

sm

 

 

 

14647

430

15077

15077

FW

 

 

 

248

50

298

151

15228 = 18²*47 > FW 63

15228

Die Faktoren 13*59 der FW-Summe 767 sind bereits in der ZS 6903 = 9*13*59 begegnet. Die Einzelziffern der Faktoren bedeuten die Entsprechung von 5:9 Durchmesserelementen zu 1:3 Kreisflächeneinheiten. Dasselbe Kreisflächenverhältnis geben die Einzelziffern der Zahl 767 in der Aufteilung 7:(6+7) wieder, bezogen auf 7 hexagonale Punkte und 6+7 Punkte des Tetraktyssterns.

18² weist auf zweimal 18 Elemente des Tetraktysrahmens hin, 63 ist die Komplementärzahl zu 47.

11.   Erwähnenswert ist auch die Zuordnung einer Würfelbahn zu einem Oktaeder aus den 4W-Summen der 3 Doppelrauten:

Mi.

li.

re.

 

966

1016

1005

2987

 

2021

 

2021 = 43*47

Da der erste Oktaeder die 4W-Summe 4700 hat, bedeutet die Addition von 2021 das Ergebnis 47*(100+43) = 47*11*13 und zeigt damit die beiden geometrischen Figuren an, die für den Oktaeder konstitutiv sind.

 

 

     Erstellt: Dezember 2014

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