Die Umkehrungen der Gleichung 1+2 = 3

1.       Jede Definition besteht aus einer Gleichung. Das Urbild der Gleichung sind die ersten drei Zahlen, indem die dritte aus der Addition der ersten beiden besteht. 1+2 = 3 als Ordinalzahlen verstanden, geben die Definition der drei göttlichen Personen wieder, indem die dritte Person aus der ersten und zweiten hervorgeht. Als Kardinalzahlen verstanden, begründet die Gleichung die Gültigkeit für die 1. Person als Ursprung von 2 weiteren Personen.

Die Gleichung 1+2=3 ist in den beiden konzentrischen Tetraktyskreisen verwirklicht, indem 1 Flächeneinheit des hexagonalen Kreises und 2 Flächeneinheiten des äußeren Kreisrings 3 Flächeneinheiten des ganzen äußeren Kreises ergeben. Das Flächenverhältnis der beiden Kreise ist 1:3:

Bezeichnet man jede Person mit der Zahl 1, so ergibt sich die Gleichung 1+1=2, wobei 2 wiederum die dritte Person als Hervorgang aus den ersten beiden Personen bezeichnet. Diese Formel ist in den beiden konzentrischen Tetraktyskreisen zu erkennen, indem der hexagonale Kreis gleichzeitig den inneren Kreisausschnitt des äußeren Kreises darstellt.

Die Zahlenfolge 112 und ihre Umkehrung 211 ist in jeweils zwei Umkehrungen der Zahl 123 anzutreffen:

123+213 = 336 = 3*112; 321+312 = 633 = 3*211.

Entsprechend der Endziffer 3 ist die Summe der vier Umkehrungen 3*323 = 3*17*19.

2.       Zusammen mit ihren Faktorenwerten (FW) läßt sich ein Zahlenverhältnis der vier Umkehrungen bilden:

ZW

123

321

444

213

312

525

969

FW

44

110

154

74

22

96

250

 

167

431

598

287

334

621

1219

598:621 = 23*(26:27) = 23*53 = 1219

167:334 = 167*(1:2) = 501

Ursprünglichster geometrischer Bezugspunkt der Gleichung 1+2 = 3 sind die beiden Radien eines Kreisdurchmessers:

Jeder Radius wird durch zwei Punkte begrenzt. Auf diese Weise sind zwei Mittelpunkte zu zählen. 1 Radialmaß + 2 Punkte sind demnach gleich den anderen 3 Radialelementen. Numeriert man den Mittelpunkt mit 1, die Kreislinienpunkte mit 2 und die Verbindungslinie mit 3, ist die Gleichung 1+2 = 3 besonders einleuchtend. Die Numerierung von 5 Durchmesser- und 6 Radialelementen führt zur Summe 23.

Das Hexagon und seine Erweiterung zum Tetraktysstern besteht aus mehreren 6-er Einheiten, für die man die Gleichung 1+2=3 anwenden kann. Der Tetraktysstern kann durch Achsenkreuze aus je zwei Doppelrauten (DR) zu Oktaedern weiterentwickelt werden:

Das Kreisflächenverhältnis des hexagonalen Kreises zum äußeren Kreis beträgt 1:3 und zum äußeren Kreisring 1:2. Aus den beiden vorstehenden Figuren lassen sich die obigen Ergebnisse erklären. Die ZS+FS 1219 läßt sich auf 31 Rahmenelemente des DR-Kreuzes beziehen: 12:19 Elemente geben das Kreisflächenverhältnis 2:1 wieder. Die Einzelziffern der Faktoren 23 und 53 sind als Elemente auf der DR-Zickzacklinie erkennbar, ihnen entsprechen die Flächenverhältnisse 2:1  und 3:1.

Die Addition 11+12 läßt sich auch auf die Punkte und Flächen eines DR-Kreuzes übertragen:

Dieses Modell als Grundlage für den Oktaeder ist hilfreich, um das Verhältnis 26:27 zu erklären. Es handelt sich wie bei Durchmesser- und Radialelementen um einen zweifach zu zählenden Doppelaspekt: Der Oktaeder besteht aus 26 Oberflächenelementen + 1 Volumen, also zählt man die Oktaederelemente einmal ohne und einmal mit Volumen. Es gibt eine weitere Erklärung für die beiden Verhältniszahlen:

Zählt man den Mittelpunkt nur einmal – für das Hexagon – kommen zu den 25+24 Elementen des Tetraktyssterns noch jeweils ein Kreisbogen und eine Kreisfläche hinzu. Es ist von Interesse, daß die ZS der 6 Namen der Kapitolinischen Trias 242 und 252 sind: IUPPITER IUNO MINERVA, OPTIMUS MAXIMUS REGINA.

3.       Die Einzelziffern der Zahl 167 stellen wiederum eine Gleichung dar: 1+6=7. Das heißt, daß notwendig zu den 1+6 Punkten des Hexagons 6+1 Punkte des Erweiterungsbereichs hinzukommen müssen, damit der Tetraktysstern mit zwei konzentrischen Kreisen versehen ist. Bei dieser Betrachtungsweise werden zwei Mittelpunkte gezählt. Das Verhältnis 1:2 ist die Flächenaufteilung der beiden Kreise beziehbar.

167 kann auch aufgeteilt in 16+7 = 23 verstanden werden. 16 ist die Summe der Zahlen 1-3 und 1-4. Die 7 Zahlen können als Numerierung auf die Elemente einer Tetraktysseite eingetragen werden:

Die anderen beiden Tetraktysseiten können ebenso numeriert werden. Die Summe 501 ist auf 3*17 = 51 Elemente von drei "Fischfiguren" beziehbar:

Die Fischfigur entsteht als eine Erweiterung sowohl des hexagonalen Doppeldreiecks als auch der Raute und erhält ihre besondere Bedeutung durch ihre 3 Dreiecke als geometrische Darstellung der drei göttlichen Personen.

4.       Es gibt 7+5+3+1 = 16 dreistellige Zahlen, die als Gleichung dargestellt werden können. Mit ihren Umkehrungen sind es 64 Zahlen:

123, 134, 145, 156, 167, 178, 189 || 235, 246, 257, 268, 279 || 347, 358, 369 || 459. Die Addition der Endziffern ergibt 110 = 11*10. Die Gesamtsumme der 64 Zahlen beträgt demnach 110*17*19 = 35530. Die absteigende Zahl von Gleichungszahlen hat in der DR eine Entsprechung:

7:5 Punkte geben das Kreisflächenverhältnis 3:1 wieder. Auch die Zahl 110 weist durch die Produktzahlen 11*10 auf die 21 Elemente der DR. 16 Zahlen können auf den Rahmenlinien eines DR-Kreuzes in 8-förmiger Umfahrung eingetragen werden:

Die vier Umkehrungen haben folgende ZS+FS:

 

ZS

FS

sm

 

 

sm

123 usw.

3910

1505

5415

10*17*23 >47

5*7*43 >55

15*19²

213 usw.

8410

2158

10568

10*29² >65

2*13*83 >98

8*1321

 

12320

3663

15983

110*112 >33

3*11³ >36

11*1453

321 usw.

11830

4498

16328

70*13² >29

26*173 >188

6*13*157

312 usw.

11380

2019

13399

20*569 >578

3*673 >676

3*673

 

23210

6517

29727

110*211 >229

7³*19 >40

81*367

GS

35530

10180

45710

110*17*19 >54

20*509 >518

7*10*653

Der Faktor 653 gibt für 3 Hexagonachsen jeweils 6 Radial- und 5 Durchmesserelemente wieder, die Faktoren 7 und 10 die Punktezahl des Hexagons und der Tetraktys.

5.       Die ZS+FS der vier Umkehrungen können in je ein DR-Kreuz oder zusammengefaßt in zwei oder einem einzigen DR-Kreuz eingetragen werden, was hier geschehen soll:

Dem Ablauf der Eintragungen gemäß ist die Summe der vertikalen DR geringer als die der horizontalen. Daher wird ein Ausgleich am ehesten erreicht, wenn man jeweils eine vertikale Raute mit einer horizontalen kombiniert. Duch Winkelverschiebung erhält man ein Oktogon. In diesem Fall ergibt die linke und obere Raute und die  untere und rechte die geringste Differenz von 992 = 32*31:

21909 = 3*67*109; 22801 = 151*151. Die Primzahl 151 gibt die Punkteverteilung von 1+5+1 DR-Punkten wieder. Somit wird erkennbar, daß die 16 Gleichungszahlen auf die Oktaederbildung hin ausgerichtet sind. Die FS sind in jede Raute grün eingetragen.

Die ZS+FS der vertikalen und horizontalen DR sind nicht durch 7 teilbar, aber zeigen eine überraschende Gemeinsamkeit:

 

ZS

FS

 

 

vert.

15181

5192

20373

3*6791

hor.

20349

4988

25337

13*1949

 

35530

10180

45710

 

Die beiden primen Umkehrzahlen 373 und 337 stellen die Verteilung der 13 Punkte des Tetraktyssterns dar. Die ZW/FW-Verrechnung zeigt einen weiteren Bezug zum Tetraktysstern:

 

 

 

sm

FW

sm

ZS+FS

20373

25337

45710

667

 

FW

6794

1962

8756

214

44*199

sm

2*113*241

54466

881

 

FW

 

 

356

881

1237

Die Tetraktys besteht aus 37 Elementen, der Tetraktysstern aus 49 Elementen, 12 stellt die Differenz dar. Die Einzelziffern geben auch die 13 Punkte des Tetraktyssterns wieder: (1+2) + 3 Eckpunkte von zwei Tetraktys und 7 Punkte des Hexagons.

6.       Die Zuordnung der Rauten hat keine Teilbarkeit der ZS+FS durch 10 oder 7 ermöglicht. Daher soll eine andere Ordnungsweise betrachtet werden: Jeweils zwei zu einem Dreieck gehörige Zahlen lassen sich zusammenfassen, so daß zweimal vier ZS+FS der vertikalen und horizontalen DR symmetrisch nebeneinander stehen:

1

2

3

4

5

6

7

8

 

3462

5109

5715

6087

5278

5829

7378

6852

45710

Die Summen 5278 = 14*13*29 und 7378 14*17*31 sind jeweils einzeln durch 7 teilbar. Ihre linken symmetrischen Entsprechungen sind die Summen der Dreiecke 1 und 3. Diese sind zusammen ebenfalls durch 7 teilbar:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+3

3462

5715

9177

7*1311 = 3*7²*53

2+4

5109

6087

11196

 

5+7

5278

7378

12656

7*16*113

6+8

5829

6852

12681

 

 

 

 

21833

7*3119

 

 

 

23877

7*9*379

Die ZS+FS der anderen vier Dreiecke sind einzeln nicht durch 7 teilbar.

Zwei weitere symmetrische Paarungen sind durch die Summen der Dreiecke 1+4 und 5+8 möglich, wobei für eine Teilbarkeit durch 7 zweimal ein Verhältnis von 1:3 Summen besteht, da je eine allein durch 7 teilbar ist:

1

2

3

4

5

6

7

8

 

3462

5109

5715

6087

5278

5829

7378

6852

45710

3462+6087+6852 = 16401 = 7*3*11*71; 16401+5278 = 21679 = 7*19*193 = 7*3667

5109+5715+5829 = 16653 = 3*7*13*61; 16653+7378 = 24031 = 7*3433

Aus den symmetrischen Zuordnungen wird ein Zweifaches deutlich: Erstens, ein DR-Kreuz bildet ein Ganzes, das aus zwei Hälften, nämlich zwei DR besteht. Zweitens, der gemeinsame Teiler 7 weist auf 7 Punkte einer jeden DR hin.

7.       Es fehlen noch zwei Umkehrungen. Das Ausgangsmuster 132:231 = 3*11*(4:7) = 3*11² = 363 gilt auch für die übrigen 15 Zahlen, sodaß die Gesamt- ZS 110*11*11 = 13310 beträgt. Da eine Raute aus 11 Elementen besteht, ist das Ergebnis ein Hinweis auf die DR und das DR-Kreuz. Auch die FS 990 ist durch 11 teilbar, sodaß die ZS+FS der 5. und 6. Umkehrung 13310+990 =  14300 = 100*11*13 beträgt. 143 als eine Umkehrung der Gleichungszahl 134 verweist auf die zwei ineinander geschobenen Figuren des Doppeldreiecks und der Raute aus 13 und 11 Elementen, die zusammen die "Fischfigur" aus 17 Elementen bilden:

143 als 14+3 teilt die Fischfigur in 14 Elemente aus Punkten und Linien und in 3 Dreiecksflächen ein. 134 zeigt auf, daß die DR aus zwei einzelnen Rauten besteht, die also neben einem Mittelpunkt auch mit zwei Mittelpunkten zu denken ist:

Die Gesamt-ZS+FS der 6 Umkehrungen der 16 Gleichungszahlen beträgt 45710+14300 = 60010 = 10*17*353. Die Einzelziffern der Primzahl 353 haben eine dreifache Bedeutung: Erstens, sie stellen 2*3 Radialelemente und 5 Durchmesserelemente der Kreisachse dar, zweitens, sie geben als Radialelemente der DR-Zickzacklinie des Tetraktyssterns das Kreisflächenverhältnis 1:3:1 wieder, drittens, in der Aufteilung 35-53 bezeichnen sie das Kreisflächenverhältnis 1:3 und 3:1.

Der Faktor 17 weist besonders auf die 17 Elemente der Fischfigur hin. Es ist auffallend, daß 134 als einzige der 16 Zahlen den Faktor 17 in ihrer Umkehr-ZS+FS enthält. 2567 = 17*151 weist wiederum auf die Anordnung der 1+5+1 DR-Punkte hin.

8.       Symmetrische Zuordnungen von 4+4 Summen sind für die 6 Umkehrungen nicht möglich. Es lassen sich keine Zahlenverhältnisse in irgendwelchen geometrischen Modellen nachweisen. Stattdessen führt die fortlaufende Addierung der ZS+FS der 6 Umkehrungen zu einer Teilbarkeit durch 17, allerdings erst an 13. Stelle. Das heißt, daß auch die Addition der letzten 3 Zahlen durch 17 teilbar ist. Es ist darin ein besonderer Bezug zur Punkteaufteilung 1-3-3 der DR erkennbar. Die ZS+FS der drei Schlußzahlen 358, 369, 459 sind 5116+4303+4215 = 13634 = 2*17*401 >420, die Summe der 13 Zahlen davor 46376 = 8*11*17*31 >65. Die FW 420+65 = 485 = 5*97 = FW 102 = 6*17 führen wiederum zum Faktor 17 und in den Einzelziffern zur Gleichungszahl 6+1=7 zurück.

Man kann die ZS+FS nach den Gleichungszahlen gruppieren und versuchen, Teilbarkeit durch 17 oder 170 zu erreichen. Die ZS+FS der 8 Gleichungszahlen mit der Summe 6, 7, 8 ergeben z.B. 32742 = 2* 3* 3* 17* 107; durch 3 teilbar sind zwei Summen: 2874+4215 = 7089 = 3*17*139. Die Summe der Einerziffern der 16 ZS+FS beträgt 70: 1x1, 1x2, 4x3, 2x4, 3x5, 3x6, 2x7.

123

134

145

156

167

178

189

 

 

235

246

257

268

279

 

 

 

 

347

358

369

 

 

 

 

 

 

459

1621

2567

3214

2874

4927

4256

4223

 

 

2903

2965

3556

4355

4222

 

 

 

 

4693

5116

4303

 

 

 

 

 

 

4215

1621

2567

6117

5839

13176

13727

16963

Der formalen Gleichheit von je drei Summen mit der Endziffer 5 und 6 entspricht auch Teilbarkeit durch 17 nach Addition der sechs Zahlen: 24463 = 17*1439.

Es fehlen die Endziffern 8 und 9 als Konstitutivzahlen ihrer Summe 17. Die Elemente der Fischfigur sind aufteilbar in 8 Linien und 6 Punkte + 3 Dreiecksflächen.

9.       Die vier Umkehrungen enthalten 10 Primzahlen (PZ), die nach den ersten beiden Ziffern und der letzten Ziffer geordnet werden können:

2 Zi.

167

617

257

347

 

 

1388

4*347

 

431

541

761

523

743

853

3852

6*642

 

 

 

 

 

 

 

5240

10*524

 

 

 

1545

 

1090

 

2635

5*527

2635:2605 = 5*(527:521)

Die Einzelziffern der Zahl 524 = 4*131 hat eine doppelte Bedeutung: Erstens, Die Raute besteht aus 5 Linien, 2 Flächen und 4 Punkten. Zweitens, die Einzelziffern geben die Punktestruktur der DR mit ihren 4 Flächen wieder.

Von den 16 Ausgangszahlen enthalten 7 in ihren vier Umkehrungen 10 Primzahlen. In den Umkehrungen von 347 und 167 sind 2 und 3 Primzahlen enthalten, sodaß es jeweils 5 Primzahlen für 5 und 2 Ausgangszahlen gibt. Die Addition von 347+167 ergibt mit 514 und 2*257 zwei weitere Gleichungszahlen. Die Gleichungszahl 527 ist Durchschnitt der 5 Primzahlen in den zweimal vier Umkehrungen.

Die Gruppe der 4 PZ hat das Verhältnis 347*(1:3). Ebenfalls zu einem Verhältnis von 1:3 führen die FW der Summen beider Gruppen:

4*347 >351 = 3*117; 6*642 = 36*107 >117; 117 = 9*13.

Von Interesse ist die ZW/FW-Verrechnung der beiden Durchschnittszahlen 347 und 642:

 

 

 

sm

FW

sm

FW

ZS

347

642

989

66

23*43

 

FW

347

112

459

26

 

 

sm

 

8*181

1448

92

1540

27

FW

 

 

187 

27

214

109

sm

 

 

 

 

 

136

136 = 8*17

Die Verrechnung enthält drei Gleichungszahlen und mit dem Produkt 8*17 eine vierte. 136 ist die Summe der Zahlen 1-16.

10.     Von 8 Gleichungszahlen sind keine Primzahlen möglich, weil sie durch 3 teilbar sind (7) oder aus geraden Zahlen bestehen (1). Von den zweiten 8 Zahlen bildet 178 eine Ausnahme, weil keine der zwei Umkehrungen mit ungerader Endziffer eine Primzahl ist:

123

156

189

246

279

369

459

268

134

145

167

235

257

347

358

178

Ein Rautenrahmen besteht aus 4 Punkten und 4 Linien. In einer DR bildet also die 8. Zahl den Mittelpunkt und Abschluß einer Raute. Es folgen 7 Elemente für die zweite Raute. Nun gibt es 3 Gleichungszahlen mit einer 8 am Ende. Das weist durch 13+3 Zahlen auf 1+3+3 DR-Punkte hin. Nun gilt es, sowohl einen, also auch zwei Mittelpunkte zu berücksichtigen. Die drei auf 8 endenden Zahlen haben folgende ZS+FS und Faktoren:

268

3317

31*107

358

4061

31*131

 

7378

31*238 (2*7*17) =

 

 

34*7*31

178

3178

2*7*227

 

10556

4*7*13*29

Der Faktor 238 ist die ZS+FS der Zahlen 1-16: 136+102 = 238. Die drei Summen wirken zusammen, um durch die Umkehrzahlen 31 und 13 zwei Mittelpunkte von zwei Rauten anzuzeigen. Erst die Addition der ersten beiden Zahlen führt zu dem Faktor 7, der wesentlich in der Gesamt-ZS+FS 45710 enthalten ist.

268 und 358 vertreten also zwei Gruppen von Gleichungszahlen und ebenso zwei Rauten, deren Punkte von unten und von oben jeweils als 3+1 gesehen werden können:

Ohne die ZS+FS der Umkehrungen von 178 ist die Summe der 15 ZS+FS 45710-3178 = 42532 (42|532) = 4**31, also in Übereinstimmung mit dem Faktor 31 der ZS+FS der Umkehrungen von 268 und 358.

Zwei Ziele sind anzustreben: Erstens, die Summen der 2*5 hexagonalen Elemente sollen durch 31 teilbar sein. Zweitens, die Summen der 8 Punkte und 8 Linien sollen durch 7 oder 70 teilbar sein.

Die ZS+FS von nur einem Paar sind durch 31 teilbar, von 123 und 167: 1219+3989 = 5208 = 24*7*31. Das Paar hat wie die drei auf 8 endenden Gleichungszahlen dieselben Faktoren 7*31 und sollte daher die beiden Mittelpunkte besetzten, während die Summen der anderen drei 3 Erweiterungselementen zugeteilt werden.

Für folgende zweimal vier und einmal drei Summen habe ich Teilbarkeit durch 31 gefunden:

279

459

145

134

 

 

3090

3082

2537

2017

10726

31*346

189

369

156

235

 

 

3092

3169

2098

2243

10602

31*342

246

347

257

21328

 

 

2196

3762

2660

 

8618

31*278

 

 

 

 

29946

6*7*23*31 

Der DR-Rahmen wird entsprechend den Ergebnissen in 2+4+4 hexagonale Elementen und 3+3 Erweiterungselementen eingeteilt. Nach Punkten und Linien ergeben sich folgende Werte:

P

u.

Mittelpunkte

Querpunkte

o.

 

 

178

123

167

189

156

369

235

347

 

 

3178

1219

3989

3092

2098

3169

2243

3762

22750

L

unten

hexagonale Linien

oben

 

 

358

268

279

459

145

134

264

257

 

 

4061

3317

3090

3082

2537

2017

2196

2660

22960

22750:22960 = 70*(325:328)

So könnten die Gleichungszahlen und ihre Umkehrsummen auf dem DR-Rahmen verteilt sein:

Teilbarkeit durch 31 für die 8 hexagonalen Elemente ist mehrfach erreichbar. Hierfür könnte ein Computerprogramm eingesetzt werden, das mir leider fehlt. Ideal wäre, wenn sowohl die Summen der 10 hexagonalen als auch 6 Erweiterungselemente durch 7 teilbar wären.

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Die Singularität der Zahl 178 und ihrer Umkehrungen zeigt sich darin, daß auch die übrigen 13 ZS+FS durch 31 teilbar sind: 45710-3178 = 42532 = 4**31. Das Thema des Doppelaspekts von Radial- und Durchmesserelementen ist an dem Faktor 653 von 45710 erkennbar. Er bezieht sich auf 6 Radialemente und 5 Durchmesserelementen der 3 Hexagonachsen. 

Die ZS+FS der 16 Gleichungszahlen mit ihren Umkehrungen sind:

123

156

189

246

279

369

459

268

 

1219

2098

3092

2196

3090

3169

3082

3317

21263

134

145

167

235

257

347

358

 

 

2017

2537

3989

2243

2660

3762

4061

 

21269

 

 

 

 

 

 

 

178

3178

21269+3178 = 24447 = 3*29*281 >313

45710

Ohne die ZS+FS 3178 von 178 beträgt die Differenz der Teilsummen nur 6.

Die ZS+FS der Zahl 178 sind in 2+2 Umkehrungen durch 7 teilbar:

178

91

269

718

361

1079

817

62

879

871

80

951

995

153

1148

1589

441

2030

1148:2030 = 14*(82:145)

153:441 = 9*(17:49) = 9*66

1589 = 7*227 bildet die Hälfte der Gesamtsumme 3178.

Die Verhältniszahlen 49 beziehen sich auf die Elemente des Tetraktyssterns und 6 Einzelrauten, die sich 12 Elemente + Mittelpunkt teilen:

817 = 19*43 = FW 62 hat eine doppelte Bedeutung: Erstens, die Einzelziffern der Faktoren 19 und 43 beziehen sich auf 10 Punkte der Tetraktys und 7 Punkte des Hexagons. Zweitens, die Einzelziffern von 62 bezeichnen 6 DR-Punkte mit 2 Mittelpunkten.

Der ZW+FW 879 ist aufteilbar in (8+7)+9 und bezieht sich auf die Rahmenelemente der DR: auf 8 Linien und 7 Punkte. Aus 5 Punkten + 4 Linien besteht der hexagonale Teil der Rahmenelemente. 15:9 Elemente geben daher das Kreisflächenverhältnis 3:1 wieder:

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11.     Die Anordnung der 16 Summen läßt einen weiteren Doppelaspekt der Umkehrungssumme 1219 von 123 erkennen: Die Rahmenelemente des hexagonalen Bereichs betragen 9 mit einem und 10 mit zwei Mittelpunkten. Die 6 Erweiterungselemente sind auf 12 zu verdoppeln.

 

 

 

 

 

 

 

Erstellt: März 2021

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