Die Kaprekar Konstante 6174

 

e) Die Rückkehrzahl 2178

1.      Die Kaprekar Konstante beruht auf der Regel, daß eine Zahl nach absteigenden Ziffern geordnet wird, bevor die Umkehrung subtrahiert wird. Darüber gerät möglicherweise aus dem Blick, daß durch Umkehrung und Subtraktion jede beliebige Zahl zu einem Ziel gerät. Die Wiederholungen des Subtraktionsverfahrens kommen z.B. an ein Ende, wenn das Subtraktionsergebnis unter 1000 fällt. Solche Endzahlen sind 999, 909, 360, z.B.

8352-2538 = 5814

5814-4185 = 1629

9261-1629 = 7632

7632-2367 = 5265

5625-5265 = 360

Die Zahl 2178 ist der Kaprekar Konstante sehr ähnlich: 8712-2178 = 6534-4356 = 2178. Hier ist a-d und b-c jeweils 6. Es kommen insgesamt 16 Zahlen in Frage, die diesem Muster entsprechen:

9933

8932

7931

6930

33726

9823

8822

7821

6820

33286

9713

8712

7711

6710

32846

9603

8602

7601

6600

32406

38472

35068

31964

27060

132264

Zählt man die 16 Zahlen horizontal durch, stehen die zentralen Zahlen 7821 und 8712 auf den konzentrischen Positionen 7 und 10. Mit den ebenfalls durch 9 teilbaren Zahlen 6930 9603 in den Positionen 4 und 13 stehen sie in diagonaler Anordnung.

2.      Im Unterschied zum Zustandekommen der Kaprekar Konstante 7641-1467 = 6174, sind für die Rückkehrzahl 2178 zwei Schritte erforderlich:

8712 =                     4*(18*11²)

8712-2178 = 6534 =  3*(18*11²)

6534-4356 = 2178 = 1*(18*11²)

Es liegt hier also eine Gleichung 3+1 = 4 vor. Sie wurde bereits im Zusammenhang mit der Bedeutung der Zahlen 6 und 2 am Ende des vorhergehenden Beitrags besprochen:

3.      Zur Erklärung der Rückkehrzahl 2178/8712 eignet sich besser die Parallelzahl 7821. Die Einzelziffern beziehen sich auf die 7 Punkte und 8 Linien des Doppelrautenrahmens. Numeriert man die Punkte in achtförmiger Umfahrung, gewinnt man mit 8 und 9 zwei weitere Positionen. Wenn man die zwei äußeren Punkte verbindet, um mit einer zweiten Doppelraute (DR) einen Oktaeder zu bilden, läßt sich eine 10. Position numerieren:

Der Sinn für die umgekehrte Reihenfolge 7-1-2 ist vielleicht darin zu sehen, daß mit der 8. Position alle 7 Punkte besetzt sind und daß die Bedeutung der beiden Positionen 9 und 10, die nach der Vereinigung der äußeren Punkte nebeneinander liegen, durch die Zahl 2 hervorgehoben wird. Tatsächlich besteht die Gemeinsamkeit der Zahl 2178 und der Oktaederbildung darin, daß ein Kreis geschlossen wird und ein neuer Kreisumlauf möglich wird.

4.      Die Umkehrung der Zahl 8712 zu 2178 erfolgt also durch ihre Teilung durch 4: Es bleiben nicht nur die Einzelziffern erhalten, sondern stehen in umgekehrter Reihenfolge. Diese Umkehrung kann am Oktaeder nachvollzogen werden:

Bezeichnet man die vier Quadratseiten der Mittelbasis mit vier unterschiedlichen Zahlen von links nach rechts und dreht man von der Horizontalkante aus den Oktaeder dreimal um 90° von unten nach oben und einmal um 90° nach rechts, laufen die vier Zahlen in umgekehrter Reihenfolge wiederum von links nach rechts.

5.      Die beiden Zahlen 8712, 7821 und ihre Umkehrungen ergänzen einander:

8712 = 2³*3²*11² = FW 34; 7821 = 3²*11*79 = FW 96;

1278 = 2*3²*11² = FW 30; 1287 = = 3²*11*13 = FW 30.

Das Quadrat von 11 der Zahl 8712 verweist auf die Doppelraute, die aus je 11 Elementen besteht. 2³*3² ist auf 8+9 Elemente einer Oktaederhälfte beziehbar, der Faktorenwert (FW) 34 bezeichnet daher zwei Oktaederhälften.

Der Faktor 79 der Zahl 7821 zeigt die zwei Numerierungen der 7 DR-Punkte. 79 ist auch die Numerierungssumme des Oktaeders, wenn man den Mittelpunkt mit 1, die übrigen Punkte mit 2, die Linien mit 3 und die Flächen mit 4 bezeichnet. Der FW 96 ist zu verstehen als 4*(11+13):

Ein Oktaeder besteht entweder aus 4 Rauten von je 11 Elementen oder 4 Doppeldreiecken von je 13 Elementen oder man betrachtet den Oktaeder von beiden Aspekten.

Die Faktoren 11 und 13 der Zahl 1287 weisen auf beide geometrische Figuren hin, aus denen der Oktaeder gebildet werden kann.

Die Addition 34+30 = 64 = 8² weist auf die 8 Flächen des Oktaeders hin, außerdem auf die numerierten 10 Maßeinheiten des Dezimalsystems, erstens wegen 6+4 = 10, zweitens wegen 64 + FW 12 = 74.

Die Faktorensumme (FS)  190 = 19*10 gibt die 1., 9. und 10. Position auf der DR wieder.

Bemerkenswert sind 22+26 als ZS der Initialen IN-RI und der Buchstabenzahlen der historischen und der biblischen Kreuzesinschrift.

6.      Die Summen der zwei Zahlenpaare sind komplementär, insofern sie durch 9 geteilt Umkehrungen darstellen: 8712+2178 = 10890/9 = 1210; 7821+1287 = 9108/9 = 1012. Die Gesamtsumme 19998 ergibt durch Hinzufügung der FS 190 20188 = 28*721 = FW 11+110 = 121. Die Produktzahl 721 gibt die oben beschriebene Numerierung der DR-Punkte wieder. Der FW von 721 ist 7*103 = 110 = 10*11. Die Addition der Faktoren 10+11 gibt die 21 Elemente der DR wieder.

 

 

Erstellt: September 2015

Inhalt II