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Zyklische Zahlen (II)

Weiteres zur Zahl 47

I. 47*(6+1)

1.       Bildet man 3 Gruppen zyklischer Zahlen und rechnet man der Reihe nach jeder Gruppe die freien Zahlen 1,2,5 hinzu, ergeben sich für die Zahlen 1 bis 43 folgende Summen:

Ordn.

 

 

 

 

 

 

 

1

1

7

17

19

23

29

96

2

2

3

13

31

43

 

92

n

5

11

37

41

 

 

94

 

 

 

 

 

 

 

282

Die 3 Summen bilden das Verhältnis 2*(48:46:47). Die Summen der ersten beiden Gruppen verhalten sich zur dritten wie 2:1.

Die Zahlenwert/Faktorenwert-Verrechnung ergibt die Hälfte der Zahlensumme und somit das Verhältnis 1:2:

 

 

 

 

Sm

FW

ZS

96

92

94

282

52

FW

13

27

49

89

89

Sm

3*47

141

2.       15 Zahlen bilden die 6-fache Summe der 16. Zahl 47. Addiert man die vorderen Verhältniszahlen und dann die hinteren, ergeben sich aus 15:1 und 6:1 die Summen 21:2. Die wiederholten Zahlen 1 und 2 weisen auf das Verhältnis 12:21 = 3*(4:7) hin.

Das Verhältnis 6:1 verweist sowohl auf die 6+1 Punkte des Hexagons als auch auf die 6+1 Elemente einer Tetraktysseite. Zwei weitere Aufteilungen einer Tetraktysseite sind 3 Hexagonelemente + 2*2 Tetraktyselemente bzw. 4 Punkte + 3 Linien:

3.       Zwei dieser drei Aufteilungen einer Tetraktysseite lassen sich an der Faktorensumme (FS) 669 = 3*223 der Zahlen 1 bis 47 erkennen. Zieht man von 669 329 (7*47) ab, bleibt 340 übrig. Hinweise auf den Tetraktysstern erhält man durch die ZW/FW-Verrechnung:

 

FS

FW

Sm.

FW

 

329

54

 

 

 

340

26

 

 

Sm.

669

80

749

114

FW

226

13

239

239

Sm.

 

353

Liest man die Zahl 239 als (2+3)+9, ist an die 5 Durchmesserelemente (DM) des Hexagons und an die 9 DM-Elemente des Doppelkreises zu denken. Die Primzahl 353 kann verstanden werden als 3+5/5+3 und stellt dann die Radialelemente des inneren Kreises und des Doppelkreises dar oder als (3+3)+5 und bezieht sich auf die Radialelemente und DM-Elemente des inneren Kreises.

Verrechnet man die Summe der Zahlen von 1 bis 47 (24*47>FW 56) mit der FS 669>FW 226, ergibt sich 282= 6*47. Die Verrechnung führt also wieder zu 47 zurück. Das Produkt 6*47 bezieht sich auf 2 Tetraktysrahmen mit dem Verhältnis des Teils von 6*4 Punkten zum Ganzen von 6*(4 Punkten + 3 Linien).

Nun wird auch der tiefere Sinn der 15 Primzahlen erkennbar, die von 1 bis 43 reichen und eben die Summe 6*47 = 282 ergeben.

II. 47*(2+15)

1.       Die Summe der Zahlen von 1 bis 47 ist 47*24 nach der Regel n*(n+1)/2. Das Besondere an dieser Zahlenreihe ist, daß die Summen der 16 Primzahlen und der 31 übrigen Zahlen jeweils durch 47 teilbar sind und somit das Verhältnis 7:17 bilden.

Von den 17 Anteilen werden 2 Anteile durch die 9 Zahlen zwischen 1 und 16 eingenommen (4,6,8,9,10,12,14,15,16). Setzt man die jeweiligen Verhältnisse der Primzahlen und der übrigen Zahlen untereinander und addiert sie, erhält man das Verhältnis 8*(1:2):

6

1

2

15

8

16

2.       Es wurde bereits dargelegt, daß bei der Einzelzählung der Tetraktysseiten die Eckpunkte doppelt gezählt werden, daß man folglich dieses Verhältnis mit 6:1 (auch 6:7) bezeichnen kann. Überträgt man die Numerierung der 5 DM-Elemente auf die 7 Elemente einer Tetraktysseite, erhält man 17 mit der 2 als Eckpunkt:

Durch Addition des unnumerierten und numerierten Verhältnisses erhält man 21:3.

3.       Die 15+1 Primzahlen mit dem Verhältnis 6:1 sowie die Summe 2*47 der Nicht-Primzahlen von 1 bis 16 zeigen, daß die Zahlen 1 bis 47 eine innere Ordnung besitzen, die sie in drei symmetrische Gruppen aufteilt: 16+15+16 (1-16, 17-31, 32-47). Von der ersten und letzten Zahl beginnend ergänzen sich je 2 Zahlen zu 2*24. Die Zahlensumme der ersten und dritten Zahlengruppe ist demnach 32*24 und die der Mittelgruppe 15*24. Erstaunlich ist nun, daß die Faktorenwerte der beiden äußeren Gruppen genau das Doppelte der Summe der mittleren Zahlen betragen:

 

PZ

FS

üb.Z.

Sm.

1.Gr.

42

 

60

102

3.Gr.

168

 

176

344

Sm.

210

(24)

236

446

2.Gr.

119

(17)

104

223

 

329

 

340

669

Auf die Bedeutung der Zahl 223 für die 7 Elemente einer Tetraktysseite wurde bereits unter I.3. hingewiesen. Die Summen 210 und 119, die das Verhältnis 7*(30+17) bilden, spiegeln in gewisser Weise die Aufteilung der 31 Nicht-Primzahlen und der 16 Primzahlen (17:7) *47 wider. Denn 210 und 119 stellen die Faktorensummen der Zahlen 1-24 und 1-17 dar.

Bildet man unterhalb und oberhalb der Mittelpunktszahl 24 jeweils die Faktorenwerte der Faktorensummen, erhält man folgendes Ergebnis:

 

FS

Fkt.

FW

1-23

201

3*67

70

24

24

4*6

9

25-47

459

9*3*17

26

 

 

 

105

Rechnet man den FW 9 zur zweiten Zahlenhälfte, erhält man das Verhältnis 5*7*(2:1). Das Produkt 3*(5*7) bezieht sich auf die 3 Achsen des Hexagons bzw. den 3 Seiten der Tetraktys sowie auf die 5 DM-Elemente des Kreises und die 7 Elemente einer Tetraktysseite. Die Zahl 67 kann als Verhältnis 6:7 und 17 als numerierte Tetaktysseite verstanden werden.

4.       Bezeichnet man die beiden Kreislinienpunkte einer Kreisachse als 1 und 2, dann kann man die erste Kreisbogenhälfte als 12, die zweite als 21 bezeichnen. Das Verhältnis beider Zahlen ist bekanntlich 3*(4:7). Stellt man den Kreisbogen als eine Strecke dar, braucht man 3 Punkte. Sie lauten 1-2-1 bzw. 2-1-2. Bei einer Doppelzählung der ersteren Zahlen erhält man 3+4. Es scheint nun ein allgemeines Prinzip in der Zahlenordnung zu sein, daß eine zweiten Zahl zur ersten zurückkehrt, um dadurch der Vollendung des Kreisprinzips zu genügen. So geschieht dies mit den Zahl 16+15+16. Die Zahl 16 besteht aus der Summe der Zahlen 1-3=6 und 1-4 = 10, die Zahl 15 aus der Doppelzählung von 1-2-1 und 2-1-2.

III. Die Zahlen 31 und 29

1.       Ein wesentliches Modell für das Dezimalsystem ist die Doppelraute (DR). Der Rahmen einer DR besteht aus 7 Punkten und 8 Linien, also aus 15 Elementen. Zählt man jedoch für jede Raute einen eigenen Mittelpunkt, sind es 16 Elemente. Diesen Doppelaspekt kann man durch ein Doppelrautenkreuz (DRKR) darstellen:

Numeriert man einen Doppelrautenrahmen, vom Mittelpunkt ausgehend, von 1 bis 5, erhält man die Summe 23+1+23 = 47:

Die DM-Elemente des inneren Kreises betragen 11, die des äußeren Kreisringes 18, zusammen 29.

2.       Numeriert man die 31 Elemente des DRKR-Rahmens, erhält man 47+48 = 95. Genau diese Summe ergibt sich aus den ersten 5 zyklischen Zahlen 1. Ordnung. Setzt man die Zahl 7 in den Mittelpunkt und besetzt die 4 äußeren Punkte reihum, beträgt die vertikale Summe aus 3 Zahlen 47 und die horizontale Summe aus 2 Zahlen 48. Die 5 Zahlen haben den Durchschnittswert 19. Zwischen der Zahl 19 und den übrigen 4 Zahlen besteht also das Verhältnis 1:4:

3.       Die letzte zyklische Zahl 29 weist auf die Alternative zu 31 Elementen der DRKR-Rahmens hin, indem die zweite Doppelraute auf einen eigenen Mittelpunkt verzichtet. Beide Figuren zusammen haben ein Mittelpunktsverhältnis von 3:1. Es ist sehr wahrscheinlich, daß der vorjulianische Kalender, der aus 31 und 29 Monatstagen bestand, auf diese beiden Modelle zurückgeht.

Verschiebt man die untere und linke Raute nach rechts oben, bis je zwei äußere Punkte zusammenfallen, entsteht eine Quadratform mit den addierten Zahlen 46 und 42 sowie zweimal 7.

Die FW der Zahlen 46 und 42 sind 25+12 =37. Die beiden 7 erhöhen die FS auf 51. Die FS verhält sich somit zur ZS 51:102 = 51*(1:2). Die Zahl 17 verhält sich nun zu den übrigen 5 Zahlen wie 1:5.

4.       Es lohnt sich, bei der Zahl 29 ein wenig zu verweilen. Die FS von 1 bis 29 beträgt 284 = 4*71. Die Zahl 4 bezieht sich hier auf die 4 Rauten des DR-Kreuzes, 1 auf den Mittelpunkt einer jeden Raute und 7 auf die 7 übrigen Rahmenelemente einer Raute. Die Zahl 284 selbst weist auf 2+8 Linien und 4 Dreiecke der DR hin.

Zu den 5 zyklischen Zahlen 1. Ordnung mit der Summe 95 kommen noch 6 weitere Primzahlen (1,2,3,5,11,13) mit der Summe 35 hinzu, zusammen 130 =13*10 im Verhältnis 5*(19:7). Die übrigen 18 Zahlen bilden die FS 154 = 11*14. Auf die Numerierungssummen 11 und 18 ist bereits unter III.1. hingewiesen worden. In der DR nun besteht der innere Kreis aus 13 Elementen (Sanduhrfigur) und die beiden Dreiecke des äußeren Kreisrings ergänzen sich zu 11 Rautenelementen.

Addiert man 11+13 und 10+14, erhält man jeweils 24. Die Quersumme jedes Zahlenpaares beträgt jeweils 6. Die Bedeutung dieser Zahlen liegt in der Erweiterung der DR zum DR-Kreuz und zum Oktaeder. Die Numerierung der DR in 8-förmiger Umfahrung bis zum Ausgangspunkt gewinnt zunächst zwei Positionen hinzu, die nach Rundung der DR und Vereinigung der beiden äußeren Eckpunkte um eine weitere Position vermehrt wird. Zu den 21 Elementen der DR kommen also 2+1 Positionen zu insgesamt 24 Numerierungspositionen hinzu. So drückt sich im Produkt 11*14 Ausgangssituation und Erweiterung der 7 Punkte + 4 Dreiecke zu (7 Punkten +3 Positionen) + 4 Dreiecken aus:

Die Zahl 6 zeigt besonders die doppelte Numerierung der 3 Vertikalpunkte an. Die übrigen 18 Elemente können nun ebenso in drei 3+3 Einheiten aufgeteilt werden: 2*(2 Dreiecke + 1 Querlinie). 2*2*(2 Linien + 1 Punkt).

In einer gerundeten DR kann man je nach der Ausgangsperspektive 2 Rauten mit je 11 Elementen und 2 sanduhrartige Doppeldreiecke mit je 13 Elementen, zusammen 48, erkennen. Auf diese Weise kann sich das zweifache Additionsergebnis 24 entweder auf eine einzelne DR oder hinsichtlich der Numerierung auf ein DR-Kreuz beziehen. Wie bereits zu sehen war, hat die Zahl 29 einen inneren Bezug zu beide Modellen.

5.       Die Zahl 47 schließlich kommt zustande, wenn man ein DR-Kreuz einmal von 1-23 und einmal von 1-24 numeriert. Dieser Gesichtspunkt ist unter dem Thema SATOR-Quadrat behandelt.

 

 

 

 

 

Erstellt: Februar 2006

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