64 Zweistellige Komplementärzahlen

Drei Gruppen von Komplementärzahlen

I. Überblick

II. 9+1+2 komplementäre Gruppen

a) 9+3

b) 10+2 in zwei Achsenkreuzen

c) 10+2 im Doppelrautenkreuz

d) 9+10

III. 20 Komplementärgruppen im DR-Kreuz

I. Überblick

1. Die 72 Umkehrzahlen sind in drei Gruppen aufteilbar, wenn man sie nach folgenden drei Gesichtspunkten ordnet: 1. von der untersten zur obersten Zahl, 2. nach Primzahlen und Nicht-Primzahlen, 3. nach ihren komplementären Entsprechungen/Ergänzungen (KE).

Eine komplementäre Zahlengruppe (= Vierergruppe) beinhaltet 1. die Basiszahl (BZ) sowie drei abhängige Zahlen, nämlich 2. die KE der Basiszahl, 3. die Umkehrung (UK) der Basiszahl und 4. ihre KE.

2. Die erste Gruppe von BZ besteht aus 12 Primzahlen, die zweite Zahlengruppe aus 4*4 Nicht-Primzahlen, die dritte Gruppe aus 2*4 Zahlen, deren Umkehrung gleichzeitig ihre KE darstellt, z.B. 19 91.

3. Die ZS+FS der 72 Umkehrzahlen ist 3960+1990 = 5950 = 350*17. Die ZS+FS aller drei Gruppen sind durch 17 teilbar:

Gr.	1	2	3
BZ	12	4	4	20
ZS	2640	880	440	3960
FS	1457	293	240	1990
	4097	1173	680	5950
*17	241	69	40	350

4. Faßt man die FS der zweiten und dritten Gruppe zusammen, ergeben sich 31 und 13 als Umkehrfaktoren zweier Gruppen: 1457 = 31*47 = FW 78, 533 = 13*41 = FW 54. Das FW-Verhältnis 78:54 = 6*(13:9). Aus 13 und 9 Elementen bestehen die beiden Achsenkreuze aus drei und zwei Achsen.

5. Zwischen den drei Gruppen gibt es Querverbindungen:

– Jeweils ein Paar der Komplementärgruppen 2 und 3 bilden ein FS-Verhältnis:

BZ	24	25	sm	19	28	sm	GS
FS	87	80	167	39	54	93	260
BZ	26	45		37	46
FS	73	53	126	110	37	147	273
260:273 = 13*(20:21)
126:147 = 21*(6:7)

– Die FS der 9 Basisprimzahlen, deren jeweils 3 abhängige Zahlen keine Primzahlen sind, beträgt 947, Primzahl und Komplementärzahl zu 163, die FS der 3 Basisprimzahlen 17, 13, 43 510 = 30*17, zusammen 947+510 = 1457 = 31*47. Die Basisprimzahl 19 gehört zur ersterer, die Primzahl 37 zu letzterer Gruppe. Durch Hinzufügung der FS kommen folgende Ergebnisse zustande:

BZ	1-9	19	sm	1-3	37	sm
FS	947	39	986	510	110	620
986 = 58*17 = FW 48; 620 = 20*31 = FW 40
48:40 = 8*(6:5)

Die Faktoren 17 und 31 bleiben in umgekehrter Folge erhalten. Der Zusammenhang besteht in ihrer Komplementärbeziehung: 93 = 3*31 ist die Komplementärzahl zu 17.

– Die zwei Nicht-Primzahlen der 3. Gruppe gehen mit der 2. Gruppe ein Zahlenverhältnis ein:

				sm				sm	GS
BZ	24	25	46	95	26	45	28	99	204
FW	9	10	25	44	15	11	11	37	81
FS	87	80	37	204	73	53	54	180	384
204:180 = 12*(17:15)

6. Die FS der 14+6 = 2*(7+3) Basisprimzahlen und Nicht-Primzahlen betragen 1606 = 2*11*73 und 384 = 1990. Zweimal 7+3 ist auf die 7 Punkte des Hexagons und 3 Punkte der Tetraktyserweiterung zu beziehen, zweimal 11 auf die Elemente der DR, die Einzelziffern (1+6)+6 auf die Punkte des Tetraktyssterns. Durch die ZW/FW-Verrechnung kommt folgendes Ergebnis zustande:

			sm	FW	sm	FW
FS	1606	384	1990	206
FW	86	17	103	103
sm			2093	309	2402	1203
FW			43	106	149	149
1352 = 13*104 = 8*13²						1352
103:206 = 103*(1:2)

Die Einzelziffern des Verhältnisses 103*(1:2) geben die zwei trinitarischen Kreisflächenverhältnisse wieder.

Die Summe der Basiszahlen der beiden Gruppen ist 614+194 = 808. Zweimal 8 ist auf zweimal 5+3 Radialelemente beziehbar.

II. 9+1+2 komplementäre Gruppen

a) 9+3

1. Die erste Gruppe der Primzahlen ist unter differenzierter Sichtweise zu ordnen. Die Umkehrungen und je zwei KE von 9 Primzahlen sind keine Primzahlen, z.B. 23 (KE 87, UK 32, KE 78). Unter den abhängigen Zahlen von 3 Basisprimzahlen gibt es auch Primzahlen:

BZ	17	43	13	73
KE	93	67	97
UK	71	34	31
KE	39	76	79
FS	138	152	220	510
		372
372 = 12*31

Der Basiszahl 17 kommt offensichtlich eine besondere Bedeutung zu. Denn die Einzelziffern der KE 93 geben die Aufteilung der 12 Basisprimzahlen in 9+3 an. Die Zahl 17 unterscheidet sich von den anderen beiden Basiszahlen dadurch, daß ihre KE keine Primzahl ist. 43 ist einerseits Primzahl, andererseits ist ihre Ausgangszahl 34 keine Primzahl und auch deren KE. Alle drei abhängige Zahlen von 13 sind Primzahlen.

2. Daß 17 den 9 Basiszahlen zuzurechnen ist, wird durch die Faktoren 35*31 der 10*4 Zahlen nahegelegt. Denn auch die FS der 8 Zahlen der BZ 43 und 13 enthält den Faktor 31, sodaß die Gesamt-FS nun 47*31 = 1457 beträgt.

Auch die Summe der 10 Basiszahlen 502 ist durch 31 teilbar, wenn man 43+13 = 56 hinzufügt: 558 = 18*31. Das ZS der 12 Basiszahlen ist gleichzeitig ihre FS. Daher beträgt das FS-Verhältnis 558:(1457-558) = 558:899 = 31*(18:29).

Das FS:ZS-Verhältnis der 8 Zahlen ist 372:440 = 4*(93:110). Die interne Differenz der Verhältniszahlen ist 17, also die KE von 93.

Die Verflechtung der Zahlen 13 und 17 zeigt sich auch in der FS:ZS-Verhältnis der drei BZ: 510:660 = 30*(17:22) = 30*39. Teilbarkeit durch 13 zeigen die Summen folgender Komplementärpaarungen:

BZ	KE	sm	FW		sm	GS	BZ	KE	sm	FW		sm	GS
17	93	110	17	34	51	161	71	39	110	71	16	87	197
34	76	110	19	23	42	152	43	67	110	43	67	110	220
13	97	110	13	97	110	220	31	79	110	31	79	110	220
64	266	330	49	154	203	533	145	185	330	145	162	307	637
533:637 = 13*(41:49)

3. Bei der Aufteilung 9+3 verteilen sich die Primzahlen und Nicht-Primzahlen so: 9+8, 27+4, zusammen 17+31 = 48. Die Zusammensetzung beider Additionen zeigt wiederum Teilbarkeit durch 31:

Zahl	98	274	372
FW	16	139	155
155:372 = 31*(5:12)

4. Die Zahlen 9+3 sind auf die 9 Punkte des Tetraktysrahmens zu beziehen. Zählt man jede Seite gesondert, ist das Ergebnis 3*4 = 12 Punkte. Die Doppelzählung ergibt 21:

Die vorstehende Grafik bezieht die 9 Rahmenlinien ein. Bei doppelter Zählung erhält man (9+9)+(12+9) = 39 und damit die Umkehrung von 93 bzw. von 9+3.

Auch die 21 Elemente der Doppelraute (DR) weisen eine Aufteilung in 9+12 auf. Einzeln gezählt bestehen die beiden Zickzack-Durchmesserlinien und der Mittelteil aus je 9 Elementen, sodaß auf die DR der Ausdruck 3*9 zutrifft:

5. Wenn man die Quersumme (QS) der Basiszahlen errechnet, kann man durch Multiplikation mit 11 das Summenverhältnis der vier Zahlengruppen ermitteln. In der folgenden Tabelle ist die fortlaufende Summe eingetragen:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
BZ	23	29	41	47	53	59	61	83	89
QS	5	16	21	32	40	54	61	72	89

Bemerkenswert ist die Identität der fortlaufenden Summe bei 61 und 89. Durch die Basiszahlen 13+43+17 kommt die QS 19 hinzu, sodaß die Gesamt-QS 108 beträgt. Die Faktoren 9*12 der Zahl 108 spiegeln genau die vorgenommene Doppelzählung von 9+3 wider.

Die Gesamtsumme der 12*4 Zahlen ist 12*220 = 11*240, die Summe einer KE-Paarung 11*120 = 1320. Das Verhältnis der Basiszahlen und ihrer UK zu den KE und ihren UK beträgt 1188:1452 = 11*(108:132) = 11*12*(9:11). Die vier Summen sind:

	BZ	UK
	558	630	1188
KE	762	690	1452
	1320	1320	2640
558:630 = 18*(31:35)
630:690 = 30*(13:23)

Geht man von der BZ 34 aus, errechnet sich ein FS-Verhältnis der 12 Basiszahlen + ihrer KE zu ihren entsprechenden Umkehrwerten. Die Werte der ersten 10 BZ sind einer früheren Tabelle entnommen:

10 BZ		FW		694			FW		391
34	76	19	23	42	43	67	43	67	110
13	97	13	97	110	31	79	31	79	110
				846					611
846:611 = 47*(18:13)

b) 10+2 in zwei Achsenkreuzen

1. Entsprechend obiger ausgeweiteter Rechenweise von 9+(9+3) = 21 gibt es für die Addition 10+2 die vollständige Darstellung 10+(10+2) = 22. Es handelt sich um 6+4 Maßeinheiten im dreiachsigen und zweiachsigen Achsenkreuz. Dabei werden die Zahlen 1-3 zusammengezählt und die Zahl 4 hinzugefügt, sodaß es ein Verhältnis von 3:1 Zahlen gibt. Diese 10 Maßeinheiten, die auf die Radiallinien zu setzen sind, werden durch 10+2 Punkte begrenzt. Die beiden zusätzlichen Punkte (11. und 12. Stelle) sind mit den Mittelpunkten gleichzusetzen:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
PZ	17	23	29	41	47	53	59	61	83	89	43	13	558
sm	138	83	76	89	109	100	111	132	125	122	152	220	1457
	975							1040

Die Addition der Basiszahlen und der FS ergibt das Verhältnis 5*13*(15:16) = 5*13*31 für 7:5 Zahlenpaare.

2. Die beiden Gruppen von 5 und 7 FS lassen sich zusammenhängend in Kreisform darstellen:

Das FS-Verhältnis der beiden Achsenkreuze beträgt 62*(16:25). Die Quadratzahlen 16 und 25 stellen das ideale Quadrat aus 25 Punkten und 16 Einzelquadraten dar.

d) 9+10

1. Die Einzelziffern der Primzahlen 17 und 71 eröffnen für die 9+1 komplementären Vierergruppen den Bezug zur Doppelraute (DR):

9+1 bedeutet demnach 9+(9+1). Die 10 FS sind einmal mit einem und einmal mit zwei Mittelpunkten auf die Elemente des DR-Rahmens einzutragen. Dies soll zunächst tabellarisch geschehen. Die Basiszahl 17 wird für die Reihe 1-9 ausgelassen:

	1	2	3	4	5		6	7	8	9
1-9	23	29	41	47	53		59	61	83	89
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1-10	17	23	29	41	47	53	59	61	83	89
1-9	83	76	89	109	100		111	132	125	122	947
1-10	138	83	76	89	109	100	111	132	125	122	1085
	221	159	165	198	309		222	264	250	244	2032
2032 = 16*127 >FW 135

Der FW 135 ist im Sinne von 9 Durchmesser- und 10 Radialelemente der DR zu interpretieren: 1:3/3:1 Flächeneinheiten der beiden Tetraktyskreise entsprechen 3:5/5:3 Radialelementen. In diesem Sinne sind die Summen 159 = 3*53 und 221+309 = 530 = 10*53 zu verstehen. Fügt man zu 135 seinen FW 14 hinzu, ist die Summe 149 als 14+9 = (5+9)+(5+4) Durchmesserlemente zu verstehen, was den Flächenverhältnissen 1:3 und 1:2 entspricht.

Der Faktor 16 weist auf zweimal 5+3 Radialelemente hin und ist in den Summen 198+222 = 400 = 25*16 vertreten.

Der Faktor 127 bezieht sich auf 12+7 = (5+7)+(5+2) Punkte der DR und dieselben Kreisflächenverhältnisse 1:3 und 1:2. 127 ist außerdem die FS der Zahlen 1-18.

2. Die FS der Positionen 6-9 und 7-10 sind gleich. Um dies zu ändern, ist bei 10 Positionen an einen Kreis zu denken, dessen äußere Enden zum Mittelpunkt werden:

6	7	8	9	10	1	2	3	4	5
53	59	61	83	89	17	23	29	41	47

1-9	83	76	89	109	100		111	132	125	122
1-10	100	111	132	125	122	138	83	76	89	109
	183	187	221	234	360		194	208	214	231

Die 4 unterlegten Summen, denen 9 FS entsprechen, ergeben 1016, die Hälfte der Gesamtsumme.

In dieser Formation können die FW der 19 FS hinzugefügt werden:

FS	183	187	221	234	360	194	208	214	231	2032
FW	97	63	107	124	105	123	41	104	172	936
	280	250	328	358	465	317	249	318	403	2968
936 =72*13; 2968 = 56*53

Durch 53 teilbar sind die Summen 280+250 = 530 und 318 = 6*53. Daraus ergibt sich das Verhältnis 8*53*(2:5).

Die Summen und FW-Summen der 9 und 10 FS sind:

	9	10
FS	947	1085	2032
FW-S	454	482	936
	1401	1567	2968
936:2032 = 8*(117:254)= 8*371

In dieser Reihenfolge können die beiden Zahlenreihen und ihre FW in 9 und 10 Rahmenelemente eines DR-Kreuz eingetragen werden:

Die Verteilung der Werte auf je zwei Rauten entspricht den Summen der beiden Zahlenreihen von 9 und 10 Positionen, wenn man den Mittelpunktswert der 9-Reihe jeweils der zweiten Raute zuweist. Durch Zuordnung des FW 14 zur ersten Raute ergibt sich eine Gleichheit der FW-Summen 468 = 36*13. Additiv besitzt 36+13 Relevanz für die 49 Elemente des Tetraktyssterns: 12 Dreiecke + 24 Linien und 13 Punkte.

3. Die Addition von zwei Rautensummen ergibt 468+1085 = 1553, eine Primzahl, die sich aufteilen läßt in 3*5 und 5+3.

Die Primzahl 1553 ist als Faktor in der ZS+FS der 9+10 Komplementärgruppen enthalten:

*220	9	10
ZS	1980	2200	4180
FS	947	1085	2032
	2927	3285	6212
6212 = 4*1553

Ovid eröffnet seine Metamorphosen mit einer vierzeiligen Einleitung, deren ZS 1553 ist. Auch der Abschluß der Erschaffung des Menschen (I, 88) ist vom Ebenmaß der 5 und der 3 geprägt:

INDUIT IGNOTAS HOMINUM CONVERSA FIGURAS

Silben	3	2	3	2	3	2
	IN-DU-IT	IGNOT-	AS HOMIN-	UM CON-	VER-SA FI-	GURAS

(Die gestaltlose Erde) verwandelte sich und nahm bisher unbekannte Gestalten von Menschen an.

Ovid verwendet 5 3-silbige Wörter im Wechsel von 3 und 2 Hebungen. Die Zeile besteht außerdem aus 35 Buchstaben. Auch die ZS der 5 Initialen ist 35.

4. Die komplementäre Vierergruppe 53 weist zwei 3:1 Verhältnisse auf:

			sm			sm	GS				sm				sm	GS
ZS/FS	53	57	110	35	75	110	220	75	25	100	200	185	135	320	640	840
FW	53	22	75	12	13	25	100	13	10	14	37	42	14	17	73	110
			185			135	320				237				713	950
75:25 = 25*(3:1); 42:14 = 14*(3:1)

Die GS 840 kommt zustande durch 4*100 und 2*220.

Die Umkehrsummen 37 und 73 weisen auf die Tetraktys hin.

Erstellt: Oktober 2014

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