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Zyklische Zahlen (I)

A. Wesen und Arten

I.Einleitung

II. Eigenschaften von zyklischen Zahlen

III. Ausgangspunkt von Primzahlen

IV. Zyklische Zahlen 2. und höherer Ordnung

V. Die Zahlen 7 und 13

B. Definition und Einordnung der Zahlen 1, 2 u.5

C. 2 Word-Makros

siehe auch: Zwei Primzahlmuster

I.Einleitung

Alle Gesetze der Mathematik haben ihren letzten Sinnbezug in der unendlichen Weisheit des dreieinen Gottes. Viele Gesetze kann der menschliche Geist erkennen, erklären und beweisen, viele andere aber übersteigen seine Erkenntnisfähigkeit. Im Folgenden werde ich eine Reihe von Gesetzmäßigkeiten beschreiben und – soweit es mir möglich ist – begründen. Als Wissensgrundlage dient mir Martin Gardner, Mathematischer Zirkus, Ullstein 1988, S.124 ff.

II. Eigenschaften von zyklischen Zahlen

1.       Eine zyklische Zahl ist eine Primzahl n, deren Kehrwert 1/n eine periodische Zahlenreihe von n-1 ergibt. Das bedeutet, daß alle Zehnerzahlen bis (n-1)*10 gemäß dem jeweiligen Teilungsrest (Rest) durchlaufen werden, bis die letzte 10-er Zahl den Rest 1 ergibt, der mit einer weiteren 10 die nächste Periode eröffnet:

n=7

R

n-1=6

 

10n-1

1

0

0

0

0

0

0

 

Rest*10

1

10

30

20

60

40

50

10

Rest

1

3

2

6

4

5

1

 

Rest*10/7

(0,)

1

4

2

8

5

7

 

Multipliziert man die ermittelte Periodik einer zyklischen Zahl (hier 7) mit 2 bis n-1, bleibt die Reihenfolge der Zahlen erhalten, z.B. 142857*3 = 428571. Dabei zeigt die Zehnerstelle des Restes*10 den Multiplikationsfaktor an, der die dazugehörige Periodikziffer an den Anfang des Multiplikationsergebnisses setzt (hier 3).

Zyklische Zahlen im eigentlichen Sinn bilden einen Kehrwert mit einem einzigen Zyklus gleicher Zahlen. Alle anderen Primzahlen bilden Kehrwerte mit zwei und mehr Zyklen. Diese werden weiter unten behandelt.

2.       Die Periode einer zyklischen Zahl y besteht immer aus einer geraden Stellenzahl sz= y-1. Teilt man die Stellenzahl in zwei Hälften, ergibt die Addition zweier paralleler Zahlen jeweils 9, z.B. 1+8, während sich die Rest-Zahlen zu jeweils n=7 ergänzen, z.B. 3+4. Setzt man beide Hälften untereinander, erhält man also 999 bzw. 777:

142

857

999

III. Ausgangspunkt von Primzahlen

1.       Der Vorgang, um die Periodik einer Primzahl (PZ) zu ermitteln, ist stets der gleiche: Die Zahl 1, durch die eine PZ n zu Anfang geteilt wird, ist als Rest einer Teilung anzusehen. Die Periodik ist abgeschlossen, wenn die Teilung des vorletzten Restes*10 den Rest 1 übrig läßt. Zieht man 1 von 10a ab, erhält man eine Zahlenfolge zf von a-1 Neunen. Das bedeutet, daß jede PZ >5 als Faktor in einer Zahlenfolge von Einsen enthalten ist. Wenn man z.B für die Zahl 41 die 5-stellige Periode 02439 ermittelt, dann ist sie durch ebenso viele Einsen teilbar: 11111/41 = 271. Natürlich hat dann auch die Zahl 271 eine Periodik aus 5 Stellen, durch die wiederum 41 teilbar ist: 00369 = 9*41. Die teilbare Stellenzahl einer zyklischen Zahl ist um einen Zähler geringer als die Zahl, für die Zahl 7 also 111.111. Man kann auch so definieren: Hat ein Primzahlfaktor in einer Zahl aus n Einsen den Wert n-1, ist sie eine zyklische Zahl.

2.       Besteht eine Zahlenfolge zf*1 aus einer geraden Stellenzahl g, z.B. 1111, ist die ganze Zahl durch die Hälfte der Stellenzahl teilbar (111111/111). Das Ergebnis ist dann immer eine Eins am Anfang und am Ende und dazwischen g/2-1 Nullen (1001). Verdoppelt man die Stellenzahl einer solchen Zahl a und zieht eine Stelle ab, erhält man die Stellenzahl sz als potentiellen Faktor einer zyklischen Zahl y, z.B. a=1001; sz(y)=2*4-1=7; 1001:7 = 11*13. Auch die Zahl 13 hat demnach eine Periodik von 6 Stellen.

Umgekehrt, wenn man wissen will, ob eine PZ n zyklisch ist, ermittelt man die Stellenzahl (sz+1)/2 , versieht die erste und letzte Stelle mit einer 1 und die übrigen mit Nullen und teilt n jeweils durch Rest*10. Wenn die letzte Rest*10+1 durch n ohne Rest teilbar ist, ist PZ n zyklisch. Die zyklische PZ 47 z.B. ergibt 24 Stellen.

3.       Bildet man von einer zweistelligen Zahl die Umkehrung, so ist das Additionsergebnis beider Zahlen durch 11 teilbar: z.B. 13+31 = 44 = 4*11. Ebenso ist eine 4-stellige Zahl durch 11 teilbar, wenn die Addition der ersten und letzten beiden Stellen durch 11 teilbar ist, z.B. 2761 = 11*251. Analoge Teilbarkeit gilt für alle weiteren geraden Stellenzahlen. Da nun jeder Kehrwert 1/n von einer Neunerreihe her ermittelt wird, müssen beide Hälften einer geraden Periodik wieder eine 9-er Reihe bilden, d.h. zwei Parallelzahlen müssen sich zu jeweils 9 ergänzen.

4.       Nach Martin Gardner beträgt das Verhältnis der zyklischen Zahlen zu den übrigen Primzahlen 3:5. Ein wesentlicher Grund hierfür ist, daß die Zahl, in der eine zyklische Zahl enthalten ist, um die Faktoren der Hälfte der Stellenzahl vermindert ist.

2

11= 11

3

101= 101

4

1001= 7* 11* 13

5

10001= 73* 137

6

100001= 11* 9091

7

1000001= 101* 9901

8

10000001= 11* 909091

9

100000001= 17* 5882353

10

1000000001= 7* 11* 13* 19* 52579

11

10000000001= 101* 3541* 27961

12

100000000001= 11* 11* 23* 4093* 8779

13

1000000000001= 73* 137* 99990001

14

10000000000001= 11* 859* 1058313049

15

100000000000001=29*101*281*121499449

16

1000000000000001=7*11*13*211*241*2161*9091

Die Ausgangsfaktoren (11, 101 usw.) wiederholen sich im Intervall ihrer Stellenzahl sz, z.B. 7, sz=6: 4+6=10. Die gelb unterlegten Zahlen sind zyklische Zahlen, sie ergeben sich aus sz+(sz-1).

1

1= 1

3

111= 3* 37

5

11111= 41* 271

7

1111111= 239* 4649

9

111-111-111= 3* 3* 37* 333667

11

11111111111= 21649* 513239

13

1111111111111= 53* 79* 265371653

15

11111-11111-11111= 3*31*37*41*271*2906161

Faktoren von Zahlen aus ungeraden Folgen von Einsen wiederholen sich ebenfalls entsprechend der Teilbarkeit dieser Folgen durch jeweils niedrigere Primzahlen (3, 5, 7 usw.).

IV. Zyklische Zahlen 2. und höherer Ordnung

1.       Multipliziert man den Kehrwert (bzw. die Periode p) einer zyklischen Zahl n (im eigentlichen Sinne) mit der Zahl n selbst, erhält man eine Folge von Neunen, z.B. 1/7 = 0,142857*7 = 0,999999. Die Zahlen der Periode 1*p bleiben also in zyklischer Reihenfolge erhalten, wenn man sie mit 2 bis n-1 multipliziert. Die Addition der Zahlen von 1 bis n-1 beträgt n*(n-1)/2, für die Zahl 7 als 7*3 = 21.

2.       Eine zyklische Zahl n im eigentlichen Sinne ist von 1 bis n-1 multiplizierbar und hat die gleiche Stellenzahl (sz) n-1. Eine solche Zahl bezeichnet man als zyklische Zahl n-1/n-1 = 1. (erster) Ordnung (O).

3.       Alle übrigen Primzahlen außer 1, 2, 5 bilden ein ganzzahliges Teilungsergebnis n-1/sz, das als nte Ordnung gilt. Die Periode der Zahl 13 z.B. hat – wie die der Zahl 7 – 6 Stellen. n-1/sz = 12/6 = 2. Ordnung. Die kleinste Zahl 2. Ordnung ist 3 (2/1). Der Ordnungszahl entspricht die Zahl der zyklischen Zahlenreihen.

4.       Die Addition der Multiplikationszahlen (m) einer zyklischen Reihe ergibt immer ein Mehrfaches (n-1)/(2*O) der Primzahl n, für die Zahl 13 beträgt der Mehrfachfaktor f 12/(2*2) = 3, daher 3*13 = 39:

1.Reihe

076923

769230

692307

923076

230769

307692

 

m

1

10

9

12

3

4

39

2.Reihe

153846

538461

384615

846153

461538

615384

 

m

2

7

5

11

6

8

39

Wenn f = 2,5 wie bei der Zahl 41: 40/(2*8), ergeben die einen Reihen n*2, die anderen n*3:

Reihe

 

 

 

 

 

 

1

1

10

16

18

37

82

2

2

20

32

33

36

123

3

3

7

13

29

30

82

4

4

23

25

31

40

123

5

5

8

9

21

39

82

6

6

14

17

19

26

82

7

11

12

28

34

38

123

8

15

22

24

27

35

123

 

47

116

164

212

281

820

Die Multiplikationszahlen sind hier nicht nach ihrer zyklischen Abfolge, sondern linear aufsteigend eingetragen. Die senkrechten Summen betragen in symmetrischer Ergänzung jeweils 4*41 je Spalte.

5.       Anhand der Zahl 41 soll eine Neudefinition aller Primzahlen hinsichtlich ihrer zyklischen Struktur erarbeitet werden. Für die Ermittlung der 5-stelligen Periode der Zahl 41 folgen nach der 1 fünf Nullen: 1|00000. Die 5. Null ergibt den Rest 1, worauf mit der 6. Null eine neue Periode beginnt. Denkt man sich eine Entsprechung von Zahl und Stellenzahl, folgen nach der 1 8*5 Nullen, denen acht Perioden entsprechen. Die Zahl 41 ist nach Abzug des Restes 1 in einer Folge von 41-1 = 40 Neunen enthalten, deren Teilung durch 9 in 40 Einsen verwandelt wird. Die Neudefinition lautet also: Teilt man den Wert n-1 einer Primzahl n durch die Stellenzahl ihrer Periode sz, erhält man ihre zyklische Größenordnung.

6.       Nach den zyklischen Zahlen erster Ordnung sind die der zweiten Ordnung die weitaus zahlreichsten. Ohne die Zahlen 1,2,5 gibt es bis zur Zahl 100.000 insgesamt 9590 zyklische Zahlen (Primzahlen), davon 3617 (38%) erster Ordnung, 2684 (28%) zweiter Ordnung und 3289 (34%) höherer Ordnung.

Der Grund für die hohe Zahl der zyklischen Zahlen 2. Ordnung liegt zunächst in der Bedeutung der Gleichung 1+2=3. Dann aber gehen beide Ordnungen auf Zahlen zurück, deren Stellenzahl eine Konstitutive der entsprechenden Primzahl darstellt. Die höhere Konstitutive der Zahl 7 z.B. ist 4, was den 4 Stellen der Zahl 1001 entspricht, durch die 7 teilbar ist. Eine zyklische Zahl 2. Ordnung n ist in einer Folge von (n-1)/2 Einsen enthalten. Die Zahl 13 mit einer 6-stelligen Periode ist also durch 111.111 teilbar. Die Zahl 6 bildet die untere Konstitutivzahl von 13.

V. Die Zahlen 7 und 13

Die Zahl 7 ist die höhere Konstitutive der Zahl 13. Beide sind – entsprechend ihrer 6-stelligen Periode – durch 111.111 teilbar. Ihre Bedeutung zeigt sich im Doppelkreis des Tetraktyssterns, der aus 7+6 = 13 Punkten besteht:

Setzt man die jeweils 6-stellige Periode in Beziehung zu den jeweils 6 Kreislinienpunkten, ergibt sich eine Entsprechung zwischen den zyklischen Ordnungszahlen 1 (7)und 2 (13) und der Flächengröße 1 des inneren Kreises und der Flächengröße 2 des äußeren Kreisrings.

 

 

Erstellt: Januar 2006

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