64 Komplementärzahlen auf Würfel und Oktaeder

 

I.    Vorbemerkung

II.  Verteilung auf zwei Würfel

III. 32 Würfel

IV.  Würfel und Oktaeder

V.   Verteilung auf 2 Oktaeder

VI.  Gemeinsamkeit der Zahlenmodelle

I. Vorbemerkung

WÜRFEL und OKTAEDER haben die Zahl von 26 Elementen gemeinsam, indem es zwischen den Ecken und Flächen einen Tausch gibt: Der Würfel hat 8 Ecken und 6 Flächen, der Oktaeder 6 Ecken und 8 Flächen.

Die Grundlage für den Oktaeder ist das Hexagramm mit drei Doppelrauten. Zwei gekreuzte Doppelrauten können zu einem Oktaeder zusammengefügt werden. Die 6 Flächen der drei Doppelrauten passsen für den Würfel, die 8 Flächen des Quadrats der 64 Komplementärzahlen für den Oktaeder. Letzterer benötigt freilich gleichseitige Dreiecke, ersterer Quadrate. In einem höheren Sinn mag allerdings eine gegenseitige Austauschsituation bestehen, insofern auf diese Weise überzählige Flächen entfallen.

Am Ende meiner Überlegungen halte ich die Aufteilung der 8 Rautenquadrate auf zwei Oktaeder statt auf zwei Würfel für die bessere Lösung.

II. Verteilung auf zwei Würfel

1.      Die Ausführungen des vorhergehenden Kapitels haben gezeigt, daß die Anordnung der 64 Komplementärzahlen in einem Quadrat von quadratischen Feldern wesentliche Relevanz besitzt. Die einzelnen Zahlenergebnisse verweisen hauptsächlich auf die Bedeutungen des Hexagramms und seiner zwei konzentrischen Kreise. Doch auch auf das Quadrat selbst bezieht sich eine Reihe von Zahlen. Ich werde nur einige Ergebnisse interpretieren:

Die rechte Grafik enthält die Faktorenwerte (FW) der linken Zahlen.

2.      Analog zur Bildung eines Oktaeders aus zwei Doppelrauten des Hexagramms lassen sich die sechs Seiten eines Würfels aus dem vorliegenden 9x9 Punktequadrat mit 64 quadratischen Feldern konstruieren. Dies ist möglich, wenn man je zwei horizontale und vertikale Halbquadrate zu vier äußeren Quadraten zusammensetzt. Mit den inneren zusammenhängenden Rautenquadraten erhält man so acht Quadrate. Jedes Quadrat enthält 12 Zahlen, deren Zahlensummen (ZS) und Faktorensummen (FS) in den nächsten zwei Tabellen angegeben sind:

horizontal

vertikal

 

oben

unten

links

rechts

 

564

757

717

515

2553

289

326

238

253

1106

853

1083

955

768

3659

2553 = 69*37

Die vier zusammenhängenden Rautenquadrate der Mitte ergeben:

links

rechts

oben

unten

 

740

557

686

717

2700

419

404

438

341

1602

1159

961

1124

1058

4302

4302 = 18*239

1602:2700 = 18*(89:150)

Die Gesamtsummen der 8 Quadrate betragen 2553+2700 = 5253 = 3*17*103, 1106+1602 = 2708 = 4*677 und 3659+4302 = 7961 = 19*419.

3.      Den 8 Quadraten stehen nur 6 Würfelseiten gegenüber, weswegen zwei Würfel benötigt werden, um alle Zahlen einzutragen. Es sind also die Zahlen von jeweils zwei Quadraten auszulassen. Nach welchen Kriterien soll man vorgehen?

Von jeder Gruppe ein Quadrat auszulassen, erscheint die sinnvollste Lösung für zwei Würfel. Bei der Suche danach kommen zwei Umstände zu Hilfe: Erstens, die ZS eines Dreierpaares erweitert die Teilbarkeit durch 37, und seihne ZS+FS ist durch 19 teilbar:

außen

sm

innen

sm

GS

564

757

717

2038

740

686

717

2143

4181

289

326

238

853

419

438

341

1198

2051

853

1083

955

2891

1159

1124

1058

3341

6232

4181 = 113*37; 6232 = 8*41*19

Die Gesamt-ZS 4181 weist in den Einzelziffern auf 4+1 und 8+1 Durchmesserelemente des hexagonalen Kreises und des erweiterten zweiten Kreises in der Doppelraute hin:

Die Zahl 1 bezieht sich jeweils auf den Mittelpunkt. Die Zahl 113 kann sich sowohl auf die Elemente zweier geometrischer Figuren der DR als auch auf die Numerierungssumme der vier Achsen eines erweiterten Quadrats beziehen. Aus 37 Elementen und 3+7 Punkten besteht eine Tetraktys.

4.      Der zweite Umstand besteht darin, daß von jeder Gruppe die ZS+FS eines Quadrats durch 19 teilbar ist, was auch für die beiden ausgelassenen Quadrate gilt, die in der folgenden Tabelle links stehen:

v-re

Mi-re

sm

h-u

Mi-li

sm

GS

515

557

1072

757

740

1497

2569

253

404

657

326

419

745

1402

768

961

1729

1083

1159

2242

3971

1729:2242 = 19*(91:118) = 19*209

3971 = 11*19²

Die Faktoren der ZS+FS 1083 sind 3*19², das Verhältnis von 1:3 Summen ist daher 19²*(3:8).

5.      In paarweiser Zuordnung sind die ZS+FS der anderen vier Quadrate durch 21 teilbar:

v-li

Mi-ob

sm

h-ob

Mi-un

sm

GS

717

686

1403

564

717

1281

2684

238

438

676

289

341

630

1306

955

1124

2079

853

1058

1911

3990

2079:1911 = 21*(99:91) = 21*190

3990 = 19*210

Am auffälligsten ist das Verhältnis der Gesamtsummen 3971:3990 = 19*(209:210).

Die Aufteilung der zwei Vierergruppen zeigt die folgende Grafik:

Die zweimal zwei durch 19 teilbaren Quadrate sind blau und grün gekennzeichnet, die übrigen vier gelb. Man erkennt, daß die inneren Quadrate ein horizontal-vertikales Achenkreuz bilden und die äußeren Quadrate einander diagonal zugeordnet sind.

6.      Die jeweils durch 19 teilbaren Quadrate wird man der Ober- und Unterseite des Würfels zuweisen, die übrigen vier rundum anordnen:

 

1083

 

 

 

961

 

955

853

1124

1058

 

955

853

1124

1058

 

1159

 

 

 

768

 

6232 = 328*19

 

5719 = 301*19

6232+5719 = 11951 = 17*19*37 = FW 36+37 = 73

7.      Die Faktoren und Primzahlen 19*419 (FW 438) der Gesamt-ZS+FS 7961 sind in folgender Weise auf den Tetraktysstern (das Hexagramm) bezogen:

  Die Einzelziffern des FW 438 bezeichnen die Rahmenelemente der Doppelraute (DR): 4+3 Punkte und 8 Linien. Die 21 Elemente der DR lassen sich in 7*3 aufteilen:

Der FW von 438 ist 78 = 3*26. 6 DR ergeben aus drei DR-Kreuzen drei Oktaeder, die jeweils aus 26 Elementen bestehen.

  Das Produkt 6*73 gibt 6-mal 7+3 Punkte der Tetraktys wieder, wenn die Numerierung jeweils von den 6 äußeren Eckpunkten ausgeht.

419 ist als 4*19 zu verstehen und auf zwei Tetraktys beziehbar. Die FS 419 des linken zentralen Rautenquadrats gibt dazu einen Hinweis, da sich so das Verhältnis 419*(1:18) ergibt. Die Zahl 1 steht für den Mittelpunkt einer Tetraktys, die Zahl 18 für ihre Rahmenelemente aus 9 Punkten und 9 Linien. Eine zweite Zählung erfaßt 10 Punkte und 9 Dreiecke. Aber auch an 9 Durchmesserelemente und zweimal 5 Radialelemente der DR ist zu denken: Im Hinblick auf die Oktaederbildung ergeben sich vier Zickzacklinien, die so gezählt werden können. Die Buchstabenentsprechung für 19 ist T, das im SATOR-Quadrat viermal enthalten ist.

19*419 kann somit auch 5*19 = 95 bedeuten. 9:5 Durchmesserlemente geben 3:1 Flächeneinheiten der beiden Tetraktyskreise wieder. Bei umlaufender Numerierung der DR-Punkte stehen sich 5 und 19 gegenüber.

Die Einzelziffern der Zahl 419 und ihrer 5 Umkehrungen stellen Quadrate der Zahlen 1-3 dar und haben somit trinitarische Bedeutung.

8.      Durch die Aufteilung der 64 Komplementärzahlen in 8 Rautenquadrate werden 2x16 der Zahlen auf den Diagonallinien (rot) und den Rahmenlinien des großen Rautenquadrats (grün) doppelt erfaßt:

Die ZS+FS der zu verdoppelnden Zahlen sind:

D-L

R-L

sm

886

847

1733

509

449

958

1395

1296

2691

2691 = 9*13*23

1296 = 16*81

Die 16 Zahlen der Rahmenlinien haben den durchschnittlichen ZW+FW 81. Das Verhältnis der beiden ZS+FS 1395:1296 ist 9*(155:144). Die Differenz zur Gesamt-ZS 3520 und FS 1750 beträgt 1787 (PZ) und 792 = 72*11. Die erweiterten Summen sind 5253+2708 = 7961.

9.      Nach Zusammensetzung der Halbquadrate umschließen 8 Linienzahlen eines Rautenquadrats je 4 quadratisch angeordnete Mittelzahlen. Die ZS+FS der 4x4 Zahlen des großen Rautenquadrats zeigen, daß je zwei diagonal liegende Quadrate ein Verhältnis bilden:

ob

re

sm

li

unt

sm

GS

287

200

487

202

240

442

929

162

111

273

98

68

166

439

449

311

760

300

308

608

1368

760:608 = 8*19*(5:4) = 72*19

Das ZS+FS-Verhältnis der 16 Mittelzahlen zu den übrigen 80 Zahlen beträgt 19*(72:347).

Die Summen 929 und 439 sind Primzahlen, erst ihre Addition ermöglicht das Zahlenverhältnis. Der ZW+FW je Zahl beträgt in der rechten Hälfte 95, in der linken 76.

Die ZS+FS der zusammengesetzten Quadrate sind:

v-li

h-ob

sm

v-re

h-unt

sm

GS

216

216

432

178

248

426

858

95

116

211

52

90

142

353

311

332

643

230

338

568

1211

432:426 = 6*(72:71) = 6*11*13

1211 = 7*173

Auch in dieser Gruppe ist eine diagonale Ausrichtung erkennbar. Erstaunlich sind die angrenzenden Konstitutivzahlen 72 und 71, ebenfalls zweimal dieselbe ZS 216, deren Faktoren auf die Dreidimensionalität des Würfels hinweisen.

Die Faktoren 6*11*13 sind auf die drei DR des Hexagramms zu beziehen, aus deren zwei geometrischen Figuren der Oktaeder zusammengesetzt ist. Die doppelte Zahl von DR ist erforderlich, wenn jede mit jeder sich zur Oktaederbildung verbindet.

Bemerkenswert ist die FS 792 = 72*11 aller 32 Zahlen, denn sie stellt eine Verbindung dar zwischen der ZS 858 = 78*11 der äußeren Quadrate und der ZS+FS 1368 = 72*19 der inneren. Die durchschnittliche FS je 4 Zahlen ist 99.

Die Unabhängigkeit der 8x4 Innenzahlen legt nahe, sie auf zwei Würfel zu verteilen. Zu vertauschen sind die durch 19 teilbaren ZS+FS-Paarungen 608 und 760. Analog dazu kann man auch die ZS allein verwenden. Die ZS+FS sowie die ZS der äußeren Quadrate bleiben unverändert:

au.

inn.

 

au.

inn.

 

1211

608

1819

858

487

1345

1211

760

1971

858

442

1300

 

 

3790

 

 

2645

1819 = 17*107; 1971 = 27*73

2645 = 5*23*23

Die Summe 1819 bezieht sich auf 18 Linien und 10 Punkte + 9 Dreiecke der Tetraktys, der Faktor 73 auf deren 7 hexagonale und 3 Erweiterungspunkte. Die 37 Elemente der Tetraktys erscheinen wieder in der ZW/FW-Verrechnung:

 

 

 

sm

ZS+FS

1819

1971

3790

FW

124

82

206

sm

 

 

3996

3996 = 12*9*37

Die Faktoren 12 und 9 bedeuten 3*4 Punkte und 3*3 Linien der drei Tetraktysseiten.

III. 32 Würfel

1.      Die 8 Rautenquadrate lassen sich durch Drehung zu horizontal-vertikalen Quadraten verwandeln. Die ersten vier Quadrate sind dem großen Rautenquadrat entnommen, die nächsten vier aus zwei Halbquadraten zusammengesetzt. Die Anordnung der zweimal vier Quadrate ergibt sich aus einer Kippsituation nach links:

mo                          ml                                    mr                                 mu

ho                                vl                              hu                                      vr

2.      Jedes Quadrat enthält 12 Komplementärzahlen im vertikal und horizontal gleichen Muster 2:4+4:2, wodurch die Gesamtzahl auf 24 verdoppelt wird. Dem Verhältnis von 2:4/4:2 Radiallinien der beiden Tetraktyskreise entspricht das trinitarische Kreisflächenverhältnis 1:3/3:1:

Auch an 6*4 = 24 Punkte von zweimal drei Tetraktysseiten, die durch 18 Linien zu 42 Elementen vervollständigt werden, ist zu denken.

3.      Durch den vertikalen und horizontalen Aspekt erhält man viermal 6 Zahlen, die vier Würfeln zugeordnet werden können. Man wird die Zahlen paarweise und entgegengesetzt anordnen.

Ich beschränke mich auf die Darlegung des oberen mittleren Quadrats, des ersten der 8 angeführten Grafiken, und betrachte dabei alle 4Werte. Ich gehe horizontal von oben nach unten und vertikal von links nach rechts vor:

 

ZS

FS

sm

FW1

FW2

sm

GS

FW

ob

266

96

362

28

13

41

403

44

unt

420

342

762

19

27

46

808

107

li

399

295

694

29

64

93

787

787

re

287

143

430

48

24

72

502

253

sm

1372

876

2248

124

128

252

2500

1191

403 = 13*31; 124:128 = 4*(31:32) = 252 = 12*21

Die ZS 1372 ist, wie bereits erwähnt, das Doppelte der Ausgangssumme 686 = 2*.

Erstaunlich ist die 4W-Summe 2500 = 50*50 = FW 12+12 = 24. Das Hexagon besteht aus 25 Elementen und ebenso der Erweiterungsbereich, wenn man für den äußeren Kreis einen weiteren Mittelpunkt zählt. Beide Bereiche enthalten 12 Linien:

In Beziehung zu den beiden Kreisen bedeutet 25+25 das Flächenverhältnis 1:3 bzw. 3:1. Dies zeigt sich auch in der ersten 4W-Summe 403 = 13*31. Die durchschnittliche 4W-Summe ist 625 = 25*25.

Das Umkehrprodukt 12*21 steht im Einklang mit der Ausgangssumme 686 = 2*7³, indem 3*4 = 12 Punkte der drei Tetraktysseiten durch 9 Linien zu 21 ergänzt werden.

4.      Von Interesse sind auch die Würfelsummen und ihre FW. Jeweils 6 Zahlen werden nach ihrer konzentrischen Anordnung auf entgegengesetzten Würfelseiten eingesetzt, z.B. 74 65; 75 21, 15 16. Es gibt jeweils drei verschiedene Würfelsummen. Ich beschränke mich auf die drei Würfelreihen der 12 oberen horizontalen Zahlen:

 

ZS

FW1

sm

FS

FW2

sm

GS

74 65 75 21

235

52

287

80

13

93

380

74 65 15 16

170

24

194

73

73

146

340

75 21 15 16

127

127

254

39

16

55

309

sm

532

203

735

192

102

294

1029

203:532 = 7*(29:76) = 7*105; 102:192 = 6*(17:32) = 6*49

294:735 = 7*7*(6:15) = 49*21 = 3*

Der Bezug des Ergebnisses 3*7³ zur ZS 686 = 2*7³ sowie die Zahlenverhältnisse stellen gewiß einen Glücksfall dar, aber es dürfte insgesamt eine innere Ordnung walten, die in ihrem ganzen Ausmaß erkennbar wird, wenn alle 32*6 Zahlenreihen berechnet sind.

5.      Jedes Einzelquadrat enthält, horizontal und vertikal, zwei Reihen von vier Zahlen, denen je vier Flächen von zwei Oktaederhälften entsprechen:

Auf diese Weise können 16 Oktaeder besetzt werden.

6.      Die ZS folgender vier oberer und unterer Quadrate sind durch 17 teilbar und können den Flächen zwei Oktaederhälften zugeordnet werden:

ho

vl

Mo

vr

sm

Ml

hu

Mr

Mu

sm

564

717

686

515

2482

740

757

557

717

2771

2482:2771 = 17*(146:163)

Die FW der beiden Summen sind zusammen ebenfalls durch 17 teilbar: 17*2*73 > 92, 17*163 > 180; 92+180 = 272 = 16*17. Es ergibt sich so das Gesamtverhältnis 17*(16:309) = 17*325 = 25*13*17. 325 ist die Summe der Zahlen 1-25 mit 13 als Mittelpunktszahl. Sowohl 73 als auch 163 verweisen auf die 10 Punkte der Tetraktys.

IV. Würfel und Oktaeder

1.      Die Außenseite eines Würfels besteht aus 6*4 Quadratpunkten, die des Oktaeders aus 8*3 Dreickspunkten. Gemeinsam ist beiden Körpern also die Zahl 24. Das Verhältnis von 6*8 zu 4*3 ist 1:4. 24 ist auch komplementär zur Zahl 86, die – in seltener Übereinstimmung mit ihrer Quersumme – die FS der Zahlen 1-14 ist. Die Einzelziffern von 24 stellen die 6 Flächen des Würfels dar.

In vertikaler Ausrichtung dominiert beim Würfel die horizontale Fläche, beim Oktaeder die Ecke (die Spitze, der Punkt), während den horizontalen Aspekt des Oktaeders die quadratische Mittelbasis bildet

2.      Die Austauschsituation von Würfel und Oktaeder besteht darin, daß ein Quadrat aus 8 einzelnen Quadraten zu den 8 Flächen des Oktaeders paßt, die 6 RAUTEN des Hexagramms hingegen zu den Würfelflächen.

3.      Im Hexagramm enthalten sind drei Doppelrauten (DR). Zwei gekreuzte Doppelrauten können zu einem Oktaeder zusammengefügt werden:

Dem Oktaeder gebührt ein gewisser Vorrang vor dem Würfel, insofern ersterer das Ergebnis einer dreiachsigen und zweiachsigen Ausgangsfigur darstellt, der Würfel jedoch nur aus Zweiachsigkeit hervorgeht.

4.      Ein gerollter Würfel bleibt mit einer Oberseitenfläche liegen. Das erklärt seine Beliebtheit und Faszination als Spielwürfel. Die Würfelaugen sind auf gegenüberliegenden Seiten jeweils zur Summe 7 angeordnet: 1+6, 2+5, 3+4. Die Summe der Zahlen 1-6 beträgt also 21, aufgeteilt in 3*7.

Die Zahlen 7 und 3 prägen wesentlich auch den Tetraktysstern: Eine Tetraktysseite besteht aus 4 Punkten und 3 Linien, also 7 Elementen, woraus sich für zwei Tetraktys die Zahl von 42 Elementen ergibt. Eine ganze Tetraktys besteht ferner aus 37 Elementen, einer zweistelligen Zusammensetzung aus 3*7. Die Tetraktys geht schließlich hervor aus 7 hexagonalen und 3 Erweiterungspunkten.

Die Doppelraute besteht als ganze aus 21 Elementen, auf der Grundlage von 7 Punkten, zwei Doppelrauten aus 42 Elementen, um einen Oktaeder zu bilden.

Die erwähnte Vorrangstellung des Hexagramms als Ausgangsfigur des Oktaeders vor dem Würfel zeigt sich, wenn man zu den zweistelligen Zusammensetzungen 68, 86, 42, 24 die Faktorensummen (FS) hinzunimmt:

 

 

 

sm

 

 

sm

GS

Zahl

68

86

154

42

24

66

220

FW

21

45

66

12

9

21

87

 

 

 

220

 

 

 

307

66:154 = 22*(3:7); 33:54 = 3*(11:18)

Die FS 66 weist auf die Elemente von 6 Rauten hin, die Zahl 87 auf 8 Linien und 7 Punkte des DR-Rahmens sowie auf jeweils 29 Rahmenelemente von drei DR-Kreuzen hin, das Verhältnis 11:18 auf die Numerierungssumme des hexagonalen + des Erweiterungsdurchmessers:

Die Gesamtsumme 307 konzentriert die Berechnung wiederum auf die Ausgangszahlen 3 und 7.

5.      Das Hexagramm besteht 13 Punkten, 24 Linien und 12 Dreiecken, zusammen 49 Elementen, die man der Reihe nach numerieren kann:

Die eingetragen Zahlen ergänzen sich spiegelbildlich zu 50, z.B. 2+48. Die 6 Rautenfiguren teilen miteinander den Mittelpunkt, 6 Punkte und 6 Linien des Hexagons. Zur einfachen Zählung der ZS 25*49 = 1225 kommt daher noch die ZS 300 für 6 Punkte und 6 Linien sowie 5*25 = 125 für den Mittelpunkt hinzu, zusammen ergibt sich 1650 = 150*11. Da eine Raute aus 11 Elementen besteht, entfällt konsequenterweise auf jedes Element die Summe 25.

Die Spiegelbildlichkeit der Hexagrammgestalt bewirkt, daß sich die ZS von zwei zusammengehörigen Rauten zu 50*11 = 550 ergänzen. Die folgende Zählung beginnt mit der Doppelraute in der Mitte und setzt sich links und rechts fort, jeweils zuerst die obere, dann die untere Raute:

 

oben

 

unten

 

 

 

Mi

li

re

sm

Mi

li

re

sm

GS

ZS

110

160

208

478

440

390

342

1172

1650

FW

18

15

21

54

22

23

27

72

126

126 = 6*21

Das Verhältnis der FW-Summen 54:72 ist 18*(3:4). Entsprechend der Anzahl der FW setzt sich die Gesamtsumme 126 aus 21*(1+2+3) zusammen. Wenn jede DR sich mit jeder verbindet, sind 6 DR erforderlich, um drei Oktaeder zu bilden.

Die ZS+FS 1650+126 = 1776 = 48*37 verweist wiederum auf die 37 Elemente der Tetraktys sowie auf 2*(11+13) Elemente zweier geometrischer Figuren, aus denen der Oktaeder besteht.

6.      Die FS der Zahlen 1-49 beträgt 694 = 2*347. Die Primzahl 347 ist auf drei Tetraktysseiten zu beziehen, deren Elemente sich als 3*4 Punkte und 3*7 Elemente und somit als Umkehrsummen 12 und 21 darstellen lassen. Zu dieser Summe kommt noch 129 = 3*43 für die gemeinsamen 6 Punkte und 69 für 6 Linien sowie 50 für 5*25 des Mittelpunktes hinzu, zusammen 248 = 8*31 > FW 37. Das Verhältnis 3*(43:23) = 3*66 weist wieder auf die Elemente der 6 Rauten hin.

Die FS der 6 Rauten sind folgende:

 

oben

 

unten

 

 

 

Mi

li

re

sm

Mi

li

re

sm

GS

FS

72

104

117

293

246

202

201

649

942

FW

12

19

19

50

46

103

70

219

269

 

84

123

136

343

292

305

271

868

1211

942 = 6*157; 343:868 = 7*(49:124) = 7*173

104:117 = 13*(8:9) = 13*17; 202+201 = 403 = 13*31

Die FS der zu drei DR vereinten sechs Rauten sind 72+246 = 6*(12:41) = 6*53 = 318; 104+202 = 2*(52:101) = 2*153 = 306; 117+201 = 3*(39:67) = 3*106 = 318. Das Verhältnis der drei Summen ist 6*(53:52:53). Bemerkenswert sind die benachbarten Zahlen 52 und 53, da die ZS der 8 Quadrate mit Komplementärzahlen 5253 beträgt.

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Auffällig ist die gleiche FS 318 für die mittlere und rechte DR. Die linke und die rechte DR bilden eine Einheit, indem die FS der oberen und unteren Rauten jeweils durch 13 teilbar sind.

Die Zahlenkombination 17 und 31 begegnen häufiger und sind erklärbar als ZS 21+10 und deren FW 10+7. Die Zahl 21 kann sich aus 3*7 Elementen der drei Tetraktysseiten zusammensetzen, die Zahl 10 sich auf die Anzahl der Tetraktyspunkte beziehen. 21*10 ist die Summe der Zahlen 1-20. Die FW 10 und 7 lassen sich als Punkte der Tetraktys und des Hexagons und als Kreisflächenverhältnis 3:1 verstehen. Das lateinische Wort HOMOMensch hat die ZS 48 und die FS 31, somit die Differenz 17 zwischen FS und ZS.

Die Zahl 246 läßt sich aufteilen in 24+6 und setzt sich dann aus den Komplementärzahlen 9+8+7 und 1+2+3 zusammen.

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7.      Wenn man jeweils zwei der drei Summen 318, 306, 318 addiert, erhält man die drei unterschiedlichen Würfelsummen:

 

sm

FW

 

318 306

624

24

648

318 318

636

60

696

306 318

624

24

648

sm

1884

108

1992

24:60:24 = 12*(2:5:2)

Das Verhältnis 2:5:2 spiegelt die Gliederung der 9 Durchmesserlemente des Tetraktyssterns wider sowie die Elemente einer Kreisteilung.

V. Ein Würfel, zwei Oktaeder

Während man sich die Umwandlung einer Raute, die aus zwei gleichseitigen Dreiecken besteht, in ein Quadrat vorstellen kann, so daß sich 6 Rauten den 6 Seiten eines Würfels zuordnen lassen, bleibt ein Rautenquadrat als zwei Dreiecke bestehen, so daß vier Rautenquadrate zu zwei Oktaedern werden. Tatsächlich zeigt sich ein überzeugendes ZS-Verhältnis, wenn man die vertikale Doppelraute des Komplementärquadrats und die zwei linken und rechten Dreiecke zu zwei Doppelrauten macht und in gleicher Weise mit den horizontalen Rautenteile verfährt:

vertikal

Mitte

sm

horizontal

Mitte

sm

links

rechts

oben

unten

 

oben

unten

links

rechts

 

717

515

686

717

2635

564

757

740

557

2618

2635:2618 = 17*(155:154) = 17*309

Die Zahl 17 stellt die Elemente einer Oktaederhälfte dar: 5 Ecken + 4 Flächen und 8 Kanten.

 

 

     Erstellt: Dezember 2014

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