Johannes Kepler: Die Zahlen des Frontispiz der
Rudolfinischen Tafeln
Der Zahlenkranz der Arithmetica
Die Tischzahlen
I.
Einleitung
II.
Die Zahl 013
III. Kreisbogenhälften
VI. Die Umkehrwerte
VII. Die zusammengesetzte Kreiszahl
VIII. Die ZS+FS Logarithmuszahlen und Tischzahlen
I. Einleitung
1. Wie ich im
ersten Teil darlegte, ist meine Behandlung des Frontispizes
der Rudolfinischen Tafeln von der Überzeugung geleitet, daß Kepler sein Werk
dem Dreieinigen Gott widmete, dessen vielfältiges Abbild er im Kosmos vorfand.
2. Auf dem erhöhten Sockel des zehneckigen Rundtempels zeigt eines der
rechteckigen Felder den Autor Johannes Kepler an einem Tisch sitzend. Er schaut
aus dem Bild auf den Betrachter hin, ernst und mit fragendem Blick. Ihm erhöht
zur Seite hängt eine Tafel mit vier seiner Werke. Der Tisch wird zum großen
Teil eingenommen durch ein Modell des Tempels, der auf dem Frontispiz
abgebildet ist. Davor, in die Tafel hineinragend, steht ein Kerzenleuchter mit
brennender Flamme.
Kepler hält die Arme
parallel nach vorne ausgestreckt und stützt die Handgelenke auf dem Tischrand
auf. Hände und Finger bilden eine leichte Wölbung. Während die Finger der
linken Hand ganz auf der Tischplatte aufruhen, ragen drei Finger der rechten
Hand etwas über den Tischrand. Von beiden Händen sind jeweils vier Finger
sichtbar, die mittleren beiden Finger liegen aneinander an, die anderen beiden
sind leicht abgespreizt. Die Fingerhaltung könnte daher als 121 gelesen werden.
Zwischen den beiden Händen
befinden sich, auf der Tischdecke liegend, 6
Einzelzahlen in drei horizontalen Reihen. Von der Perspektive des Sitzenden
sind sie von der Tischkante aus zur Tischmitte hin folgendermaßen angeordnet:
8 |
2 |
|
0 |
1 |
3 |
|
8 |
|
Der leicht gekrümmte
Zeigefinger der rechten Hand scheint auf die Zahl 3
zu deuten. Meint er damit die drei göttlichen Personen?
3. Kepler sieht den Betrachter an, als
würden die Zahlen ihm selbst Schwierigkeiten bereiten. Er könnte durch seine
Miene aber auch anzeigen, daß er sich eine Aufgabe gestellt hat und sie nun
nach langem und intensivem Überlegen gelöst hat. Vielleicht möchte er, daß sich
der Betrachter mit den Zahlen befaßt und sich bemüht, ihre Bedeutung zu
ergründen.
1. Der naheliegende, da
wissenschaftliche, Lösungsweg wäre, sich unter Keplers Berechnungen umzusehen
und Anhaltspunkte für die Tischzahlen zu finden. Ich vermute jedoch, daß dieser
Weg nie zum Ziel führen wird. Die Zahlen sind in einer so eigenartigen Weise
angeordnet, daß man sich der Lösung mit beschreibender Logik nähern muß.
8 |
2 |
|
0 |
1 |
3 |
|
8 |
|
2. Es ist davon auszugehen, daß die Zahlen
von links nach rechts zu lesen sind. Was bedeutet aber die Null vor der 13? Es könnte sein, daß unter der linken Hand eine
Zahl verborgen ist, aber was würde dies dem Betrachter nützen. Kepler hat doch
sicher Interesse, daß die vorhandenen Zahlen zu einem sinnvollen Ergebnis
geführt werden.
Einen ersten
Anhaltspunkt gewinnen wir, wenn wir die horizontalen Zahlen addieren: 82+013+8 = 103.
Das Ergebis rückt also die Null in die Zahlenmitte. Daraus läßt sich eine
dreifache Intention ableiten:
Erstens, Zahlenumkehrungen
spielen eine wichtige Rolle.
Zweitens, die Zahlen
1 und 3
sind nicht auf eine zusammengesetzte Zahl festgelegt, sondern sind als
Einzelzahlen zu berücksichtigen.
Drittens, die Zahl 13 läßt sich aufteilen in 10+3.
3.
Da
außer diesen Zahlen nur noch die Logarithmusziffern 69314.72
im Glorienschein der Arithmetica
zu finden ist, könnte Kepler beide als zusammengehörig gestaltet haben. Die
Tatsache, daß sich in den 7 Ziffern der Logarithmuszahl keine wiederholt,
könnte ihn veranlaßt haben, die Lücke von 3
weiteren Zahlen, die hinter die Schultern der Arithmetica verborgen sein
könnten, als 8 0 5 anzunehmen, so daß die 10
Ziffern des Dezimalsystems vollständig wären. Stellt man sich nun die 0 als die Mitte und Anfang des gesamten
Zahlenrings vor, bekäme man als Ziffernfolge 058,
deren Addition zusammen mit der 0 eben 013 ergibt. Da sich somit 314
und 013 gegenüberstehen, kann man beide zu einer
Zahl verbinden und feststellen, daß in kreisförmigem Durchgang alle 6 Zahlen jeweils durch 3*7 teilbar sind. Die zweite Spalte
enthält die Summe der Primzahlfakoten, die Faktorenwerte
(FW):
|
FW |
314013 = 3* 7* 19* 787 |
816 |
140133 = 3* 7* 6673 |
6683 |
401331 = 3* 7* 29* 659 |
698 |
13314 = 2* 3* 7* 317 |
329 |
133140 = 2* 2* 3* 5* 7* 317 |
336 |
331401 = 3* 7* 43* 367 |
420 |
1333332 |
9282 |
ZS: 1333332 = 2*2*3*3*7*11*13*37 |
78 |
FS: 9282 = 2* 3*7*13* 17 |
42 |
FS:ZS = 546*(17:407); 6*(7:13) = 120 |
120 |
4.
Ist
man einmal auf den Zusammenhang der Tischzahlen mit der Logarithmuszahl der
Arithmetica aufmerksam geworden, lassen sich weitere Sinnbezüge erkennen.
Zunächst erhält man für das obere und untere Zahlengebilde 7+6 = 13 Ziffern und somit wiederum das
trinitarische Leitthema.
Weiterhin lassen sich die drei
Tischzahlen (TZ) den unter symmetrischen
Gesichtpunkten unterteilten Zahlen der Logarithmusziffern (LZ) zuordnen:
LZ |
69 |
314 |
72 |
455 |
35*13 |
TZ |
13 |
82 |
8 |
103 |
|
|
82 |
396 |
80 |
558 |
18*31 |
162:396=18*(9:22) |
Die Addition der
Tischzahlensumme 103 führt zur Umkehrung des
Faktors 13 zu Faktor 31.
1.
Die
zusammengesetzte Zahl 314013 beginnt und
endet mit den Umkehrungen 31 und 13. Umkehrung bedeutet Rückkehr einer
Kreisbewegung zu ihrem Ausgangspunkt. Eine Umkehrbewegung wird erkennbar, wenn
wir den Kreisbogen durch zwei Punkte in zwei Hälften teilen:
Der Kreisbogen
bestet nun aus 4 Definitionselementen. Ein halber Bogen wird entweder definiert
durch die Bogenlinie allein oder zusammen mit zwei Punkten. Auf diese Weise
lassen sich die Umkehrzahlen 13 und 31 bilden. Da andererseits jeder Kreisbogen 2
Begrenzungspunkte beanspruchen darf, ergibt sich der Doppelaspekt von (3+3)+4 = 10 Elementen.
2.
Dehnt
man die beiden Kreisbogenhälften zu einer geraden Strecke aus, wird ein
zusätzlicher Begrenzungspunkt benötigt:
Dies könnte der Sinn
sein, daß die Quersumme der 7
Logarithmusziffern, die keinen vollen Kreis bilden, 32 beträgt und die der Tischzahlen 22.
3.
Da
für die Tischzahlen keine augenfällige Kreiskonzeption zu erkennen ist, besteht
ihre Funktion in Umkehrungen. Der Kreischarakter wird klar, wenn man die Punkte
mit 1 und 2
numeriert:
Die Numerierung 121 des zur Strecke ausgedehnten Kreisbogens ist als
dreistellige Zahl das Quadrat von 11. Die
Summe der beiden Faktoren ist 22. Die
Numerierungsfolge 1-2-1 könnte eine passende
Erklärung für Keplers eigenartige Fingerhaltung von zwei zusammengelegten und
zwei abgespreizten Fingern sein.
Die Addition der
Numerierungszahlen ergibt für den Kreis 3,
für die Strecke 4, zusammen 7. Numeriert man Punkte und
Kreisbogenhälften von 1-4, beträgt die
Doppelsumme 10+11 = 21. Dies könnte der Sinn sein, daß die
zusammengesetzte Zahl 314013 in kreisförmigem Ablauf
jeweils durch 21 teilbar ist.
Wenn man diese 6-stellige Zahl in
drei 2-stellige Zahlen aufteilt und sie mit ihren Umkehrungen addiert, erhält
man folgendes Ergebnis:
31 |
40 |
13 |
84 |
13 |
04 |
31 |
48 |
44 |
44 |
44 |
132 |
48:84 = 4*(12:21) |
Die Zahlen 12 und 21 kann
man sich als Punktenumerierung zweier Kreisbogenhälften vorstellen. Das
Verhältnis der beiden Zahlen ist 3*(4:7).
1.
Die
Gleichung 3+1=4 aus den Ziffern der Logarithmuszahl wird durch 2+1=3
in den Tischzahlen ergänzt. Das zweimalige Vorkommen der Zahl 8 läßt vermuten, daß Kepler eine analoge Gleichung
für alle fünf zählbare Ziffern bilden wollte:
(2+1)+8 = 3+8
2.
Von
den verschiedenen Bedeutungen der Verbindung der beiden Zahlen 3 und 8
erscheint mir eine besonders bedeutsam: Wenn man die Zahl 10 als die zyklisch wiederkehrende Einheit des
Dezimalsystems in zwei Einheiten von 5
aufteilt, bilden die Zahlen 3 und 8 jeweils den Mittelpunkt ihrer Einheit:
Die trinitarische
Zahl 3 hat also ihr komplementäres Pendant
in der Zahl 8. Die Faktoren 2*2*2 zeigen die Wesensgleichheit der drei
göttlichen Personen.
1. Die 6 Tischzahlen sind so
angeordnet, daß sie in ein Quadrat aus 3x3 Feldern passen. Wenn man üblicherweise
von oben nach unten liest, liegt der Beginn in der oberen linken Ecke.
8 |
2 |
|
0 |
1 |
3 |
|
8 |
|
Liest man die Zahlen
vertikal von links nach rechts, erkennt man dasselbe Anordnungsprinzip wie in der
horizontalen Leseweise: Die Zeilen 1-3 enthalten jeweils 2+3+1 Ziffern. Die Einzelziffern sind 3 und 8, die als komplementäre Mittelpunktszahlen
ermittelt wurden. Die 3-stellige vertikale Zahl 218
gibt dieses Verhältnis ebenso wieder.
2.
Die
Anordnung von 2-3-1 Ziffern entspricht einer
Numerierungsweise des Kreisdurchmessers: Der Mittelpunkt erhält die Zahl 1, die Kreislinienpunkte 2,
die verbindende Radiallinie die Zahl 3:
Von außen nach innen
und innen nach außen haben die dreistelligen Zahlen 231
und 132 spiegelbildliche Umkehrgestalt und
bilden das Verhältnis 11*(21:12) = 33*(7:4).
Tatsächlich ergibt die erste Addition des Achsenkreuzes 013+218 die Zahl 231.
3.
Wie
schon oben angedeutet, ist den Tischzahlen Umkehrfunktion zugedacht, was der
Rückkehr des Halbkreisbogens zum Anfang entspricht.
Für die Umkehrfunktion stehen je
zwei Zahlen der horizontalen und vertikalen Sichtweise zur Verfügung: 82, 013; 80, 218.
8 |
2 |
|
8 |
2 |
|
0 |
1 |
3 |
0 |
1 |
3 |
|
8 |
|
|
8 |
|
Die Quersumme der 4 Zahlen und 2*(2+3)
Ziffern erhöht sich gegenüber den ursprünglich 3
Zahlen und 3+2+1 Ziffern von 22 auf 33.
1.
Während
die Addition zweistelliger Umkehrzahlen stets durch 11
teilbar sind, ist dies bei dreistelligen Zahlen nur dann der Fall, wenn die
Ausgangszahl durch 11 teilbar ist wie bei 132 und 231.
Kepler wählte zwei Zahlen so aus, daß sie durch 11
teilbar sind, wenn man zur einen Zahl die andere in beiden Umkehrformen
hinzuaddiert. Dies ist immer dann möglich, wenn die eine Zahl aus einer 0 und zwei Stellen besteht:
|
|
sm |
*11 |
|
|
sm |
*11 |
013 |
218 |
231 |
21 |
310 |
218 |
528 |
48 |
013 |
812 |
825 |
75 |
310 |
812 |
1122 |
102 |
|
|
|
96 |
|
|
|
150 |
96:150 = 6*(16:25) |
Addiert man die
näher beieinander liegenden Ergebnisse 528+825
= 1353, erhält man das Verhältnis 11*(48:75) = 11*123 = 33*(16:25).
Die durch 11 teilbare Gesamtsumme besteht
also aus den ersten 3 Zahlen, einer
Umkehrung von 231 und 132. Die Verhältniszahlen sind die Quadrate von 4 und 5.
2.
Die
zweistelligen Zahlen sollen nun mit den niedrigen Werten der niedrigen Summe
und mit den höheren der höheren Summe hinzugefügt werden:
528 |
08 |
28 |
564 |
825 |
80 |
82 |
987 |
|
|
|
1551 |
564:987=47*(12:21) |
Für Kepler ist die
Primzahl deshalb so wichtig, weil das Verhältnis 12:21
eben 3*(4:7) ist und alle 36 Umkehrzahlen zusammen dasselbe Verhältnis
haben: 1440:2520 = 360*(4:7).
3.
Offensichtlich
hat Kepler auch die Faktorenwerte (FW)
gezählt. Denn ihre Summe ist ebenfalls durch 11
teilbar.
Z |
013 |
82 |
310 |
28 |
|
FW |
13 |
43 |
38 |
11 |
105 |
Z |
218 |
80 |
812 |
08 |
|
FW |
111 |
13 |
40 |
6 |
170 |
105:170 = 5*(21:34) |
275 |
Die ZS+FS beträgt nun 1551+275 = 11*(141+25) = 11*166
= 1826. Die Zahl 166 ist 2*83
und weist wiederum auf die beiden Zahlen 3
und 8 hin.
VII. Die zusammengesetzte
Kreiszahl
1.
Die
2+3+1 Tischzahlen haben eine weitere erstaunliche
Eigenschaft. Wenn man sie entsprechend ihrer horizontalen Reihenfolge zu 82|013|8 zusammensetzt, ist diese 6-stellige Zahl
nach dem bereits beschriebenen Kreismuster vor- und rückwärts durch 11 teilbar. In zweistelliger Aufteilung 82+01+38 ergibt die Summe der drei Zahlen 121 = 11*11:
820138
= 2*11*11*3389 201388
= 2*2*11*23*199 13882 = 2*11*631 138820
= 2*2*5*11*631 388201 = 11*35291 882013 = 11*181*443 |
3413 237 644 651 35302 635 |
831028 = 2*2*11*11*17*101 310288
= 2*2*2*2*11*41*43 102883
= 11*47*199 28831 = 11*2621 288310
= 2*5*11*2621 883102 = 2*11*137*293 |
144 103 257 2632 2639 443 |
2. Eine weitere Kreiszahl ist durch 7 teilbar. Es handelt sich um die Summe zweier Umkehrungen,
der 6-stelligen Logarithmuszahl und der zusammengesetzten Tischzahl. Sie soll
nur an einem Beispiel gezeigt werden:
741396+831028 = 1572424 1572424 = 2³*7*41*653 |
709 |
VIII. Die ZS+FS Logarithmuszahlen
und Tischzahlen
1.
Die
drei Zahlengruppen der Logarithmuszahl und ihre Umkehrungen haben folgende ZS+FS:
Z |
69 |
314 |
72 |
455 |
FW |
26 |
159 |
12 |
197 |
Z |
96 |
413 |
27 |
536 |
FW |
13 |
66 |
9 |
88 |
|
204 |
952 |
120 |
1276 |
1276 = 4*11*29 |
Die ZS+FS sowohl der
Logarithmuszahlen (LZ) als auch der Tischzahlen (TZ) sind durch 11 teilbar. Die beiden Gesamtsummen betragen 1826+1276 = 3102, und haben das Verhältnis 11*(166:116)
= 11*282 =
22*141 = 66*47.
Das Gesamtergebnis 3102 besteht wiederum aus
den Numerierungszahlen 1-3 des
Kreisdurchmessers, der Faktor 47 spiegelt
wiederum das Umkehrverhältnis der Zahlen 12:21
wider.
Die ZS+FS 1276 und die FS
275 der Tischzahlen sind zusammen gleich.
Die ZS 1551 der Tischzahlen wird durch
die drei übrigen Summen verdoppelt:
|
LZ |
TZ |
|
ZS |
991 |
1551 |
991 |
FW |
285 |
275 |
560 |
|
|
|
1551 |
Die beiden ZS 991+1551 = 2542 bestehen aus den Faktoren 2*31*41 = FW 74.
Erstellt: Juni 2009