ZAHL UND MASS
DIE ZWEI
KOMPLEMENTÄREN KREISMODELLE DES DEZIMALSYSTEMS
Relevanz der Zahlen 28
und 82 im Dezimalsystem
I. Zwei Zahlenreihen
und ihre Werte
III. Die Zahlen 28, 82 und die Doppelraute
V. Komplementäre Vierfachnumerierung
I. Zwei Zahlenreihen und ihre Werte
1. Die vorangegangene Untersuchung über die Grundzahlen des Dezimalsystems haben zwei
prinzipiell zu unterscheidende und komplementär aufeinander bezogenene
Kreismodelle erwiesen:
Da das linke Modell
mit 0, das rechte mit 1 beginnt, lassen sich
zwei um einen Zähler versetzte Reihen von je 10 Zahlen erstellen:
Punkte |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Maße |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Räumt
man den Zahlen 0 und 10 eine Sonderstellung ein, umrahmen sie zweimal vier Zahlen und man
erhält zweimal die Zahlenmuster (1+4)+(4+1), 2+8 bzw. 8+2 oder 1+8+1. Als zusammengesetzte Zahlen sind 41 und 181 Primzahlen, die
zusammen 222 ergeben. Die übrigen
Zahlen sind aus Primzahlfaktoren zusammengesetzt und müssen bei höheren
Ergebnissen zusammengesetzt werden, um als relevant erkennbar zu sein.
Die
beiden Zahlenreihen können vertikal gelesen werden. Es tritt dabei eine
Umkehrung der Bedeutung ein: die um je einen Zähler höheren Maße werden zu
Begrenzungspunkten für um einen Zähler niedrigere Maßeinheiten.
2. Den Beweis für die
behauptete Strukturierung liefern zunächst die umrahmten 8 Zahlen selbst, wenn
man von ihren vertikalen Zusammensetzungen und ihren Umkehrungen (aufsteigend
und absteigend) die Faktorenwerte (FW) ermittelt:
aufst. |
Zahl |
12 |
23 |
34 |
45 |
56 |
67 |
78 |
89 |
404 |
4*101 |
abst. |
|
21 |
32 |
43 |
54 |
65 |
76 |
87 |
98 |
476 |
4*119 |
aufst. |
FW |
7 |
23 |
19 |
11 |
13 |
67 |
18 |
89 |
247 |
|
abst. |
|
10 |
10 |
43 |
11 |
18 |
23 |
32 |
16 |
163 |
|
|
|
50 |
205 |
155 |
410 |
|
Die
Faktorensumme (FS) der 16 Zahlen beträgt 410 = 10*41. In konzentrischer Aufteilung sind die
Zahlensummen (ZS) und Faktorensummen (FS) der äußeren und inneren 4 Zahlenpaare jeweils
gleich: 440+205 = 645 = 15*43.
Die
Primzahlen der beiden Zahlenreihen sind 23+67+89+43 = 222, die Summe der
Primzahlen 41+181.
3. Durch 82 bzw. 41 teilbar sind die FW der 2 ZS + 2 FS:
|
ZS |
FS |
sm |
ZS |
FS |
sm |
GS |
|
404 |
247 |
651 |
476 |
163 |
639 |
1290 |
FW |
105 |
32 |
137 |
28 |
163 |
191 |
328 |
328 = 8*41 |
Auf je eine
Zahl mit Umkehrung entfällt durchschnittlich die Zahl 41 bzw. auf jede Hälfte 2*82.
4. Die Werte der beiden
Randzahlen mit Umkehrung sind:
|
|
sm |
|
|
sm |
GS |
01 |
10 |
11 |
910 |
109 |
1019 |
1030 |
1 |
7 |
8 |
27 |
109 |
136 |
144 |
|
|
19 |
|
|
1155 |
1174 |
1174 = 2*587 = FW 589 |
Die ZS und FS der 8+2 Zahlen sind:
|
ZS |
FS |
sm |
8 |
880 |
410 |
1290 |
2 |
1030 |
144 |
1174 |
|
1910 |
544 |
2464 |
Die ZW/FW-Verrechnung der beiden
Gesamtsummen 1290 und 1174 liefert folgendes
Ergebnis:
|
|
|
GS |
FW |
ZS |
1290 |
1174 |
2464 |
28 |
FW |
53 |
589 |
642 |
112 |
28:112 = 28*(1:4) |
Die
Gesamt-ZS+FS der 10 Zahlenpaare ist 2464 = 88*28 = FW 28. Das Gesamtergebnis zeigt sowohl Teilbarkeit
durch 28 als auch den FW 28. Die Verrechnung
führt außerdem zu einem Zahlenverhältnis 1:4.
5. Die auf- und
absteigenden ZS+FS der 2+8 Zahlen sind:
|
aufst. |
abst. |
|
||||
|
ZS |
FS |
sm |
ZS |
FS |
sm |
GS |
2 |
911 |
28 |
939 |
119 |
116 |
235 |
1174 |
8 |
404 |
247 |
651 |
476 |
163 |
639 |
1290 |
|
|
|
1590 |
|
|
874 |
2464 |
Die ZW/FW-Verrechnung ergibt:
|
|
|
sm |
FW |
sm |
Fkt. |
FW |
ZS |
1590 |
874 |
2464 |
28 |
|
|
|
FW |
63 |
44 |
107 |
107 |
|
|
|
sm |
|
|
2571 |
135 |
2706 |
33*82 |
57 |
FW |
|
|
860 |
14 |
874 |
23*38 |
44 |
|
|
|
|
|
|
|
101 |
Das FW-Ergebnis 107 weist auf die Zahl 10 und ihren FW 7. Die beiden Zahlen
haben ihre geometrische Entsprechung im Hexagon mit 7 Punkten und seiner
Erweiterung zum Tetraktysstern mit zwei Tetraktys und je 10 Punkten.
Der Tetraktysstern
enthält drei Doppelrauten (DR), die jeweils aus 21, zusammen aus 63 Elementen bestehen:
Zwei DR können zu einem Oktaeder zusammengefügt
werden, die 4 Rauten zu je 11, zusammen 44 Elementen enthalten.
Eine DR besteht aus 7 Punkten mit dem
Muster 313. Dies zeigt sich in
obiger ZS+FS 939 = 3*313. Weitere Ausführungen
zur DR folgen weiter unten.
1. Neben dem Verhältnis 8:2 ist auch 9:1 von Bedeutung. Das
letzte Paar der beiden Zahlenreihen 9-10 kann verstanden werden als 9 Maßeinheiten, die von
9+1 Punkten begrenzt
werden. Die ZS+FS dieses letzten Paares ist 1155 = 11*105. Da die Gesamtsumme 2464 durch 11 teilbar ist, gilt
dies auch für die ZS+FS der Zahlenpaare 1+8:
|
ZS |
FS |
sm |
1 |
11 |
8 |
19 |
8 |
880 |
410 |
1290 |
|
891 |
418 |
1309 |
418:891 = 11*(38:81) |
2. Die Zahl 1309 kann als Verbindung
von 3+2 Achsen verstanden
werden:
Diese Vereinigung verwirklicht
sich im Achsenkreuz zweier DR:
3. Das ZS+FS-Verhältnis der 9:1 Zahlenpaare 1309:1155 ist 7*11*(17:15) = 77*32. Die gegenseitige Bezogenheit der beiden
Zahlen 15 und 17 zeigt sich in der
Form der Buchstaben P und R im lateinischen Alphabet, wofür die Doppelraute ein plausibles
Modell liefert:
III. Die Zahlen 28, 82 und die Doppelraute
1. Die eminente Bedeutung
des Dezimalmodells 2+8 zeigt sich in der ZS+FS der beiden zusammengesetzen Zahlen:
Zahl |
28 |
82 |
110 |
FW |
11 |
43 |
54 |
|
|
|
164 |
164 = 41*4 |
Die ZS+FS der beiden Umkehrformen
ist also zweimal die Ausgangszahl 82.
2. Das geometrische
Modell für die Zahlen 28 und 82 ist die Doppelraute im Tetraktysstern. Eine so konstruierte Raute
besteht aus einem Rahmen von 4 Linien und 1 Mittellinie:
Die Doppelraute
entsteht aus der Verlängerung der 6 Segmentlinien des Hexagon.
Dabei wird jeweils einem Dreieck aus 7 Elementen ein spiegelbildliches Dreieck hinzugefügt.
Zu den 7 Elementen kommen noch
weitere 4 hinzu. Die
Mittellinie bildet die gemeinsame Basis zweier entgegengesetzer Dreiecke. Die
Spiegelbildlichkeit läßt sich durch die Numerierung der Scheitelpunkte mit 1 und der Basis mit 2 veranschaulichen:
Wenn man
der Dreiecksumkehrung die Umkehrzahlen 12 und 21 zugrunde legt, so ist ihr Verhältnis – der
Zahl der Elemente der linken Raute 4+7 genau entsprechend – 3*(4:7). Die Addition zweier zweistelligen Umkehrzahlen ist stets durch 11 teilbar. So ist die
Raute mit ihren 11 Elementen – neben dem Kreis – das geometrische Grundmodell der
Umkehrung.
3. Ohne die
spiegelbildliche Weiterentwicklung der drei sanduhrförmigen hexagonalen
Doppeldreiecke zu Doppelrauten wäre die Form der Tetraktys nicht möglich. Die
Entfaltung der Raute durch die Komponenten 7+4 spiegelt genau die 2*37 = 74 Elemente der beiden Tetraktys
wider. Deren Zusammensetzung betrachtet man naturgemäß von ihren 3 Eckpunkten aus.
Auffällig ist das Erscheinen einer neuen "fischförmigen" Figur aus 17 Elementen, zu der
sich die Raute von einem Eckpunkt her ausweitet:
Von
einem Eckpunkt aus lassen sich so drei Figuren erkennen, deren Elemente
zusammen 41 ergeben, für die
gesamte Tetraktys somit 123.
In der
Doppelraute sind diese drei Figuren zweimal, von jeder Ecke aus, enthalten.
Somit entsprechen dem Verhältnis von zweimal 4:1 Rautenlinien zweimal 41 = 82 Elemente.
4. Um die hexagonale
Erweiterung läßt sich ein zweiter konzentrischer Kreis schlagen. Auf diese
Weise besteht der Durchmesser der beiden konzentrischen Kreise aus 9 Elementen, wie die
charakteristische Zickzacklinie der Doppelraute zeigt:
Jeder
Radius besteht aus dem Mittelpunkt und vier symmetrischen Elementen. So lassen sich
die radialen Elemente darstellen als Verhältnis 4:1:4. Dies ist auch in der
ZS 110 und FS 54 der beiden Zahlen 28 und 82 erkennbar: 164 = 41*4.
Die
Einzelziffern der FS 54 geben die 5 hexagonalen Durchmesserelemente und die 4 Erweiterungselemente wieder.
Da der DR-Rahmen aus 9 hexagonalen und 6 Erweiterungselementen besteht, ist das Produkt 9*6 additiv auffaßbar.
Ähnlich
zu werten sind auch die Einzelziffern des FW 45 von 164. Das Produkt 5*9, additiv aufgefaßt,
bezieht sich auf die 5 und 9 Durchmesserelemente der beiden konzentrischen Kreise, deren
Flächenverhältnis 1:3 beträgt.
5. Die ursprünglichste
spiegelbildliche Umkehrung ist in den beiden Radien eines Kreises zu sehen.
Numeriert man – der Kreiskonstruktion entsprechend – den Mittelpunkt mit 1, die
Kreislinienpunkte mit 2 und die verbindende Radiallinie mit 3 und verdoppelt die
beiden symmetrischen Elemente, erhält man vom Mittelpunkt aus die dreistellige
Zahl 164:
Die Numerierungssumme
der Durchmesserelemente ist 11 wie die Zahl der Rautenelemente.
Umgekehrt wird die
Beziehung der numerierten Kreisachse zur Raute erkennbar aus den FW der 6 Umkehrungen.
Erkenntnisse kann man gewinnen, wenn man Primzahlen und Nichtprimzahlen
gesondert rechnet:
|
|
|
|
|
sm |
|
|
|
GS |
Zahl |
146 |
164 |
416 |
614 |
1340 |
461 |
641 |
1102 |
2442 |
FW |
75 |
45 |
23 |
309 |
452 |
461 |
641 |
1102 |
1554 |
|
|
|
|
|
1792 |
|
|
2204 |
3996 |
1554:2442 = 6*37*(7:11) |
Die FS 452 gibt die Verteilung
der Rautenelemente wieder: 4 Punkte, 5 Linien, 2 Flächen.
Das
gemeinsame Teilungsprodukt 6*37 kann sich auf 6 Tetraktys von je 37 Elementen beziehen,
oder auf 6 Tetraktysseiten mit
je 3 Linien und der
Gesamtsumme von 7 Elementen (4 Punkte + 3 Linien). Letztere Annahme wird unterstützt durch die Gesamt-ZS 2442: 6*4 Punkte = 24 führen durch
Hinzufügung von 6*3 Linien zur Umkehrzahl 42.
Auch das
Verhältnis 7:11 ist als Teil zum
Ganzen auffaßbar, d.h., die Verhältniszahl der Faktorensumme den 7 Elementen des
hexagonalen Dreiecks entspricht und der Differenzbetrag zur
Gesamtverhältniszahl 11 den 4 Erweiterungselementen.
Ein Verhältnis 7:4 besteht auch, wenn
man den Doppelaspekt von 5 Durchmesserelementen und 2*3 = 6 Radialelementen berücksichtigt:
Die Zahl
4 bezieht sich auf die
Radiallinien, die Zahl 7 auf die Punkte.
1. Durch eine wunderbare
Fügung göttlicher Vorsehung hat die arabische Ziffer 8 die Gestalt der
Doppelraute, die noch viel stärker als die einfache Raute durch spiegelbildliche
Umkehrung charakterisiert ist. Eine Numerierug der DR geschieht also
vorzugsweise durch schleifenförmige Umfahrung ihres Rahmens:
Diese
Art der Numerierung bewirkt, daß die zwei rechten Zahlenpaare (63, 54) die entgegengesetzte
Umkehrungsform der ersten beiden (18, 27) haben und daß die beiden äußeren Paare (18, 54) konzentrisch das
äußere und das innere Paar der Zahlenabfolge darstellen. Auf diese Weise kann
ein Höchstmaß an Symmetrie erreicht werden, die dem Ebenmaß des Oktaeders entspricht .
2. Wenn man ein
Achsenkreuz aus zwei DR zu einem Oktaeder zusammenfügen möchte, werden die äußeren 4
Dreiecke nach
oben
gefaltet. Das Ergebnis sind drei Ebenen: der obere und untere Teil des
Oktaeders und die Mittelzone, die aus den Querlinien der DR und ihren
Begrenzungspunkten besteht.
Die
vorliegenden zwei Zahlenreihen mit ihren Umkehrungen lassen sich auf einem DR-Kreuz anordnen. Die
äußeren beiden Zahlenpaare finden ihren Platz auf den Querlinien:
Die ZS+FS der drei Ebenen sind:
|
ZS |
FS |
|
Oben |
440 |
175 |
615 |
Mitte |
1030 |
144 |
1174 |
Unten |
440 |
235 |
675 |
|
1910 |
554 |
2464 |
Das ZS+FS–Verhältnis des oberen
zum unteren Teil des Oktaeders beträgt 15*(41:45). Die Einzelziffern der Verhältniszahlen geben
wiederum die Durchmesserelemente des Hexagon und des gesamten Doppelkreises des
Tetraktyssterns an.
Die ZW/FW-Verrechnung der Gesamtsummen
führt wiederum zur Zahl 107:
|
|
|
|
sm |
FW |
GS |
615 |
1174 |
675 |
2464 |
28 |
FW |
49 |
589 |
19 |
657 |
79 |
sm |
|
|
|
3121 |
107 |
Die Gesamtsummen kann
man in ZS und FS aufteilen:
|
|
|
|
|
|
|
sm |
FW |
ZS/FS |
440 |
175 |
440 |
235 |
1030 |
144 |
2464 |
28 |
FW |
22 |
17 |
22 |
52 |
110 |
14 |
237 |
82 |
sm |
2701 = 37*73 |
2701 |
110 |
|||||
FW |
|
|
|
|
|
|
110 |
|
Auffällig
sind die beiden Umkehrergebnisse 28-82 und 37-73. Die Zahl 2701 gibt die Numerierungssumme der 6 hexagonalen Kreislinienpunkte
(2-7) und den Numerierungsbeginn des Mittelpunktes. Sie zeigt, daß das Hexagon
auf die geometrische Fortführung zum Tetraktysstern angelegt ist. Denn das
Produkt 37*73 ist additiv als
zweimal 3+7 Punkte zweier
entgegengesetzter Tetraktys zu verstehen.
V. Komplementäre Vierfachnumerierung
1. Die schleifenförmige
Umfahrung des DR-Rahmens bewirkt die Gegenüberstellung konzentrisch
komplementäre Zahlenpaare, die in zusammengesetzter Form aussagefähige Relevanz
besitzen.
Besetzt
werden können 8+2 Linien und 7 Punkte, deren 3 Kreuzungspunkte der Mittelachse sich jedoch durch die 8-förmige
Numerierungsweise doppelt belegen lassen – einschließlich der 10. Position, die
eine Vereinigung der beiden DR-Spitzen (zur Oktaederbildung) voraussetzen. Auf
diese Weise lassen sich 2*10 Zahlen auf Linien und Punkten der DR eintragen.
2. Da für die Zahl 5 zwei
Komplementärzahlen 0 und 10 in Frage kommen, die zusammen 20 als Summe ergeben –
wie auch die übrigen entsprechend doppelt zu zählenden Komplementärzahlen –, bedarf
es zweier Doppelrauten.
Die 8+2 Linien beider DR können komplementär
genutzt werden, zunächst in natürlicher Abfolge mit 1 beginnend, sodann als
Ergänzung durch konzentrisches Vorgehen, analog zur Punktenumerierung. Dabei
werden die Zahlen 1 und 10 auf die Querlinien und die Zahlen 2-9 auf die übrigen Linien gesetzt.
Die ersten zwei
einander entsprechenden Zahlenpaare auf den Linien sind also 1-8 und 2-9. Die Summen von je
zwei einander zugeordneten Paaren sind 9+11 = 20. Somit herrscht
Summengleichheit mit den Punktepaaren. Die inhaltliche Begründung für ihre
Zusammengehörigkeit besteht darin, daß die höhere Zahl als Begrenzungspunkte
für die niedrigere als Maßeinheiten dient. 2 Punkte begrenzen also 1 Maßeinheit:
Die
Zahlenpaare auf den Querlinien sind – wie die übrigen Zahlen – als
zusammengesetzt zu betrachten, also 910 und 110.
Die
Werte der beiden DR werden durch ihre Umkehrungen zu zwei DR-Kreuzen erweiterbar.
Ein DR-Kreuz besteht aus 21+20 = 41 Elementen. Sind also zwei DR-Kreuze durch
Komplementarität bestimmt, ist die Kennzahl hierfür 82.
3. Die gegenseitige
Ergänzung der vier Numerierungen zeigt sich in ihren ZS+FS:
|
Punkte-N |
ZS |
FS |
sm |
FW |
Linien-N |
ZS |
FS |
sm |
FW |
DR1 |
1-9/5-0 |
495 |
257 |
752 |
55 |
1-8/9-10 |
1415 |
222 |
1637 |
1637 |
DR2 |
1-9/5-10 |
1055 |
282 |
1337 |
198 |
2-9/1-10 |
695 |
396 |
1091 |
1091 |
sm |
|
1550 |
539 |
2089 |
253 |
|
2110 |
618 |
2728 |
2728 |
55:198 =
11*(5:18); 253:2728 = 11*(23:248) = 11*271 |
Die ZS+FS der Linien-Numerierung sind
Primzahlen, ihre Gesamtsumme 2728 ist durch 11 teilbar, die ZS+FS der Punkte-Numerierung sind
keine Primzahlen und jeder ihrer FW ist durch 11 teilbar. Die Gesamtsumme 2089 ist wieder eine
Primzahl. Die Primzahl 271 weist – wie oben 2701 – wiederum auf die
Numerierung der 7 Hexagonpunkte hin.
Die ZW/FW-Verrechnung liefert folgendes
Ergebnis:
|
|
|
|
|
sm |
FW |
sm |
FW |
ZS+FS |
752 |
1337 |
1637 |
1091 |
4817 |
4817 |
|
|
FW |
55 |
198 |
1637 |
1091 |
2981 |
282 |
|
|
sm |
7798 = 2*7*577 |
7798 |
5099 |
12897 |
1439 |
|||
FW |
5665 = 5*11*103 |
566 |
5099 |
5665 |
119 |
|||
sm |
1558 =
19*82 |
1558 |
Mit Ziffernumstellung
gehören die Ergebnisse 2981 und 19*82 zu den symmetrisch-komplementären Zahlen der 4 Numerierungen. Die
Zahlen 19 und 82 sind auf Punkte und
Maßeinheiten des Punktekreises beziehbar: Die Zahl 1 vertritt die Zahl 0, die folgenden 9 Punkte begrenzen 8 Maßeinheiten, und
zwischen der Zahl 9 und 1 liegen 2 Maßeinheiten:
Der FW 282 ist ein weiterer
Beitrag zur Thematik der Zahlen 28 und 82. Die Umkehrform dieser Zahl und ihre
Produktaufteilung in 6*47 läßt sich auf 4+7 Elemente von 3*2 Rauten oder auf 3 Doppelrauten zu je 4 Dreiecken +7 Punkten beziehen.
Versteht man die Ausgangszahl 2981 als 28 und 91, ist an die Numerierung von 8 und 13 Punkten des Tetraktysterns zu denken.
Die durch 11 teilbare Zahl 5665 läßt ebenso an 5+6 Elemente der Raute
mit Umkehrung denken.
4. Die FS der Linien-Numerierungen 1-8, 2-9 ergänzen sich zur
Teilbarkeit durch 11: 86+277 = 363 = 33*11. Getrennt von einander ergeben die ZS+FS der Zahlenpaare 9-10 und 1-10 mit ihren Umkehrungen
ebenfalls Teilbarkeit durch 11: Die beiden Gruppen haben somit folgende ZS+FS:
1-8 |
2-9 |
sm |
9-10 |
1-10 |
sm |
|
396 |
484 |
880 |
1019 |
211 |
1230 |
|
68 |
277 |
363 |
136 |
119 |
255 |
|
482 |
761 |
1243 |
1155 |
330 |
1485 |
2728 |
1243:1485=11*(113:135)=8*11*31 |
Die
Zahlen 27+28 sind konstitutiv für
die Zahl 55, die Summe der Zahlen
1-10. Daher ist dieses
Ergebnis von besonderer Bedeutung. Betrachtet man die Tetraktys als Erweiterung
des Hexagons, dessen 7 Punkte numeriert die Summe 28 ergeben, kommen durch
die Erweiterung zum Tetraktysstern noch die Zahlen 8+9+10 = 27
hinzu.
Die 3 Eckpunkte der
Tetraktys repräsentieren jedoch den Erweiterungskreis, dessen äußerer
Flächenring zum Hexagon das Verhältnis 2:1 besitzt. Dieses Verhältnis ist auch im weiteren Verlauf der
Untersuchung von Bedeutung.
5. Die ZS+FS der beiden DR sind:
|
DR1 |
DR2 |
sm |
Fkt. |
ZS |
1910 |
1750 |
3660 |
|
FS |
479 |
678 |
1157 |
13*89 |
|
2389 |
2428 |
4817 |
|
Die einzelnen Zahlenreihen
(ZR) mit ihren Umkehrungen
sowie die Zahlenpaare der 10-er Ebene ergeben folgende ZS+FS:
ZR |
1-9 |
1-8 |
1-9 |
2-9 |
|
9-10 |
1-10 |
5-0 |
5-10 |
|
ZS |
440 |
396 |
440 |
484 |
1760 |
1019 |
211 |
55 |
615 |
1900 |
FS |
240 |
86 |
240 |
277 |
843 |
136 |
119 |
17 |
42 |
314 |
|
680 |
482 |
680 |
761 |
2603 |
1155 |
330 |
72 |
657 |
2214 |
Durch
Umkehradditionen bedingt, beträgt die durch 11 teilbare ZS 1815 = 165*11. Durch kombinierte
Additionen kommt noch (47+135)*11 = 182*11 hinzu, sodaß sich das
Gesamtprodukt 347*11 ergibt.
Die FS 843 enthält in ihren
Einzelziffern 8 Linien und 4+3 Punkte der Doppelraute. Die Faktoren 3*281 sind beziehbar auf
drei DR-Kreuze, deren
Rahmen aus je 28+1 Elementen besteht.
Die FS 314 entspricht den ersten
drei Stellen der Kreiszahl PI. Es ist dabei an drei Hexagonachsen aus 3*(4+1) Elementen zu denken,
aber auch an die 7 Punkte der Doppelraute mit zweifachen Mittelpunkt in der
Gleichung 3+1=4.
Die
Gesamt-ZS+FS 2603 der linken Tabellenseite
ist eine Primzahl und zu lesen als 26*3. Die Zahl beieht sich auf 3 Oktaeder, von den einer 26 Oberflächenelementen besteht. Dieselbe Bedeutung hat die FS der Reihe 1-9 und 1-8: 240+86 = 326.
6. Die Werte der 4 rechten Zahlenpaare (mit Umkehrungen)
harmonieren miteinander durch die gemeinsamen Teiler 17, 41 und 27: Die Gesamt-ZS+FS 2214 ist 54*41 bzw. 27*82. Es liegt zunächst an
der komplementären Zusammensetzung der ersten beiden Zahlen und ihrer Parallelität
zur vierten, daß ihre Summe jeweils das Doppelte der vierten beträgt: 910+110 = 1020 = 60*17; 510 = 30*17 = 15*34*(2:1). Dasselbe geschieht
bei der Umkehrung der drei Werte: 109+101 = 210:105 = 15*7*(2:1). Entsprechend sind
die Umkehrungssummen 1290 und 615 durch 41 teilbar: 15*41*(2:1) = 45*41.
Zur vollen Summe 2214 fehlen nun noch 9*41. Sie setzt sich aus
der ZS+FS der Umkehrungen 50 und 05 und drei verbliebenen
FS zusammen:
5-0 |
5-10 |
9-10 |
1-10 |
55 |
615 |
1019 |
211 |
17 |
42 |
136 |
119 |
72 |
297 |
||
9*(8+33) = 9*41 |
Die ZS+FS der Punktezahlen und
der Linienzahlen haben als gemeinsamen Teiler 27:
5-0 |
5-10 |
9-10 |
1-10 |
55 |
615 |
1019 |
211 |
17 |
42 |
136 |
119 |
729 |
1485 |
||
27*(27:55) |
Die Gesamt-ZS+FS 2214 spiegelt genau die
Gliederung der 9 Durchmesserelemente des Tetraktyssterns wider: 2+2 Erweiterungselemente
und 4 hexagonale Elemente
mit 1 als Mittelpunkt. Der
Kreisring der Erweiterung hat die doppelte Flächengröße wie der Hexagonkreis – eine
weitere Übereinstimmung mit den ermittelten ZS-Verhältnissen.
Die letzte Tabelle
zeigt drei durch 17 teilbare FS: 17+136+119 = 272 = 16*17. Die Zahl 17 erweist sich als
Verbindungsglied zu der ZR 1-9, deren ZS+FS 680 40*17 beträgt und als Konstante in beiden DR vertreten ist.
Zusammen mit der ZS 90*17 der 10-er ZR ergibt sich so die Gesamtsumme 186*17 = 6*31*17 = FW 53.
7. Die Primzahl 4817 ist nicht leicht
interpretierbar. Wenn ihr prinzipielle Bedeutung zukommt, sollte sie den Aspekt
der Dreiachsigkeit mit dem der Zweiachsigkeit verbinden. Letztere hat sich in
der Verbindung 48 + 17 in den Vordergrund geschoben, da sich ja zwei DR zu einem Achsenkreuz verbinden.
Aus einem Achsenkreuz läßt sich durch Winkelverschiebung ein Quadrat bilden.
Das Basisquadrat besteht aus 4 Seiten aus jeweils 1 Linie + 2 Begrenzungspunkten. Aus 17 Elementen besteht ein
Achsenkreuz, deren einzelne Achse aus 9 Durchmesserelementen analog zum
Tetraktysstern besteht:
Die
Dreiachsigkeit wird sichtbar, wenn wir die Zahl 4817 umgruppieren zu 4187. Aus 41 Elementen besteht ein
Doppelrautenkreuz, aus 29 Elementen der Rahmen eines DR-Kreuzes.
Damit sich jede der drei DR mit jeder zu einem DR-Kreuz verbindet, sind drei Bildungen
erforderlich, also 3*29 = 87.
Schließlich
ist auch die Gruppierung 4781 möglich. In diesen
beiden Zahlen sind komplementäre Zahlenpaare zu erkennen, die auf den Linien
der Doppelrauten eingetragen wurden.
8. Die grundlegend
zyklische Funktion der Zahl 82 zeigt sich in den 4Werten der Zahlen 16+17, die die Symmetriemitte der
Umkehrzahlen 12 und 21 bilden:
ZS |
FS |
FW |
FW |
sm |
33 |
25 |
14 |
10 |
82 |
9. Schließlich sollen die
Umkehrsummen der beiden DR ermittelt werden. Die ersten Werte werden von links nach rechts
und von unten nach oben (Querlinien) gelesen, die zweiten umgekehrt. Es ist
eine Bewährungsprobe nicht nur für die 4 Numerierungen an sich, sondern um die
Punkteplazierung: Soll die 9 vor oder nach der 1 stehen? Steht sie danach, wie
hier angenommen, ist das FS-Verhältnis der 4 Zahlenpaare der 1-9-Reihe 160:80 = 2:1:
|
|
DR1 |
DR2 |
sm |
|
DR1 |
DR2 |
sm |
GS |
li.re. |
ZS |
1414 |
1118 |
2532 |
re.li. |
496 |
632 |
1128 |
|
|
FS |
244 |
375 |
619 |
|
235 |
303 |
538 |
|
|
|
|
|
3151 |
|
|
|
1666 |
4817 |
Teilt
man die beiden Gesamtsummen in zwei 2-stellige Zahlen auf, ergibt sich für
beide die Summe 82: 31+51, 16+66. Die Zahl 1666 ist deshalb bemerkenswert, weil die Summe der
7 römischen Zahlzeichen
eben diese Zahl ergibt: IVXLCDM = 1+5+10+50+100+500+1000 = 1666. Einen geometrischen
Bezugspunkt kann der Tetraktysrahmen aus 3*6 Elementen + 1 Mittelpunkt bilden.
Die Zahlenordnung von
Ergebnissen kann einer Probe durch die 4Werte unterzogen werden:
|
ZS |
FS |
FW1 |
FW2 |
sm |
li.re. |
2532 |
619 |
216 |
619 |
3986 |
re.li. |
1128 |
538 |
56 |
271 |
1993 |
|
3660 |
1157 |
272 |
890 |
5979 |
Die
obere Summe 3986 ist genau doppelt so groß wie die untere 1993, eine Primzahl. Das
Verhältnis 2:1, das ja bereits mehrfach begegnete, bzw. die Zahl 21 sind offensichtlich
das deutlichste Kennzeichen der Umkehrung und Rückkehr zum Ausgangspunkt. Die
Zahl 199 bezieht sich
insbesondere auf den Mittelpunkt (1) der Tetraktys und den 9 Punkten und 9 Linien der drei
Seiten.
Das
Dreieck selbst kann als ein Modell der Umkehrung angesehen werden: Auf einer
Basislinie werden zwei Punkte festgelegt, von denen aus zwei weitere Linien zu
einem Scheitelpunkt gezogen werden. Damit ist ein Verhältnis von 1:2 gegeben, das eine
Umkehrvorstellung ermöglicht.
Nun sind
die Tetraktysseiten unterteilt in je 3 Maßeinheiten, die durch 4 Punkte begrenzt
werden. Auf diese Weise erhält man durch Multiplikation der 3*4 Punkte die Zahl 12, die durch
Hinzufügung der 3*3 Linien zur Umkehrsumme 21 wird.
Wenn man
die 7 Elemente jeder
einzelnen Tetraktysseite zählt, werden die Eckpunkte doppelt berechnet: Es
kommen zu den eigentlich 9 Punkten noch 3 hinzu. Auf diese Weise erhält die Primzahl 1993 ihren Sinn.
Zur Zahl
199 ist noch anzumerken,
daß die ZS der 36 2-stelligen
Umkehrpaarungen von 12 bis 97, getrennt nach aufsteigend und absteigend, das Verhältnis 4:7 haben, ebenso wie die
Grundpaarung 12:21. Die FS der 72 Zahlen ist 1990.
Erstellt: September 2009