Primzahlpaare
mit gleicher Endziffer
in aufeinander folgenden Zehnereinheiten
|
a)
51 Primzahlpaare
1.
Dieses Kapitel setzt die Ausführungen über die in 30-er
Einheiten wiederkehrende Primzahlordnung (s. Grafik) fort. Die erste 30-er
Einheit zeigt zweimal zwei Zahlenpaare im Abstand von 6 Zählern mit den
Endziffern 1-7 und 3-9. Die Endziffern wiederholen sich nach je 30
Zählern. Im weiteren Verlauf wird diese Parallelität vermehrt durchbrochen
durch zusammengesetzte Zahlen. Die Parallelität ergibt sich aus zwei
Zahlenreihen im 6-er Abstand mit den Ausgangszahlen 1 und 5. Da aber 5 nicht zum eigentlichen
Primzahlmuster gehört, beginnt die zweite Reihe mit der Zahl 11.
1 |
|
7 |
|
13 |
|
19 |
|
(25) |
|
40 |
|
(5) |
|
11 |
|
17 |
|
23 |
|
29 |
80 |
Die Primzahlen der zweiten Reihe sind stets um 10 höher als die der ersten Reihe (1-11, 7-17). In den folgenden Tabellen werden die 51 Primzahlpaare (102) von 1-1000 und 64 Einzelprimzahlen, zusammen 166, dargestellt:
40 |
40 |
22 |
|
|
||||||||||||
1 |
31 |
61 |
181 |
241 |
271 |
421 |
631 |
691 |
751 |
811 |
|
|
|
|
11 |
4091 |
11 |
41 |
71 |
191 |
251 |
281 |
431 |
641 |
701 |
761 |
821 |
|
|
|
|
|
4201 |
13 |
43 |
73 |
103 |
163 |
223 |
283 |
373 |
433 |
643 |
673 |
733 |
853 |
|
|
13 |
4609 |
23 |
53 |
83 |
113 |
173 |
233 |
293 |
383 |
443 |
653 |
683 |
743 |
863 |
|
|
|
4739 |
7 |
37 |
97 |
127 |
157 |
307 |
337 |
457 |
547 |
577 |
607 |
787 |
877 |
937 |
967 |
15 |
6825 |
17 |
47 |
107 |
137 |
167 |
317 |
347 |
467 |
557 |
587 |
617 |
797 |
887 |
947 |
977 |
|
6975 |
19 |
79 |
139 |
229 |
349 |
379 |
409 |
439 |
499 |
709 |
829 |
919 |
|
|
|
12 |
4998 |
29 |
89 |
149 |
239 |
359 |
389 |
419 |
449 |
509 |
719 |
839 |
929 |
|
|
|
|
5118 |
4500 |
18960 |
18096 |
51 |
41556 |
||||||||||||
18960 = 40*6*79 = 40*474; 18096 = 48*13*29;
41556 = 12*3463 = FW 3470 |
Von 1-1000 gibt es 51 Primzahlpaare im Abstand von 10 und bei gleichen Endziffern. Summen wurden zweimal von je 40 Zahlen erstellt, übrig bleiben 22 Zahlen. Eine wiederkehrende Eigenschaft des Dezimalsystems sind Umkehrungen, wie sie sich hier überraschend in den Summen 18960 und 18096 zeigen. Die Summe aller 169 Primzahlen (mit 2,3,5) von 1-1000 ist 76128 = 2*48*13*61. Daher ergibt sich ein Teilverhältnis der rechten 22 zu 80+64+3 = 147 Zahlen von 18096:57168 = 48*13*(29:93) = 624*122.
Die Gesamtsumme 41556 beschränkt sich mit dem Faktor 12 auf das Wesentliche der Primzahlpaare: Jedes Paar ist durch 12 teilbar. Die Primzahl 3463 ist auf den Tetraktysrahmen beziehbar: auf 4 Punkte für jede einzelne Seite, zusammen 12, und – als gesamter Rahmen – 6 hexagonale Punkte +3 Eckpunkte. Daraus ergibt sich das Verhältnis 12:21 = 3*(4:7), das im FW 3470 abgebildet erscheint:
|
3463 weist ebenso auf 4*3 "Dachelemente" und 9 Achsenelemente der Doppelraute (DR) hin.
Eine Parallele zu den 51 Primzahlpaaren bilden die 8 verschiedenen Buchstaben des SATOR-Quadrats in dem Wort PENSATOR – der Wiegende, im Gleichgewicht Haltende, der Vergeltende: Je vier Buchstaben haben die Zahlensumme (ZS) 51. Die Zahl ist am ehesten drei "Fischfiguren" der Tetraktys zuzuordnen, von denen jede aus 17 Elementen besteht: 6 Punkten, 8 Linien, 3 Flächen. Die 3 Flächen sind auf die drei göttlichen Personen beziehbar.
2.
Um – entsprechend den beiden Tetraktys – ein
spiegelsymmetrisches Gleichgewicht herzustellen, werden die Zahlen der zweiten
Reihe vom Ende der ersten her angeordnet. In 6 Reihen befinden sich
jeweils 17
Zahlen:
1 |
7 |
13 |
19 |
31 |
37 |
43 |
61 |
73 |
79 |
97 |
103 |
127 |
139 |
157 |
163 |
181 |
14496 |
96*151 |
977 |
947 |
929 |
887 |
863 |
839 |
821 |
797 |
761 |
743 |
719 |
701 |
683 |
653 |
641 |
617 |
587 |
||
223 |
229 |
241 |
271 |
283 |
307 |
337 |
349 |
373 |
379 |
409 |
421 |
433 |
439 |
457 |
499 |
547 |
12564 |
36*349 |
557 |
509 |
467 |
449 |
443 |
431 |
419 |
389 |
383 |
359 |
347 |
317 |
293 |
281 |
251 |
239 |
233 |
||
577 |
607 |
631 |
643 |
673 |
691 |
709 |
733 |
751 |
787 |
811 |
829 |
853 |
877 |
919 |
937 |
967 |
14496 |
96*151 |
191 |
173 |
167 |
149 |
137 |
113 |
107 |
89 |
83 |
71 |
53 |
47 |
41 |
29 |
23 |
11 |
|||
2526 |
2472 |
2448 |
2418 |
2430 |
2418 |
2436 |
2418 |
2424 |
2418 |
2436 |
2418 |
2430 |
2418 |
2448 |
2472 |
2526 |
41556 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
|
|
Das Ergebnis sind spiegelsymmetrisch gleiche Vertikalsummen und zwei gleiche Horizontalsummen. Die Summe 2418 = 6*13*31 ist auf jeder Symmetriehälfte dreimal vertreten, die übrigen 5 Summen einmal. Die Summen spiegelsymmetrischer Hälften sind gleich. Z.B. die Summen der ersten Hälfte der ersten Reihe und der zweiten Hälfte der dritten Reihe sind jeweils 7272, die zwei diagonalen anderen jeweils 6390. 14496 steht durch die Teilungszahl 96 in einem Verhältnis zur Gesamtsumme 76128 = 96*13*61 der 169 Primzahlen von 1-1000.
Der
Primzahlfaktor 151 verweist auf 5+2 Punkte
der Doppelraute (DR), 349 auf 3*4 Punkte des Tetraktysrahmens + 9 Linien (s.o.) und 4*3
"Dachelelemente" der DR + 9 Achsenelemente:
|
Die Faktoren 21*31
der Summe 651 der drei dreistelligen
Primzahlen 151+349+151 geben in ihren
Einzelziffern die beiden Kreisflächenverhältnisse der beiden Tetraktyskreise wieder.
In der DR
lassen sich von den beiden äußeren Punkten 2
"Fischfiguren" aus jeweils 17
Elementen erkennen:
|
Das obere hexagonale Doppeldreieck wird um 4 Elemente erweitert. In jeder der drei DR des
Tetraktyssterns können somit zwei Primzahlreihen untergebracht werden:
|
Die Anordnung der Zahlen beginnt von den
äußeren Eckpunkten aus. Statt der einzelnen Zahlen ist die Summe von 4 Zahlen
angegeben entsprechend den 4 Erweiterungselementen, z.B. 1+7+13+19 = 40; 11+17+23+29
= 80. Die Zahlen der ersten Reihe sind von
vorne, die der zweiten Reihe von hinten
der Tabelle zu entnehmen.
Nun können die ZS
der beiden von oben nach unten (A) und von
unten nach oben (B) verlaufenden Tetraktys
ermittelt werden. Gemeinsame Summe ist jeweils 34512
= 48*719 >730:
|
A |
B |
sm |
FW |
ZS |
3542 |
3502 |
7044 |
12+587 |
ZS |
34512 |
34512 |
|
|
|
38054 |
38014 |
76068 |
2123 |
FW |
414 |
314 |
728 |
26 |
sm |
|
|
|
2149 |
76068 = 36*2113; 728 = 56*13 |
||||
2149 = 7*307 >314 |
Den Einzelziffern des Faktors 2113
entsprechen wieder die beiden Kreisflächenverhältnisse. Auf die Elemente der DR bezogen bedeuten 21
Elemente der ganzen DR zu 13 Elementen des hexagonalen Bereiches
das Kreisflächenverhältnis 3:1.
314 ist als p 3,14 bekannt und charakterisiert den Kreis durch
zwei Kreisbogenhälften:
|
Die Summen der 51
Primzahlpaare in Doppelrauten + Tetraktys können nach Punkten,
Linien und Flächen
ermittelt werden und sind in einem Zusatzbeitrag
behandelt.
3.
Die folgenden 64 Einzelprimzahlen sind nach
1. und 2. Reihe gruppiert. Auch hier ist die Summe der zweiten Reihe höher als
die der ersten:
151 |
211 |
331 |
541 |
571 |
601 |
661 |
991 |
|
|
|
8 |
4058 |
193 |
313 |
463 |
523 |
613 |
823 |
883 |
|
|
|
|
7 |
3811 |
67 |
277 |
367 |
397 |
487 |
727 |
757 |
907 |
997 |
|
|
9 |
4983 |
109 |
199 |
619 |
739 |
769 |
859 |
|
|
|
|
|
6 |
3294 |
520 |
1000 |
1780 |
2200 |
2440 |
3010 |
5196 = 12*433 |
|
|
30 |
16146 |
||
101 |
131 |
311 |
401 |
461 |
491 |
521 |
881 |
911 |
941 |
971 |
11 |
6121 |
263 |
353 |
503 |
563 |
593 |
773 |
953 |
983 |
|
|
|
8 |
4984 |
197 |
227 |
257 |
647 |
677 |
827 |
857 |
|
|
|
|
7 |
3689 |
59 |
179 |
269 |
479 |
569 |
599 |
659 |
809 |
|
|
|
8 |
3622 |
620 |
890 |
1340 |
2090 |
2300 |
2690 |
8486 |
34 |
18416 |
||||
1140 |
1890 |
3120 |
4290 |
4740 |
5700 |
|
|
|
|
|
|
34562 |
34562 = 2*11*1571 |
Die Summe der ersten 48 Zahlen beträgt 20880 = 48*435. 435 ist die Summe der Zahlen 1-29. Diese Gruppe von 64 Einzelprimzahlen wird durch die vom Primzahlmuster ausgenommenen 2, 3 und 5 zu 67 vervollständigt, sodaß 12*43 = 516 die Durchschnittszahl der 67 Primzahlen ist. Die Faktoren 12*43 enthalten nicht nur die Zahlen 1-4, sondern können auf 1+2 Eckpunkte der Tetraktys und 4+3 Punkte des Hexagons bezogen werden.
|
|
43 und 67 sind die einzigen Primzahlen, deren Einzelziffern 4+6 und 3+7 sich zu 10 ergänzen, aber in ihren Umkehrungen keine Primzahlen sind. Die Summe 110 = 11*10 beiden Primzahlen weist auf die 21 Elemente der Doppelraute (DR) hin, die aus 7 Punkten + 4 Dreiecksflächen und 10 Linien besteht. Die DR wird durch zwei spiegelsymmetrische Tetraktys vervollständigt:
4:6 und 3:7 Punkte geben die Kreisflächenverhältnisse 3:1 und 2:1 wieder. Das hexagonale Doppeldreieck aus 13 Punkten wird jeweils um 4 Elemente erweitert. Daraus lassen sich in dreistelliger Zusammensetzung zwei Umkehrzahlen verrechnen:
|
|
|
sm |
FW |
sm |
FW |
Zahl |
134 |
413 |
547 |
547 |
|
|
FW |
69 |
66 |
135 |
14 |
|
|
sm |
|
|
682 |
561 |
1243 |
120 |
FW |
|
|
44 |
31 |
75 |
13 |
sm |
|
|
|
|
|
133 |
134 = 2*67; 413 = 7*59 |
||||||
682 = 62*11; 561 = 51*11;
1243
= 113*11 |
Die Faktoren 59 und 67 sind die einzigen zweistelligen Einzelprimzahlen (s.o.).
Zweimalige Teilbarkeit durch 11 setzt zwei Einzelrauten zur DR zusammen. Umgekehrt bezeichnen die Einzelziffern in der Gleichung 1+3 = 4 und 4 = 1+3 für jede Raute einen Mittelpunkt:
|
Die Summe 1243 enthält wiederum die beiden Faktoren 12 und 43 der Summe der 64 Einzelprimzahlen, 113 in der Aufteilung 11 und 13 die Elemente der ineinander geschobenenen Raute und des sanduhrförmigen Doppeldreiecks.
4.
Der ZS der ersten Reihe ist um 51*10 = 510 niedriger als die der
zweiten Reihe. Wenn man die Primzahlpaare mit den Einzelprimzahlen verbindet, ergeben sich
folgende Summen:
|
PzP |
EPz |
|
FW |
2 3 5 |
GS |
|
1.R. |
20523 |
16146 |
36669 |
8844 |
+3 |
36672 |
96*2*191 >206 |
2.R. |
21033 |
18416 |
39449 |
69 |
+7 |
39456 |
96*3*137 >153 |
|
|
|
76118 |
6913 |
|
76128 |
359 |
36672:39456 = 96*(382:411) = 96*793 = 96*13*61 |
Durch Hinzufügung von 3+7 ergibt sich ein Zahlenverhältnis mit dem gemeinsamen Faktor 96. Damit umfaßt die erste Reihe 51+30+1 = 82 >43 Zahlen, die zweite Reihe 51+34+2 = 87 >32 Zahlen. Die Einzelziffern der FW 43 und 32 sind auf 4+3 Elemente einer Tetraktysseiten und 3+2 Elemente einer Hexagonachse beziehbar.
5.
Die Teilsummen 16146 und 18416 enthalten die Umkehrungen 146 und 416, ihre Einzelziffern weisen auf 5 Durchmesserelemente und 6 Radialelemente der Kreisachse
hin, die Zahlen 16 und 18 auf deren zusätzliche
Numerierung:
|
Durch getrennte Zählung erhält man 16 für Radialmaße und 18 für Punkte. Der Sinn dieses Zusammenhangs liegt darin, daß sich die Zahl 64 in 4*16 Linien + Punkte eines Achsenkreuzes AK9 aufteilen läßt und die Zahlen 2, 3 und 5 entsprechend den erwähnten Durchmesser- und Radialelementen der Kreisachse 1+2 Mittelpunkte bilden. Die 64 Zahlen werden zunächst in Vierereinheiten konzentrisch von innen nach außen, im Uhrzeigersinn und von links nach rechs beginnend, auf den Linien und Punkten der 4 Achsenarme angeordnet. Am Ende, nach der Punktezahl 997, werden die drei Primzahlen 2, 3 und 5 als Mittelpunkte von unten nach oben hinzugefügt:
1 |
2 |
3 |
4 |
59 |
67 |
101 |
109 |
131 |
151 |
179 |
193 |
197 |
199 |
211 |
227 |
257 |
263 |
269 |
277 |
311 |
313 |
331 |
353 |
367 |
397 |
401 |
461 |
463 |
479 |
487 |
491 |
503 |
521 |
523 |
541 |
563 |
569 |
571 |
593 |
599 |
601 |
613 |
619 |
647 |
659 |
661 |
677 |
727 |
739 |
757 |
769 |
773 |
809 |
823 |
827 |
857 |
859 |
881 |
883 |
907 |
911 |
941 |
953 |
971 |
983 |
991 |
997 |
8332 |
8520 |
8740 |
8970 |
2 |
3 |
5 |
Nach Linien und Punkten getrennt befinden sich nun auf jedem Achsenarm 8 Zahlen. Die 8*8 Zahlen werden in A und B aufgeteilt und einander nach folgendem Muster zugeordnet:
1 |
2 |
3 |
4 |
L |
P |
P |
L |
P |
L |
L |
P |
A |
B |
||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
59 |
151 |
179 |
109 |
131 |
67 |
101 |
193 |
197 |
263 |
269 |
227 |
257 |
199 |
211 |
277 |
311 |
397 |
401 |
353 |
367 |
313 |
331 |
461 |
463 |
521 |
523 |
491 |
503 |
479 |
487 |
541 |
563 |
601 |
613 |
593 |
599 |
569 |
571 |
619 |
647 |
739 |
757 |
677 |
727 |
659 |
661 |
769 |
773 |
859 |
881 |
827 |
857 |
809 |
823 |
883 |
907 |
983 |
991 |
953 |
971 |
911 |
941 |
997 |
3920 |
4514 |
4614 |
4230 |
4412 |
4006 |
4126 |
4740 |
Die Additionen der äußeren und inneren Glieder von A und B ergeben:
A |
B |
||||||
3920 |
4230 |
8150 |
50*163 |
4412 |
4740 |
9152 |
64*11*13 |
4514 |
4614 |
9128 |
56*163 |
4006 |
4126 |
8132 |
4*19*107 |
8434 |
8844 |
17278 |
2*53*163 |
8418 |
8866 |
17284 |
4*29*149 |
|
132*67 |
FW=218 |
|
|
|
|
FW=182 |
17278+3+5 = 17286 |
17284+2 = 17286 |
Nach Hinzufügung der Mittelpunktszahlen 2 und 3+5 ist eine symmetrische Gleichheit der beiden Zahlengruppen erreicht. Sie ist zwei Tetraktys vergleichbar, deren Punktestruktur zweimal durch die Einzelziffern des Faktors 163 veranschaulicht wird. Auch der Faktor 67 selbst ist in der Teilsumme 8844 berücksichtigt. Das Achsenkreuz läßt etwa so darstellen:
|
Ordnet man die Einzelsummen – ohne 2 3 5 – von der kleinsten bis zur größten, ergeben sich durch konzentrische Addition von jeweils vier Summen die Konstitutivzahlen 17282+17280 der Gesamtsumme 34562:
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
3 |
4 |
3920 |
4006 |
4126 |
4230 |
4412 |
4514 |
4614 |
4740 |
|
|
17282 |
|
|
Nun fehlt von den vier Gesichtspunkten, die oben über die Kreisachse genannt wurden, nur noch die unnumerierte Zählung: Die Durchschnittszahl 516 wächst durch Hinzufügung von 67 Punkten und Linien auf 517 = 11*47. Die Einzelziffern des Faktors 47 vereinigen nun 4 Radialmaße und 7 Punkte der 6 Radial- und 5 Durchmesserelemente einer Kreisachse. Außerdem werden durch 11+(4+7) die Elemente zweier Rauten (mit 2 Mittelpunkten) wiedergegeben.
Die Hinzufügung von 67 unnumerierten Elementen ermöglicht ein neues Zahlenverhältnis der horizontalen und vertikalen Achse mit dem gemeinsamen Faktor 47:
|
hor. |
|
vert. |
li. |
8332 |
ob. |
8520 |
re. |
8740 |
unt. |
8970 |
|
3 |
|
2+5 |
|
32 |
|
32 |
|
1 |
|
2 |
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17108 |
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17531 |
2*(13*14)*47 |
47*373 |
Das Summenverhältnis der horizontalen zur vertikalen Achse beträgt 17108:17531 = 47*(364:373) = 47*737 = 11*47*67 >FW 125 = 5³.
Die Einzelziffern der Faktoren 47 und 67 haben etwa vier mögliche Bedeutungen:
· 6 Radial- und 5 Durchmesserelemente einer Kreisachse und 6 und 7
Elemente einer Tetraktysseite:
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Die Zahl der Punkte ist jeweils 3+4, die der Linien 2+2 und 3+3.
· 11 und 13
Elemente der Raute und des (sanduhrförmigen) Doppeldreiecks:
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Durch die Erweiterung des Hexagons zum Tetraktysstern entsteht nach beiden Seiten je eine Raute. Ein einzelnes Dreieck besteht aus 7 Elementen, für das zweite verbleiben einmal 6 und einmal 4 Elemente. Die Leserichtung geht jeweils vom äußeren Kreis zum inneren.
· 11 und 13
Elemente im DR-Kreuz analog zum Achsenkreuz:
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· Das Hexagon besteht aus 6 Dreiecken
und 7 Punkten, die Doppelraute aus 4
Dreiecken und 7 Punkten.
Die beiden zweistelligen Zahlen bilden bemerkenswerte Zahlenverhältnisse:
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sm |
|
|
sm |
GS |
Zahl |
47 |
67 |
114 |
74 |
76 |
150 |
264 |
FW |
47 |
67 |
114 |
39 |
23 |
62 |
176 |
sm |
|
|
228 |
|
|
212 |
440 |
176:264 = 88*(2:3) |
|||||||
228:212 =
4*(53:57); 114:150 = 6*(19:25) |
Das
Verhältnis 2:3 weist auf 5 hexagonale
Durchmesserelemente, das Differenzverhältnis 2:1 zwischen FS und ZS auf 2
Radialelemente + Mittelpunkt, das ZS-Verhältnis 114:150 =
6*(19:25) auf 10 Punkte + 9 Dreiecke der Tetraktys und 13 Punkte + 12 Dreiecke
des Tetraktyssterns, das ZS+FS-Verhältnis 228:212 =
4*(57:53) auf die Entsprechungen von 5:7
DR-Punkten und dem Kreisflächenverhältnis 1:3 und von
53 Radialelementen und dem
Kreisflächenverhältnis 3:1:
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|
Die Einzelziffern des gemeinsamen Teilers 88 können als zweimal 3:5 Radialelemente und 11*8
= 88 als 5 hexagonale
Durchmesserelemente + 6 Radialelemente und 2*2 Erweiterungselemente aufgefaßt werden:
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6.
ZS 34562 der 64
Primzahlen geteilt durch 11 teilbar ergibt 11*3142. Die Einzelziffern geben die
Entsprechung von 3:1 Flächeneinheiten zu 4:2
Radiallinien wieder:
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Zu den 64
unnumerierten Positionen kommen die Mittelpunkte der numerierten und unnumerierten
Positionen (2+3+5)+(1+2) = 13, zusammem 77 = 7*11. Teilung durch 11
ist möglich bei Addition der Summen der Achsenarme (AA)
1+2 und 1+4
und ihrem Gegenüber 3+4 und 2+3:
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AA |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
1 |
4 |
|
2 |
3 |
|
num. |
8332 |
8520 |
16852 |
8740 |
8970 |
17710 |
8332 |
8970 |
17302 |
8520 |
8740 |
17260 |
unn. |
|
|
32 |
|
|
32 |
|
|
32 |
|
|
32 |
MP |
|
|
1 |
|
|
12 |
|
|
2 |
|
|
11 |
*11 |
5*307 |
16885 |
6*269 |
17754 |
8*197 |
17336 |
11*11*13 |
17303 |
||||
16885:17754 =
11*(1535:1614); 17336:17303 = 11*(1576:1573) |
Bei 1+2 ist Teilung durch 67 möglich mit
MP 0 (+13):
16884 = 12*21*67; 17755
= 5*53*67; 67*(252:265) = 67*517.
Bei 1+4 ist Teilung durch 47 möglich mit
MP 9 (+4):
17343 = 9*41*47; 17307 = 16*23*47; 47*(369:368) = 47*737.
Erstellt: August 2019