Bedeutung der Zahlen 28 und 82 im Dezimalsystem

ZAHL UND MASS

DIE ZWEI KOMPLEMENTÄREN KREISMODELLE DES DEZIMALSYSTEMS

Relevanz der Zahlen 28 und 82 im Dezimalsystem

I. Zwei Zahlenreihen und ihre Werte

II. Das Verhältnis 9:1

III. Die Zahlen 28, 82 und die Doppelraute

IV. Die "Achterbahn"

V. Komplementäre Vierfachnumerierung

I. Zwei Zahlenreihen und ihre Werte

1. Die vorangegangene Untersuchung über die Grundzahlen des Dezimalsystems haben zwei prinzipiell zu unterscheidende und komplementär aufeinander bezogenene Kreismodelle erwiesen:

Da das linke Modell mit 0, das rechte mit 1 beginnt, lassen sich zwei um einen Zähler versetzte Reihen von je 10 Zahlen erstellen:

Punkte	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Maße	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Räumt man den Zahlen 0 und 10 eine Sonderstellung ein, umrahmen sie zweimal vier Zahlen und man erhält zweimal die Zahlenmuster (1+4)+(4+1), 2+8 bzw. 8+2 oder 1+8+1. Als zusammengesetzte Zahlen sind 41 und 181 Primzahlen, die zusammen 222 ergeben. Die übrigen Zahlen sind aus Primzahlfaktoren zusammengesetzt und müssen bei höheren Ergebnissen zusammengesetzt werden, um als relevant erkennbar zu sein.

Die beiden Zahlenreihen können vertikal gelesen werden. Es tritt dabei eine Umkehrung der Bedeutung ein: die um je einen Zähler höheren Maße werden zu Begrenzungspunkten für um einen Zähler niedrigere Maßeinheiten.

2. Den Beweis für die behauptete Strukturierung liefern zunächst die umrahmten 8 Zahlen selbst, wenn man von ihren vertikalen Zusammensetzungen und ihren Umkehrungen (aufsteigend und absteigend) die Faktorenwerte (FW) ermittelt:

aufst.	Zahl	12	23	34	45	56	67	78	89	404	4*101
abst.		21	32	43	54	65	76	87	98	476	4*119
aufst.	FW	7	23	19	11	13	67	18	89	247
abst.		10	10	43	11	18	23	32	16	163
		50		205				155		410

Die Faktorensumme (FS) der 16 Zahlen beträgt 410 = 10*41. In konzentrischer Aufteilung sind die Zahlensummen (ZS) und Faktorensummen (FS) der äußeren und inneren 4 Zahlenpaare jeweils gleich: 440+205 = 645 = 15*43.

Die Primzahlen der beiden Zahlenreihen sind 23+67+89+43 = 222, die Summe der Primzahlen 41+181.

3. Durch 82 bzw. 41 teilbar sind die FW der 2 ZS + 2 FS:

	ZS	FS	sm	ZS	FS	sm	GS
	404	247	651	476	163	639	1290
FW	105	32	137	28	163	191	328
328 = 8*41

Auf je eine Zahl mit Umkehrung entfällt durchschnittlich die Zahl 41 bzw. auf jede Hälfte 2*82.

4. Die Werte der beiden Randzahlen mit Umkehrung sind:

		sm			sm	GS
01	10	11	910	109	1019	1030
1	7	8	27	109	136	144
		19			1155	1174
1174 = 2*587 = FW 589

Die ZS und FS der 8+2 Zahlen sind:

	ZS	FS	sm
8	880	410	1290
2	1030	144	1174
	1910	544	2464

Die ZW/FW-Verrechnung der beiden Gesamtsummen 1290 und 1174 liefert folgendes Ergebnis:

			GS	FW
ZS	1290	1174	2464	28
FW	53	589	642	112
28:112 = 28*(1:4)

Die Gesamt-ZS+FS der 10 Zahlenpaare ist 2464 = 88*28 = FW 28. Das Gesamtergebnis zeigt sowohl Teilbarkeit durch 28 als auch den FW 28. Die Verrechnung führt außerdem zu einem Zahlenverhältnis 1:4.

5. Die auf- und absteigenden ZS+FS der 2+8 Zahlen sind:

	aufst.			abst.
	ZS	FS	sm	ZS	FS	sm	GS
2	911	28	939	119	116	235	1174
8	404	247	651	476	163	639	1290
			1590			874	2464

Die ZW/FW-Verrechnung ergibt:

			sm	FW	sm	Fkt.	FW
ZS	1590	874	2464	28
FW	63	44	107	107
sm			2571	135	2706	33*82	57
FW			860	14	874	23*38	44
							101

Das FW-Ergebnis 107 weist auf die Zahl 10 und ihren FW 7. Die beiden Zahlen haben ihre geometrische Entsprechung im Hexagon mit 7 Punkten und seiner Erweiterung zum Tetraktysstern mit zwei Tetraktys und je 10 Punkten.

Der Tetraktysstern enthält drei Doppelrauten (DR), die jeweils aus 21, zusammen aus 63 Elementen bestehen:

Zwei DR können zu einem Oktaeder zusammengefügt werden, die 4 Rauten zu je 11, zusammen 44 Elementen enthalten.

Eine DR besteht aus 7 Punkten mit dem Muster 313. Dies zeigt sich in obiger ZS+FS 939 = 3*313. Weitere Ausführungen zur DR folgen weiter unten.

II. Das Verhältnis 9:1

1. Neben dem Verhältnis 8:2 ist auch 9:1 von Bedeutung. Das letzte Paar der beiden Zahlenreihen 9-10 kann verstanden werden als 9 Maßeinheiten, die von 9+1 Punkten begrenzt werden. Die ZS+FS dieses letzten Paares ist 1155 = 11*105. Da die Gesamtsumme 2464 durch 11 teilbar ist, gilt dies auch für die ZS+FS der Zahlenpaare 1+8:

	ZS	FS	sm
1	11	8	19
8	880	410	1290
	891	418	1309
418:891 *= 11(**38:81)

2. Die Zahl 1309 kann als Verbindung von 3+2 Achsen verstanden werden:

3+2 Achsen

Diese Vereinigung verwirklicht sich im Achsenkreuz zweier DR:

3. Das ZS+FS-Verhältnis der 9:1 Zahlenpaare 1309:1155 ist 7*11*(17:15) = 77*32. Die gegenseitige Bezogenheit der beiden Zahlen 15 und 17 zeigt sich in der Form der Buchstaben P und R im lateinischen Alphabet, wofür die Doppelraute ein plausibles Modell liefert:

lateinisches Alphabet: die Buchstaben P und R

III. Die Zahlen 28, 82 und die Doppelraute

1. Die eminente Bedeutung des Dezimalmodells 2+8 zeigt sich in der ZS+FS der beiden zusammengesetzen Zahlen:

Zahl	28	82	110
FW	11	43	54
			164
164 = 41*4

Die ZS+FS der beiden Umkehrformen ist also zweimal die Ausgangszahl 82.

2. Das geometrische Modell für die Zahlen 28 und 82 ist die Doppelraute im Tetraktysstern. Eine so konstruierte Raute besteht aus einem Rahmen von 4 Linien und 1 Mittellinie:

Die Doppelraute entsteht aus der Verlängerung der 6 Segmentlinien des Hexagon. Dabei wird jeweils einem Dreieck aus 7 Elementen ein spiegelbildliches Dreieck hinzugefügt. Zu den 7 Elementen kommen noch weitere 4 hinzu. Die Mittellinie bildet die gemeinsame Basis zweier entgegengesetzer Dreiecke. Die Spiegelbildlichkeit läßt sich durch die Numerierung der Scheitelpunkte mit 1 und der Basis mit 2 veranschaulichen:

Wenn man der Dreiecksumkehrung die Umkehrzahlen 12 und 21 zugrunde legt, so ist ihr Verhältnis – der Zahl der Elemente der linken Raute 4+7 genau entsprechend – 3*(4:7). Die Addition zweier zweistelligen Umkehrzahlen ist stets durch 11 teilbar. So ist die Raute mit ihren 11 Elementen – neben dem Kreis – das geometrische Grundmodell der Umkehrung.

3. Ohne die spiegelbildliche Weiterentwicklung der drei sanduhrförmigen hexagonalen Doppeldreiecke zu Doppelrauten wäre die Form der Tetraktys nicht möglich. Die Entfaltung der Raute durch die Komponenten 7+4 spiegelt genau die 2*37 = 74 Elemente der beiden Tetraktys wider. Deren Zusammensetzung betrachtet man naturgemäß von ihren 3 Eckpunkten aus. Auffällig ist das Erscheinen einer neuen "fischförmigen" Figur aus 17 Elementen, zu der sich die Raute von einem Eckpunkt her ausweitet:

Von einem Eckpunkt aus lassen sich so drei Figuren erkennen, deren Elemente zusammen 41 ergeben, für die gesamte Tetraktys somit 123.

In der Doppelraute sind diese drei Figuren zweimal, von jeder Ecke aus, enthalten. Somit entsprechen dem Verhältnis von zweimal 4:1 Rautenlinien zweimal 41 = 82 Elemente.

4. Um die hexagonale Erweiterung läßt sich ein zweiter konzentrischer Kreis schlagen. Auf diese Weise besteht der Durchmesser der beiden konzentrischen Kreise aus 9 Elementen, wie die charakteristische Zickzacklinie der Doppelraute zeigt:

Jeder Radius besteht aus dem Mittelpunkt und vier symmetrischen Elementen. So lassen sich die radialen Elemente darstellen als Verhältnis 4:1:4. Dies ist auch in der ZS 110 und FS 54 der beiden Zahlen 28 und 82 erkennbar: 164 = 41*4.

Die Einzelziffern der FS 54 geben die 5 hexagonalen Durchmesserelemente und die 4 Erweiterungselemente wieder. Da der DR-Rahmen aus 9 hexagonalen und 6 Erweiterungselementen besteht, ist das Produkt 9*6 additiv auffaßbar.

Ähnlich zu werten sind auch die Einzelziffern des FW 45 von 164. Das Produkt 5*9, additiv aufgefaßt, bezieht sich auf die 5 und 9 Durchmesserelemente der beiden konzentrischen Kreise, deren Flächenverhältnis 1:3 beträgt.

5. Die ursprünglichste spiegelbildliche Umkehrung ist in den beiden Radien eines Kreises zu sehen. Numeriert man – der Kreiskonstruktion entsprechend – den Mittelpunkt mit 1, die Kreislinienpunkte mit 2 und die verbindende Radiallinie mit 3 und verdoppelt die beiden symmetrischen Elemente, erhält man vom Mittelpunkt aus die dreistellige Zahl 164:

Die Numerierungssumme der Durchmesserelemente ist 11 wie die Zahl der Rautenelemente.

Umgekehrt wird die Beziehung der numerierten Kreisachse zur Raute erkennbar aus den FW der 6 Umkehrungen. Erkenntnisse kann man gewinnen, wenn man Primzahlen und Nichtprimzahlen gesondert rechnet:

					sm				GS
Zahl	146	164	416	614	1340	461	641	1102	2442
FW	75	45	23	309	452	461	641	1102	1554
					1792			2204	3996
1554:2442 = 637(7:11)

Die FS 452 gibt die Verteilung der Rautenelemente wieder: 4 Punkte, 5 Linien, 2 Flächen.

Das gemeinsame Teilungsprodukt 6*37 kann sich auf 6 Tetraktys von je 37 Elementen beziehen, oder auf 6 Tetraktysseiten mit je 3 Linien und der Gesamtsumme von 7 Elementen (4 Punkte + 3 Linien). Letztere Annahme wird unterstützt durch die Gesamt-ZS 2442: 6*4 Punkte = 24 führen durch Hinzufügung von 6*3 Linien zur Umkehrzahl 42.

Auch das Verhältnis 7:11 ist als Teil zum Ganzen auffaßbar, d.h., die Verhältniszahl der Faktorensumme den 7 Elementen des hexagonalen Dreiecks entspricht und der Differenzbetrag zur Gesamtverhältniszahl 11 den 4 Erweiterungselementen.

Ein Verhältnis 7:4 besteht auch, wenn man den Doppelaspekt von 5 Durchmesserelementen und 2*3 = 6 Radialelementen berücksichtigt:

Die Zahl 4 bezieht sich auf die Radiallinien, die Zahl 7 auf die Punkte.

IV. Die "Achterbahn"

1. Durch eine wunderbare Fügung göttlicher Vorsehung hat die arabische Ziffer 8 die Gestalt der Doppelraute, die noch viel stärker als die einfache Raute durch spiegelbildliche Umkehrung charakterisiert ist. Eine Numerierug der DR geschieht also vorzugsweise durch schleifenförmige Umfahrung ihres Rahmens:

Diese Art der Numerierung bewirkt, daß die zwei rechten Zahlenpaare (63, 54) die entgegengesetzte Umkehrungsform der ersten beiden (18, 27) haben und daß die beiden äußeren Paare (18, 54) konzentrisch das äußere und das innere Paar der Zahlenabfolge darstellen. Auf diese Weise kann ein Höchstmaß an Symmetrie erreicht werden, die dem Ebenmaß des Oktaeders entspricht .

2. Wenn man ein Achsenkreuz aus zwei DR zu einem Oktaeder zusammenfügen möchte, werden die äußeren 4 Dreiecke nach oben gefaltet. Das Ergebnis sind drei Ebenen: der obere und untere Teil des Oktaeders und die Mittelzone, die aus den Querlinien der DR und ihren Begrenzungspunkten besteht.

Die vorliegenden zwei Zahlenreihen mit ihren Umkehrungen lassen sich auf einem DR-Kreuz anordnen. Die äußeren beiden Zahlenpaare finden ihren Platz auf den Querlinien:

Die ZS+FS der drei Ebenen sind:

	ZS	FS
Oben	440	175	615
Mitte	1030	144	1174
Unten	440	235	675
	1910	554	2464

Das ZS+FS–Verhältnis des oberen zum unteren Teil des Oktaeders beträgt 15*(41:45). Die Einzelziffern der Verhältniszahlen geben wiederum die Durchmesserelemente des Hexagon und des gesamten Doppelkreises des Tetraktyssterns an.

Die ZW/FW-Verrechnung der Gesamtsummen führt wiederum zur Zahl 107:

				sm	FW
GS	615	1174	675	2464	28
FW	49	589	19	657	79
sm				3121	107

Die Gesamtsummen kann man in ZS und FS aufteilen:

							sm	FW
ZS/FS	440	175	440	235	1030	144	2464	28
FW	22	17	22	52	110	14	237	82
sm	2701 = 37*73						2701	110
FW							110

Auffällig sind die beiden Umkehrergebnisse 28-82 und 37-73. Die Zahl 2701 gibt die Numerierungssumme der 6 hexagonalen Kreislinienpunkte (2-7) und den Numerierungsbeginn des Mittelpunktes. Sie zeigt, daß das Hexagon auf die geometrische Fortführung zum Tetraktysstern angelegt ist. Denn das Produkt 37*73 ist additiv als zweimal 3+7 Punkte zweier entgegengesetzter Tetraktys zu verstehen.

V. Komplementäre Vierfachnumerierung

1. Die schleifenförmige Umfahrung des DR-Rahmens bewirkt die Gegenüberstellung konzentrisch komplementäre Zahlenpaare, die in zusammengesetzter Form aussagefähige Relevanz besitzen.

Besetzt werden können 8+2 Linien und 7 Punkte, deren 3 Kreuzungspunkte der Mittelachse sich jedoch durch die 8-förmige Numerierungsweise doppelt belegen lassen – einschließlich der 10. Position, die eine Vereinigung der beiden DR-Spitzen (zur Oktaederbildung) voraussetzen. Auf diese Weise lassen sich 2*10 Zahlen auf Linien und Punkten der DR eintragen.

2. Da für die Zahl 5 zwei Komplementärzahlen 0 und 10 in Frage kommen, die zusammen 20 als Summe ergeben – wie auch die übrigen entsprechend doppelt zu zählenden Komplementärzahlen –, bedarf es zweier Doppelrauten.

Die 8+2 Linien beider DR können komplementär genutzt werden, zunächst in natürlicher Abfolge mit 1 beginnend, sodann als Ergänzung durch konzentrisches Vorgehen, analog zur Punktenumerierung. Dabei werden die Zahlen 1 und 10 auf die Querlinien und die Zahlen 2-9 auf die übrigen Linien gesetzt.

Die ersten zwei einander entsprechenden Zahlenpaare auf den Linien sind also 1-8 und 2-9. Die Summen von je zwei einander zugeordneten Paaren sind 9+11 = 20. Somit herrscht Summengleichheit mit den Punktepaaren. Die inhaltliche Begründung für ihre Zusammengehörigkeit besteht darin, daß die höhere Zahl als Begrenzungspunkte für die niedrigere als Maßeinheiten dient. 2 Punkte begrenzen also 1 Maßeinheit:

Die Zahlenpaare auf den Querlinien sind – wie die übrigen Zahlen – als zusammengesetzt zu betrachten, also 910 und 110.

Die Werte der beiden DR werden durch ihre Umkehrungen zu zwei DR-Kreuzen erweiterbar. Ein DR-Kreuz besteht aus 21+20 = 41 Elementen. Sind also zwei DR-Kreuze durch Komplementarität bestimmt, ist die Kennzahl hierfür 82.

3. Die gegenseitige Ergänzung der vier Numerierungen zeigt sich in ihren ZS+FS:

	Punkte-N	ZS	FS	sm	FW	Linien-N	ZS	FS	sm	FW
DR1	1-9/5-0	495	257	752	55	1-8/9-10	1415	222	1637	1637
DR2	1-9/5-10	1055	282	1337	198	2-9/1-10	695	396	1091	1091
sm		1550	539	2089	253		2110	618	2728	2728
55:198 = 11(5:18); 253:2728 = 11(23:248) = 11*271

Die ZS+FS der Linien-Numerierung sind Primzahlen, ihre Gesamtsumme 2728 ist durch 11 teilbar, die ZS+FS der Punkte-Numerierung sind keine Primzahlen und jeder ihrer FW ist durch 11 teilbar. Die Gesamtsumme 2089 ist wieder eine Primzahl. Die Primzahl 271 weist – wie oben 2701 – wiederum auf die Numerierung der 7 Hexagonpunkte hin.

Die ZW/FW-Verrechnung liefert folgendes Ergebnis:

					sm	FW	sm	FW
ZS+FS	752	1337	1637	1091	4817	4817
FW	55	198	1637	1091	2981	282
sm	7798 = 27577				7798	5099	12897	1439
FW	5665 = 511103				566	5099	5665	119
sm	1558 = 19*82							1558

Mit Ziffernumstellung gehören die Ergebnisse 2981 und 19*82 zu den symmetrisch-komplementären Zahlen der 4 Numerierungen. Die Zahlen 19 und 82 sind auf Punkte und Maßeinheiten des Punktekreises beziehbar: Die Zahl 1 vertritt die Zahl 0, die folgenden 9 Punkte begrenzen 8 Maßeinheiten, und zwischen der Zahl 9 und 1 liegen 2 Maßeinheiten:

Der FW 282 ist ein weiterer Beitrag zur Thematik der Zahlen 28 und 82. Die Umkehrform dieser Zahl und ihre Produktaufteilung in 6*47 läßt sich auf 4+7 Elemente von 3*2 Rauten oder auf 3 Doppelrauten zu je 4 Dreiecken +7 Punkten beziehen. Versteht man die Ausgangszahl 2981 als 28 und 91, ist an die Numerierung von 8 und 13 Punkten des Tetraktysterns zu denken.

Die durch 11 teilbare Zahl 5665 läßt ebenso an 5+6 Elemente der Raute mit Umkehrung denken.

4. Die FS der Linien-Numerierungen 1-8, 2-9 ergänzen sich zur Teilbarkeit durch 11: 86+277 = 363 = 33*11. Getrennt von einander ergeben die ZS+FS der Zahlenpaare 9-10 und 1-10 mit ihren Umkehrungen ebenfalls Teilbarkeit durch 11: Die beiden Gruppen haben somit folgende ZS+FS:

1-8	2-9	sm	9-10	1-10	sm
396	484	880	1019	211	1230
68	277	363	136	119	255
482	761	1243	1155	330	1485	2728
1243:1485=11(113:135)=811*31

Die Zahlen 27+28 sind konstitutiv für die Zahl 55, die Summe der Zahlen 1-10. Daher ist dieses Ergebnis von besonderer Bedeutung. Betrachtet man die Tetraktys als Erweiterung des Hexagons, dessen 7 Punkte numeriert die Summe 28 ergeben, kommen durch die Erweiterung zum Tetraktysstern noch die Zahlen 8+9+10 = 27 hinzu. Die 3 Eckpunkte der Tetraktys repräsentieren jedoch den Erweiterungskreis, dessen äußerer Flächenring zum Hexagon das Verhältnis 2:1 besitzt. Dieses Verhältnis ist auch im weiteren Verlauf der Untersuchung von Bedeutung.

5. Die ZS+FS der beiden DR sind:

	DR1	DR2	sm	Fkt.
ZS	1910	1750	3660
FS	479	678	1157	13*89
	2389	2428	4817

Die einzelnen Zahlenreihen (ZR) mit ihren Umkehrungen sowie die Zahlenpaare der 10-er Ebene ergeben folgende ZS+FS:

ZR	1-9	1-8	1-9	2-9		9-10	1-10	5-0	5-10
ZS	440	396	440	484	1760	1019	211	55	615	1900
FS	240	86	240	277	843	136	119	17	42	314
	680	482	680	761	2603	1155	330	72	657	2214

Durch Umkehradditionen bedingt, beträgt die durch 11 teilbare ZS 1815 = 165*11. Durch kombinierte Additionen kommt noch (47+135)*11 = 182*11 hinzu, sodaß sich das Gesamtprodukt 347*11 ergibt.

Die FS 843 enthält in ihren Einzelziffern 8 Linien und 4+3 Punkte der Doppelraute. Die Faktoren 3*281 sind beziehbar auf drei DR-Kreuze, deren Rahmen aus je 28+1 Elementen besteht.

Die FS 314 entspricht den ersten drei Stellen der Kreiszahl PI. Es ist dabei an drei Hexagonachsen aus 3*(4+1) Elementen zu denken, aber auch an die 7 Punkte der Doppelraute mit zweifachen Mittelpunkt in der Gleichung 3+1=4.

Die Gesamt-ZS+FS 2603 der linken Tabellenseite ist eine Primzahl und zu lesen als 26*3. Die Zahl beieht sich auf 3 Oktaeder, von den einer 26 Oberflächenelementen besteht. Dieselbe Bedeutung hat die FS der Reihe 1-9 und 1-8: 240+86 = 326.

6. Die Werte der 4 rechten Zahlenpaare (mit Umkehrungen) harmonieren miteinander durch die gemeinsamen Teiler 17, 41 und 27: Die Gesamt-ZS+FS 2214 ist 54*41 bzw. 27*82. Es liegt zunächst an der komplementären Zusammensetzung der ersten beiden Zahlen und ihrer Parallelität zur vierten, daß ihre Summe jeweils das Doppelte der vierten beträgt: 910+110 = 1020 = 60*17; 510 = 30*17 = 15*34*(2:1). Dasselbe geschieht bei der Umkehrung der drei Werte: 109+101 = 210:105 = 15*7*(2:1). Entsprechend sind die Umkehrungssummen 1290 und 615 durch 41 teilbar: 15*41*(2:1) = 45*41.

Zur vollen Summe 2214 fehlen nun noch 9*41. Sie setzt sich aus der ZS+FS der Umkehrungen 50 und 05 und drei verbliebenen FS zusammen:

5-0	5-10	9-10	1-10
55	615	1019	211
17	42	136	119
72	297
9(8+33) = 941

Die ZS+FS der Punktezahlen und der Linienzahlen haben als gemeinsamen Teiler 27:

5-0	5-10	9-10	1-10
55	615	1019	211
17	42	136	119
729		1485
27*(27:55)

Die Gesamt-ZS+FS 2214 spiegelt genau die Gliederung der 9 Durchmesserelemente des Tetraktyssterns wider: 2+2 Erweiterungselemente und 4 hexagonale Elemente mit 1 als Mittelpunkt. Der Kreisring der Erweiterung hat die doppelte Flächengröße wie der Hexagonkreis – eine weitere Übereinstimmung mit den ermittelten ZS-Verhältnissen.

Die letzte Tabelle zeigt drei durch 17 teilbare FS: 17+136+119 = 272 = 16*17. Die Zahl 17 erweist sich als Verbindungsglied zu der ZR 1-9, deren ZS+FS 680 40*17 beträgt und als Konstante in beiden DR vertreten ist. Zusammen mit der ZS 90*17 der 10-er ZR ergibt sich so die Gesamtsumme 186*17 = 6*31*17 = FW 53.

7. Die Primzahl 4817 ist nicht leicht interpretierbar. Wenn ihr prinzipielle Bedeutung zukommt, sollte sie den Aspekt der Dreiachsigkeit mit dem der Zweiachsigkeit verbinden. Letztere hat sich in der Verbindung 48 + 17 in den Vordergrund geschoben, da sich ja zwei DR zu einem Achsenkreuz verbinden. Aus einem Achsenkreuz läßt sich durch Winkelverschiebung ein Quadrat bilden. Das Basisquadrat besteht aus 4 Seiten aus jeweils 1 Linie + 2 Begrenzungspunkten. Aus 17 Elementen besteht ein Achsenkreuz, deren einzelne Achse aus 9 Durchmesserelementen analog zum Tetraktysstern besteht:

Die Dreiachsigkeit wird sichtbar, wenn wir die Zahl 4817 umgruppieren zu 4187. Aus 41 Elementen besteht ein Doppelrautenkreuz, aus 29 Elementen der Rahmen eines DR-Kreuzes. Damit sich jede der drei DR mit jeder zu einem DR-Kreuz verbindet, sind drei Bildungen erforderlich, also 3*29 = 87.

Schließlich ist auch die Gruppierung 4781 möglich. In diesen beiden Zahlen sind komplementäre Zahlenpaare zu erkennen, die auf den Linien der Doppelrauten eingetragen wurden.

8. Die grundlegend zyklische Funktion der Zahl 82 zeigt sich in den 4Werten der Zahlen 16+17, die die Symmetriemitte der Umkehrzahlen 12 und 21 bilden:

ZS	FS	FW	FW	sm
33	25	14	10	82

9. Schließlich sollen die Umkehrsummen der beiden DR ermittelt werden. Die ersten Werte werden von links nach rechts und von unten nach oben (Querlinien) gelesen, die zweiten umgekehrt. Es ist eine Bewährungsprobe nicht nur für die 4 Numerierungen an sich, sondern um die Punkteplazierung: Soll die 9 vor oder nach der 1 stehen? Steht sie danach, wie hier angenommen, ist das FS-Verhältnis der 4 Zahlenpaare der 1-9-Reihe 160:80 = 2:1:

		DR1	DR2	sm		DR1	DR2	sm	GS
li.re.	ZS	1414	1118	2532	re.li.	496	632	1128
	FS	244	375	619		235	303	538
				3151				1666	4817

Teilt man die beiden Gesamtsummen in zwei 2-stellige Zahlen auf, ergibt sich für beide die Summe 82: 31+51, 16+66. Die Zahl 1666 ist deshalb bemerkenswert, weil die Summe der 7 römischen Zahlzeichen eben diese Zahl ergibt: IVXLCDM = 1+5+10+50+100+500+1000 = 1666. Einen geometrischen Bezugspunkt kann der Tetraktysrahmen aus 3*6 Elementen + 1 Mittelpunkt bilden.

Die Zahlenordnung von Ergebnissen kann einer Probe durch die 4Werte unterzogen werden:

	ZS	FS	FW1	FW2	sm
li.re.	2532	619	216	619	3986
re.li.	1128	538	56	271	1993
	3660	1157	272	890	5979

Die obere Summe 3986 ist genau doppelt so groß wie die untere 1993, eine Primzahl. Das Verhältnis 2:1, das ja bereits mehrfach begegnete, bzw. die Zahl 21 sind offensichtlich das deutlichste Kennzeichen der Umkehrung und Rückkehr zum Ausgangspunkt. Die Zahl 199 bezieht sich insbesondere auf den Mittelpunkt (1) der Tetraktys und den 9 Punkten und 9 Linien der drei Seiten.

Das Dreieck selbst kann als ein Modell der Umkehrung angesehen werden: Auf einer Basislinie werden zwei Punkte festgelegt, von denen aus zwei weitere Linien zu einem Scheitelpunkt gezogen werden. Damit ist ein Verhältnis von 1:2 gegeben, das eine Umkehrvorstellung ermöglicht.

Nun sind die Tetraktysseiten unterteilt in je 3 Maßeinheiten, die durch 4 Punkte begrenzt werden. Auf diese Weise erhält man durch Multiplikation der 3*4 Punkte die Zahl 12, die durch Hinzufügung der 3*3 Linien zur Umkehrsumme 21 wird.

Wenn man die 7 Elemente jeder einzelnen Tetraktysseite zählt, werden die Eckpunkte doppelt berechnet: Es kommen zu den eigentlich 9 Punkten noch 3 hinzu. Auf diese Weise erhält die Primzahl 1993 ihren Sinn.

Zur Zahl 199 ist noch anzumerken, daß die ZS der 36 2-stelligen Umkehrpaarungen von 12 bis 97, getrennt nach aufsteigend und absteigend, das Verhältnis 4:7 haben, ebenso wie die Grundpaarung 12:21. Die FS der 72 Zahlen ist 1990.

Erstellt: September 2009

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