Umkehrungen dreistelliger Zahlen

IV. Umkehrungen der Zahlen 12, 13, 14, 23

1.      Es gibt 9 dreistellige Zahlenpaare, deren Umkehrungen auch Umkehrungen ihrer Faktoren sind. Zwei Zahlenpaare (144, 169) betreffen die Quadratzahlen von 12 und 13. Dreimal jeweils zwei Zahlenpaare verbinden die Zahl 12 mit 13, 14 und 23. Die Zahl 13 verbindet sich nur einmal mit 23 und keinmal mit 14, da Multiplikationen in die Vierstelligkeit hineinreichen:

 

 

Fkt.

FW

 

Fkt.

FW

sm

Fkt.

12²

144

12*12

14

441

21*21

20

585

45*13

13²

169

13*13

26

961

31*31

62

1130

10*113

12,13

156

12*13

20

651

21*31

41

807

3*269

12,13

273

21*13

23

372

12*31

38

645

15*43

12,14

168

12*14

16

861

21*41

51

1029

3*7³

12,14

294

14*21

19

492

12*41

48

786

6*131

12,23

276

12*23

30

672

21*32

20

948

12*79

12,23

384

12*32

17

483

21*23

33

867

3*17²

13,23

299

13*23

36

992

31*32

41

1291

 

 

2163

121+164

201

5925

191+283

354

8088

 

2163 = 21*103; 5925= 25*237 = 125*79; 8088 = 24*337

121+164+191+283 = 759 = 69*11 = 3*11*23; 201+354 = 555

2.      Die Quersummen der zweistelligen Faktoren beträgt jeweils 69, daher beträgt ihre Summe 69*11.

Die doppelte Umkehrung der Ausgangsfaktoren 12+21 usw. bewirkt doppelte Teilbarkeit durch 11, also einmal 33*44 (13+31) und zweimal 33*55 (14+41; 23+32) mit dem Ergebnis 11*11*(12+15+15) = 11*11*42 = 363*14 = 5082. Die Summe der übrigen drei Zahlenpaare beträgt 3006 = 18*167. Die Ziffern 3 und 6 kennzeichnen den Tetraktysrahmen aus 6 hexagonalen und 3 Erweiterungslinien. Dasselbe gilt für die 9 Dreiecksflächen der Tetraktys.

Die ZS 8088 und die FS 555 ergeben zusammen 8643 = 3*43*67. Die Einzelziffern der Primzahlen 43 und 67 sind komplementär und ergänzen sich zu jeweils 10. Sie lassen sich auf den Tetraktysrahmen beziehen, dessen einzelne Seite sich aus 4 Punkten + 3 Linien zusammensetzt, aber nur aus 6 Elementen besteht, wenn man die 18 Elemente aus 9 Punkten und 9 Linien durch 3 teilt:

Der Faktor 337 ist aus zwei der 9 Zahlen, 169+168, zusammengesetzt. Mehr zur Bedeutung der Zahl 337.

3.      Die 9 Zahlen und ihre Umkehrungen lassen sich auf drei geometrischen Figuren anordnen: den 9 Linien des Tetraktysrahmens, den 9 Dreiecksflächen der Tetraktys und den Punkten der Doppelraute (DR). Die folgende Grafik zeigt die 2*9 Zahlen im DR-Kreuz: Die Anordnung wird vom untersten Punkt aus in 8-förmiger Schleife durchgeführt, die der Umkehrungen von der linken Raute aus. Die 9 Zahlen in aufsteigender Reihenfolge sind: 144, 156, 168, 169, 273, 276, 294, 299, 384:

dreistellige Umkehrzahlen mit Faktoren 12,13,14,23

Den Mittelpunkt bilden die beiden Zahlenpaare mit den Zahlen 12 und 14. Ihre ZS ist 15*11*11 = 1815. Die ZS der Eckpunkte beträgt 2097 = 3*13*23, die der Querpunkte 4176 = 12*12*29.

Das ZS-Verhältnis der unteren und rechten zur linken und oberen Raute beträgt 3648:4440 = 24*(152:185). Die Faktorenwerte (FW) beider Summen sind 34 und 51 und haben somit das Verhältnis 17*(2:3). Durch Winkelverschiebung entsteht aus dem DR-Kreuz ein Oktogon.

Das Verhältnis der roten zu den blauen Zahlen ist 3912:4176 = 24*(163:174). Die FW beider Summen sind 172 und 43, das FW-Verhältnis beträgt 43*(4:1).

4.      Das DR-Kreuz läßt sich zu einem Oktaeder zusammenfügen:

Ein Oktaeder besteht aus zwei gegeneinander gewendeten Paramiden: eine stellt die Umkehrung der anderen dar. In den beiden Hälften des Oktaeders haben die Umkehrzahlen eine logische Ensprechung. Die Ergebnisse der neun Umkehrzahlen haben daher eine innere Beziehung zu den Eigenschaften des Oktaeders.

Ein Oktaeder ist also als ganzer und in beiden Hälften zu betrachten:

Als ganzer besteht er aus 6 Ecken, 12 Kanten und 8 Flächen, zusammen 26 Elementen. Faßt man Ecken und Flächen zusammen, so zeigt sich eine Übereinstimmung mit den Faktoren 14 und 12 der dreistelligen Umkehrzahlen. Das Ergebnis 14*12 = 168 ist auch durch die Aufteilung des Gesamtergebnisses 8088 in 80+88 erkennbar.

Die dreimalige 8 hat ihren Sinn darin, daß die 9 Durchmesserelemente, die sich in der Doppelraute dreimal finden bzw. in jeder der drei Doppelrauten, durch die Vereinigung der äußeren Punkte auf 8 reduzieren:

Weiterhin besteht die Mittelbasis der beiden Oktaederhälften aus 8 Elementen sowie die darüber und untere Umlaufbahn aus 4 Kanten und 4 Flächen.

Eine Raute verbindet jeweils die beiden Oktaederhälften. Ihr Rahmen besteht aus 8 Elementen, die 3 Binnenelemente umschließen. Das Doppeldreieck, das über die Spitze einer Oktaederhälfte führt, besteht aus 13 Elementen, sodaß die Elemente dieser beiden Grundfiguren (11+13) ebenfalls den Teilungsfaktor 24 der Summe 8088 begründen.

Eine Oktaederhälfte besteht aus 8 Elementen der Mittelbasis, der Umlaufbahn aus 4 Kanten und 4 Flächen und der Spitze, somit aus 17 Elementen. Weitere 9 Elemente ergänzen die erste Oktaederhälfte zur Gesamtfigur. Als zwei eigenständige Hälften sind 2*17 Elemente zu zählen.

5.      Unter dem Gesichtspunkt dieser Eigenschaften des Oktaeders sind die einzelnen Summen näher zu untersuchen. Dabei spielen die Faktorensummen (FS) eine bedeutende Rolle.

Die beiden pyramidalen Aufbauten werden durch die Zahlen der 4 äußeren Punkte (oben) und des Mittelpunktes (unten), die Mittelbasis durch die Zahlen der Querpunkte vertreten. Es interessieren zunächst die ZS+FS der drei Zahlengruppen:

 

oben

Mitte

unten

 

Zahl

2097

4176

1815

8088

FW

39

43

30

112

 

 

 

 

8200

Die Zahl 112 zeigt durch die Einzelziffern ihres Produkts 16*7 ihre Bedeutung hinsichtlich der beiden Tetraktyskreise, deren Fläche das Verhältnis 1:3 haben: Aus Mittelpunkt und 6 Kreislinienpunkten besteht das Hexagon, durch seine Erweiterung zum Hexagramm kommen 6 Punkte hinzu, die um einen Mittelpunkt erhöht werden müssen, um einen zweiten Kreis zu bilden. Die Primzahl 167 wurde bereits oben ermittelt.

Einer Oktaederhälfte können ZS+FS 4100 zuteilen. Neben den beiden genannten geometrischen Figuren aus 11 und 13 Elementen kommt noch die "Fischfigur" aus 17 Elementen hinzu:

Die DR selbst besteht aus 21 Elementen, sodaß sich die Gesamtsumme 62 ergibt. Diese kommt auch durch die Basisfaktoren der 9 dreistelligen Zahlenpaaren zustande: 12+13+14+23 = 62.

Der FW von 4100 setzt sich aus der Umkehrung 41+14 = 55 zusammen.

6.      Zur Ermittlung der beiden Hälften ist die ZS der gemeinsamen Mittelbasis 4176 = 24*174 zweimal zu addieren:

 

oben

unten

sm

 

2097

1815

 

 

4176

4176

 

 

6273

5991

12264

FW

64

2000

2064

6273 = 9*17*41

14328

5991 = 3*1997; 2064 = 24*86 >54

12264 = 24*7*73 >89

14328 = 24*597= 72*199 >211

Die Produktzahlen 9*17 bezeichnen die 9+17 Elemente des Oktaeders. Indem sich 17 aus 9+8 zusammensetzt und 9 und 8 die Komplementärzahlen zu 1 und 2 sind, stellt 9:17 das Komplementärverhältnis zu 1:3 dar. Die Zahl 41 steht für die Zahl der Elemente eines DR-Kreuzes.

Die Faktoren der ZS 12264 verbinden die Figuren der Tetraktys und der DR: 7 hexagonale Punkte und 7+3 Tetraktyspunkte geben das Kreisflächenverhältnis 1:3 wieder. Das Produkt 7*73 = 511 weist auf die DR mit 5 hexagonalen und 2 Erweiterungspunkten hin, der Faktor 24 auf die beiden geometrischen Figuren aus 13 und 11 Elementen.

Die FS 2064 bildet mit der ZS das Verhältnis 24*(86:511) = 24*597 = 72*199. Der FW 211 stellt das Kreisflächenverhältnis 3:1 dar, diesmal in der Umkehrform. Die FW-Summe 54+89 = 143 = 11*13 verweist auf die beiden geometrischen Figuren des Oktaeders, beide zusammen bilden die "Fischfigur" aus 14 Elementen + 3 Dreiecken.

7.      Man kann die beiden Rechnungen miteinander verbinden. Die beiden FS sind 112+2064 = 2176 = 2*1088 = 2*(64*17). Man erkennt an den Einzelziffern der Zahl 1088 die Zusammensetzung einer Oktaederhälfte, wie oben dargelegt. Die beiden ZS sind 8088+12264 = 24*(337+511) = 20352 = 24*848 = 128*3*53 > FW 70.

Das summierte FS:ZS-Verhältnis beträgt 2176:20352 = 128*(17:159) = 128*176 = 211*11 = FW 33.

8.      Der Faktor 337 der Gesamtsumme 8088 bezeichnet in seinen Einzelziffern das Muster der 13 Punkte des Hexagramms mit seinen zwei Tetraktys, der FW 346 = 2*173 für jede Tetraktys 3 "Fischfiguren" aus 17 Elementen:

Die zweimal 9 dreistelligen Umkehrzahlen können so angeordnet werden, daß jeweils zwei im Mittelpunkt zusammenlaufende Doppeldreiecke mit einem zusammengehörigen Zahlenpaar und die Eckdreiecke mit den restlichen drei Zahlen besetzt werden:

dreistellige Umkehrzahlen mit Umkehrfaktoren 12,13,14,23

Die Anordnung der Zahlen beginnt aufsteigend mit der Zahl 156 und der zugehörigen Entsprechung 273. Es folgen im Uhrzeigersinn 168 und 276 mit ihren Entsprechungen 294 und 384. Wieder von 156 ausgehend werden in aufsteigender Folge und im Uhrzeigersinn die Einzelzahlen 144, 169 und 299 in die Eckdreiecke eingetragen. In grüner Farbe sind die Umkehrungen in den Dreiecken der entgegengesetzten Tetraktys angeordnet.

Teilt man das Hexagramm in eine obere und untere Hälfte, entsprechen die ZS denen der oben einander zugeordneten Rauten des DR-Kreuzes, wobei drei Zahlen nicht miteinander übereinstimmen, aber gegenseitige Umkehrungen darstellen:

DK

144

384

672

1200

Hex.

441

483

276

1200

 

+297

+99

-396

 

9.      Auch bei anderer Anordnung bleibt die Gesamtsumme der hexagonalen Zahlen gleich. Es würden sich dabei jedoch die Summen für die einzelnen Fischfiguren ändern. Es sollen der Kürze halber nur die Summen der beiden Tetraktys betrachtet werden.

Die Summen der 2*3 Umkehrpaare des Hexagons die 3 einzelnen der Erweiterungsdreiecke wurde bereits oben ermittelt: 14*363 = 5082 und 3006 = 18*167. Die FW der beiden Summen sind 34+175 = 209 = 11*19. Die beiden Faktoren 11 und 19 sind Additionen von Durchmesser und Radialelementen des hexagonalen Kreises und des erweiterten Tetraktyskreises. Der Doppelaspekt kann durch ein Achsenkreuz dargestellt werden:

Die beiden Faktoren geben das Kreisflächenverhältnis 1:3 wieder. Die Unterscheidung zwischen hexagonalem und Erweiterungsbereich zeigt sich auch in den FS 356 und 199. Erstere bezieht sich auf 3 hexagonale Achsen mit dem Doppelaspekt von 5 Durchmesser- und 6 Radialelementen. Die Primzahl 199 läßt sich verstehen als Mittelpunkt + 9 Tetraktyspunkte und 9 Dreiecke. Wiederum wird darin das trinitarische Verhältnis 1:3 sichtbar.

10.     Die Umkehrsummen der 3 Zahlenpaare in den Erweiterungsdreiecken sind:

144

169

299

612

441

961

992

2394

612 = 36*17; 2394 = 126*19

612:2394 = 18*(34:133)

Will man die Gesamt-ZS jeder Tetraktys ermitteln, beträgt ihre Differenz demnach 99*18 = 1782. Die beiden Summen und ihre FW sind:

5694 = 2* 3* 13* 73 >FW 91

7476 = 4* 3* 7* 89 >FW 103

13170 = 30*439 >FW 449

Man erkennt in den Faktoren die 13 Punkte des Tetraktyssterns und die 7+3 Punkte der Tetraktys. Die Zahl 91 ist die Summe der Zahlen 1-13. Der FW 91 der Zahl 5694 läßt sich in das Verhältnis 13:78 = 1*(1:6) setzen. Auch der FW 103 ist auf die 13 Punkte des Hexagramms beziehbar.

11.     Da die Dreiecke beider Tetraktys mit Zahlen besetzt sind, kann man die drei Figuren – die linke, mittlere und rechte – entweder als "Fischfiguren" oder als Doppelrauten sehen. Zwischen der linken und rechten Figur herrscht Symmetrie hinsichtlich der Quadratzahlen 144 und 169, nicht jedoch hinsichtlich der hexagonalen ZS. Die ZS der rechten und mittleren Figur ist 5*363, die der linken 4*363.

12.     Die linke Figur enthält die Faktoren 12, 13, die rechte 12, 13, 23, nur die mittlere enthält außer 12, 13, 23 auch den Faktor 14. Auf diese Weise besteht Übereinstimmung zwischen 9 verschiedenen Zahlen und der Aufteilung der vier Faktoren auf die drei geometrischen Figuren in absteigender Folge 3-3-2-1. Die Quersumme der Ziffern beträgt 36, das Verhältnis der Umkehrsummen 135:261 = 9*(15:29).

13.     Wenn die Logik der Anordnung stimmt, mag man darüber staunen, was zustande kommt, wenn man den je drei Zahlen einer Figur die Nummern ihrer Reihenfolge zuordnet und die Ziffern dreistellig liest. Ausgangspunkt ist das linke hexagonale Dreieck der oberen Tetraktys, es folgen die beiden anderen gegen den Uhrzeigersinn:

156

273

144

294

168

299

276

384

169

2

5

1

7

3

8

6

9

4

Die ZS+FS der drei ermittelten Zahlen und ihrer Umkehrung sind:

Zahl

251

738

694

1683

152

837

496

1485

3168

FW

251

49

349

649

25

40

39

104

753

1683:1485 = 9*11*(17:15); 753 = 3*251

Die beiden ZS sind jeweils durch 11 teilbar. Die FS 753 ist dreimal so groß wie der erste FW 251.

Die FW der jeweils 6 Umkehrungen der drei zusammengesetzten Zahlen sind:

 

251

125

512

215

521

152

 

FW

251

15

18

48

521

25

878

 

738

873

387

783

378

837

 

 

49

103

49

38

18

40

297

 

694

469

946

649

964

496

 

 

349

74

56

70

245

39

833

2008 = 8*251

2008

Die 6:12 Umkehrungen haben das FS-Verhältnis 251*(3:5). Die Primzahl 251 ist hier zu verstehen als 2*51 = 2*(3*17): Jede Tetraktys enthält 3 "Fischfiguren" aus je 17 Elementen. 3:5 Radialelementen entspricht das Kreisflächenverhältnis 1:3:

 

 

 

 

 

 

Erstellt: Mai 2015

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