Zwei parallele Primzahlreihen zwischen 1 und 1000

1.      Die beiden vorausgehenden Beiträge handelten von der Zahl 24 im Hexagramm und zwei parallele Primzahlreihen von je 12 Zahlen zwischen 1 und 100, die dort bis 1000 ausgeweitet wurden. Die Summe der 24 Primzahlen ist 1056 = 96*11, die Summe der 169 Primzahlen von 1-1000 76128 = 96*13*61. Der gemeinsame Faktor 96 ermutigt dazu, weitere Gruppen von 24 Primzahlen zu bilden und ihre Eigenheiten zu untersuchen. In Ergänzung zu den beiden Primzahlreihen werden sie hier zunächst in Hundertereinheiten tabellarisch erfaßt, die Primzahlen 2 und 3 sind nicht berücksichtigt:

0

1

7

13

19

31

37

43

61

67

73

79

97

12

528

1

103

109

127

139

151

157

163

181

193

199

 

 

10

1522

2

211

223

229

241

271

277

283

 

 

 

 

 

7

1735

3

307

313

331

337

349

367

373

379

397

 

 

 

9

3153

4

409

421

433

439

457

463

487

499

 

 

 

 

8

3608

5

523

541

547

571

577

 

 

 

 

 

 

 

5

2759

6

601

607

613

619

631

643

661

673

691

 

 

 

9

5739

7

709

727

733

739

751

757

769

787

 

 

 

 

8

5972

8

811

823

829

853

859

877

883

 

 

 

 

 

7

5935

9

907

919

937

967

991

997

 

 

 

 

 

 

6

5718

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

81

36669

 

0

5

11

17

23

29

41

47

53

59

71

83

89

12

528

1

101

107

113

131

137

149

167

173

179

191

197

 

11

1645

2

227

233

239

251

257

263

269

281

293

 

 

 

9

2313

3

311

317

347

353

359

383

389

 

 

 

 

 

7

2459

4

401

419

431

443

449

461

467

479

491

 

 

 

9

4041

5

503

509

521

557

563

569

587

593

599

 

 

 

9

5001

6

617

641

647

653

659

677

683

 

 

 

 

 

7

4577

7

701

719

743

761

773

797

 

 

 

 

 

 

6

4494

8

809

821

827

839

857

863

881

887

 

 

 

 

8

6784

9

911

929

941

947

953

971

977

983

 

 

 

 

8

7612

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

86

39454

Die gleiche Zahl von Primzahlen innerhalb einer Hundertereinheit trifft nur auf die erste zu. Das Muster der Primzahlverteilung wiederholt sich nach je 30 Zahlen:

Das Muster für beide Reihen ist dasselbe, um je eine Zehnereinheit versetzt, in zweistelliger Zusammensetzung die Zahlen 12 und 23. Ausnahme bildet die Ausgangszahl 5 der zweiten Reihe.

2.      Von den 81 möglichen parallelen Primzahlpaaren lassen sich sechs Gruppen von 12 Primzahlpaaren bilden:

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

 

1

1

7

13

19

31

37

43

61

67

73

79

97

528

2

103

109

127

139

151

157

163

181

193

199

211

223

1956

3

229

241

271

277

283

307

313

331

337

349

367

373

3678

4

379

397

409

421

433

439

457

463

487

499

523

541

5448

5

547

571

577

601

607

613

619

631

643

661

673

691

7434

6

709

727

733

739

751

757

769

787

811

823

829

853

9288

 

1968

2052

2130

2196

2256

2310

2364

2454

2538

2604

2682

2778

28332

 

6150

14118

8064

 

28332 = 3*12*787

 

1

5

11

17

23

29

41

47

53

59

71

83

89

528

2

101

107

113

131

137

149

167

173

179

191

197

227

1872

3

233

239

251

257

263

269

281

293

311

317

347

353

3414

4

359

383

389

401

419

431

443

449

461

467

479

491

5172

5

503

509

521

557

563

569

587

593

599

617

641

647

6906

6

653

659

677

683

701

719

743

761

773

797

809

821

8796

 

1854

1908

1968

2052

2112

2178

2268

2322

2382

2460

2556

2628

26688

 

5730

13314

7644

 

26688 = 2*96*139

Die Gesamtsumme beträgt 55020 = 60*7*131 = 60*917 = Faktorenwert (FW) 150. Die Zahl 131 vereinigt in sich die trinitarischen Umkehrzahlen 13 und 31. 91 = 13*7 ist die Summe der Zahlen 1-13. Der Faktor 7 ist nur in der Einzelsumme 7434 = 18*7*59 enthalten, sodann in den Summen der 5. und 6. Gruppe beider PZ-Reihen: 32424 = 12*7*193. Die Einzelziffern der Zahl 193 geben die Punkteaufteilung des Tetraktyssterns wieder, sodaß durch 7:13 Punkte das Kreisflächenverhältnis 1:3 wiedergegeben wird. Die Hälfte der Summe wird erreicht durch die Summe der 5. Gruppe und einer Einzelzahl: 7434+6906+1872 = 16212.

Die Palindromzahl 313 ist enthalten in den Summen 1956+3678 = 18*313 und 3678+7434 = 9690 = 30*313. Schließlich durch 113 teilbar ist 5448+7434= 12882 = 6*19*113.

Die 10 Punkte der Tetraktys sind aufgeteilt in 1+6+3. Die untereinander stehenden Summen 1956 = 12*163 und 3678 = 6*613 enthalten zwei entsprechende Umkehrzahlen.

Jede der 6 parallelen Primzahlreihen lassen sich auf den "Dachelementen" eines Doppelrautenkreuzes anordnen, aber sich auch in einem einzigen zusammenfassen. Die Anordnung erfolgt 8-förmig, sodaß ein Gleichgewicht zwischen den 6 Außen- und den 6 Innengliedern herrscht:

Die Summendifferenz der beiden Reihen beträgt 96 und 60, ihr Verhältnis 12*(8:5) = 12*13 = 156. Die Einzelziffern der Produktzahlen 12*13 geben die beiden trinitarischen Kreisflächenverhältnis der beiden konzentrischen Tetraktyskreise wieder, das Verhältnis 8:5 4+3 Flächeneinheiten:

3.      Es bleiben 9 Primzahlpaare übrig:

859

877

883

907

919

937

967

991

997

8337

827

839

857

863

881

887

911

929

941

7935

 

 

 

 

 

16272

1686

 

1800

 

1938

5424

16272 = 3*48*113; 5424= 48*113

Der Faktor 113 ist eine Umkehrung der Zahl 131, die als Hauptfaktor der 72 Zahlenpaare ermittelt wurde.

Die 18 Zahlen lassen sich auf 9 Punktepositionen eines DR-Kreuzes, ebenfalls schleifenförmig, eintragen:

Die Summe 5424 der 2*3 äußeren Rautenpunkten beträgt proportional ein Drittel der 18 Zahlen.

4.      Die übrigen 7 Primzahlen wurden bereits im vorigen Beitrag auf den Punkten einer einzelnen Raute angeordnet:

Die Summe 4836 ist ebenso wie die Gesamtsumme aller 169 Primzahlen durch 13 teilbar: 12*13*31.

Mit den 18 Zahlen des vorherigen DR-Kreuzes ist diese einzelne Raute dadurch verbunden, daß die 4+1 Mittelpunktszahlen durch 13 teilbar sind: 3618+971 = 4589 = 13*353.

5.      Aus einem DR-Kreuz kann durch Faltung ein Oktaeder zusammengesetzt werden. Das Oktaeder besteht aus zwei entgegengesetzten Pyramiden mit einer gemeinsamen Mittelbasis. Dementsprechend sind drei Ebenen zu unterscheiden, denen die Primzahlen der bisher erstellten drei Figuren zugeordnet werden können. Dabei ist der Erweiterungsbereich des Hexagons als obere Pyramide anzusehen:

PZ

144

18

7

sm

Fkt.

FW

o.

18348

5424

5

23777

13*31*59

103

M.

18342

7230

3860

29432

8*13*283

302

u.

18330

3618

971

22919

13*41*47

97

sm

55020

16272

4836

76128

 

502

Alle drei Summen sind durch 13 teilbar. Die FW-Summe 502 ist auf die 7 Punkte der DR beziehbar: 5 Punkte gehören dem hexagonalen und 2 Punkte dem Erweiterungsbereich an. Dasselbe trifft auf zwei DR durch 302 = 2*151 zu. Der FW 103 gibt 10 Tetraktyspunkte und 3 weitere Punkte des Hexagramms wieder, die Umkehrzahlen 13 und 31 weisen auf das Flächenverhältnis des inneren zum äußeren Kreis hin.

Die Summen der beiden Oktaederhälften und des ganzen Oktaeders sind zu verrechnen: die obere 23777+29432 = 53209, die untere 22919+29432 = 52351.

 

o. P.

u. P.

Okt.

sm

FW

ZS+FS

53209

52351

76128

181688

1766

FW

4106

4040

87

8233

8233

sm

 

 

 

 

9999

FW

 

 

 

 

118

Anzahl

48+8

60

48+5

169 PZ

 

Viermal 9 läßt sich auf die Durchmesserelemente von 2*2 Rahmenlinien eines DR-Kreuzes beziehen, 118 auf 8 Rahmenlinien und 2 Querlinien der DR.

Nach einer anderen Perspektive bildet die untere Pyramide und die gemeinsame Mittelbasis den hexagonalen Bereich des Hexagramms. Die Summe 52351 bietet einen Hinweis hierauf, da die getrennten Zahlenbestandteile 52 und 351 jeweils durch 13 teilbar sind: 52 = 4*13, 351 = 27*13.

Den drei Oktaederebenen gehören 56+60+53 = 169 Primzahlen an. Ihre FW sind 13+12+53 = 78 = 6*13. Die Zahl 78 ist die Summe der Zahlen von 1-12, die Einzelziffern die Punkte und Linien des DR-Rahmens. Mit ihrem FW 18 ergibt sich 96, einem der Faktoren der Gesamtsumme 76128 aller 169 Primzahlen und beziehbar auf die Zusammensetzung des Oktaeders.

6.      Die Einzel-DR mit den 5 Zahlen der Reihe 2 und den Primzahlen 2 und 3 sind dieser Reihe zuzuordnen, sodaß sich die Summen 36669 = 3*17*719 >739 und 39459 = 3*7*1879 >1889 ergeben. Die Summe 2628 der beiden FW sind in ihren Einzelziffern auf die Punkte (bei zwei Mittelpunkten) und Linien der DR beziehbar: 3+1 und 1+3 Punkte und 8 Rahmen- und 2 Querlinien. Die Faktoren 36*73 ergeben den FW 83. Die Beziehung der beiden Zahlen besteht darin, daß 73 die FS und 83 die ZS der Zahlen 1-7 und 1-10 ist: 27+46 = 73; 28+55 = 83.

7.      Daß die 6 Reihen nicht willkürlich zusammengestellt sind, darauf weist die Summe der Punktezahlen der Reihe 1 hin: Sie beträgt proportional zur Gesamtzahl ein Drittel der Gesamtsumme: 9444 = 12*787:

2

5

8

11

 

2052

2256

2454

2682

9444

Die Summen der ersten und zweiten Dachlinien zeigen durch ihre Umkehrformen 9480 und 9408 Komplementärcharakter. Die Ziffer 8 faßt zweimal 4 in der Summe 9444 zusammen.

Grundsätzlich gilt, daß beliebige drei Primzahlen einer Reihe durch 3 teilbar sind. Die Punktesumme der Reihe 2 beträgt 8898, um zwei Zähler höher als ein Drittel der Gesamtsumme 26688/3 = 8896, da die Gesamtsumme nur durch 3, nicht wie die Gesamtsumme 28332 der Reihe 1 durch 9 teilbar ist. Um die Summe aller Linienpunkte zu erhalten, sind die beiden Punktesummen von der Gesamtsumme 55020 abzuziehen: 9444+8898 = 18342; 55020-18342 = 36678 = 6*6113 >6118. In zweistelliger Aufteilung sind 61 und 13 Faktoren der Gesamtsumme. Die Einzelziffern von 61 und die reale Zahl 13 geben ein Verhältnis von 7 hexagonalen Punkten zu 13 Hexagrammpunkten und die Kreisflächenentsprechung 1:3 wieder.

Die Summe aller Punktezahlen ist 76128-36678 = 39450 = 150*263 >278. Die Zahlen 39 und 45 sind die FS und ZS der Grundzahlen 1-9, identisch mit den 9 Durchmesserelementen der DR. Die FW 6118+278 ergeben 6396 = 12*13*41 = 66 mit dem Hinweis auf 3*21 Elementen von drei DR, 4*24 möglichen Elementen des DR-Kreuzes und 6*11 Elementen von sechs Rauten im Hexagramm.

8.      Der Faktor 13 der Gesamtsumme 76128 ist auch in Teilsummen zu finden. In einer Einzelsumme ist er nur einmal vorhanden: 1872 = 3*48*13, ihr Verhältnis zur Gesamtsumme ist 48*13*(3:119). Sonst tritt er in einigen Mehrfachsummen auf. Diese werden hier, mit Numerierung versehen, aufgeführt:

1

2

3

4

5

6

7

8

 

1056

3828

7092

10620

14340

18084

16272

4836

76128

 

10920

24960

 

 

 

 

10920 = 24*13*35; 24960 = 10*24*104 = 20*96*13 = 27*13*15

10920:24960 = 120*13*(7:16)

Die Summe der 7 Primzahlen der Nummer 8 sind für sich durch 13 teilbar. Die Faktoren der Gesamtsumme 76128 sind 96*13*61.

Die Nummern 4 und 5 bilden gewissermaßen die Mitte der 8 erstellten Zahlengruppen. Es ist eine klare Zahl, aufgebaut auf 24 und dem Vierfachen 96. Die gemeinsamen Faktoren 96*13 der zwei Doppelreihen und der übrigen Summe ermöglichen das Verhältnis 20:41.

Auch die Doppelreihen 2 und 3 sind durch 13 teilbar. Das Verhältnis der Reihen 2-5 zur Restsumme beträgt 35880:40248 = 312*(115:129).

Die Einbindung der Summe 16272 der 18 verbleibenden Primzahlen in die vorhergehenden Summen zu einer Teilbarkeit durch 13 geschieht durch 1+5+7 = 31668 = 12*13*7*29 und beträgt zusammen mit 4836 der Gruppe 8 36504 = 2³*3³*13²; es ergibt sich das Verhältnis 24*13*(117:127) = 312*244.

9.      Die 169 Primzahlen setzen sich also aus 6+2 Gruppen und 144+25 Zahlen zusammen. Die drei Zahlen bilden das pythagoreische Tripel 13² = 5²+12². Man kann die Summen der zwei Gruppen einer ZW/FW-Verrechnung unterziehen:

 

ZS

FS

sm

FW

sm

FW

 

55020

21108

76128

87

 

 

FW

150

1766

1916

483

 

 

sm

2* 2* 109* 179

78044

570

 

 

FW

 

 

292

29

321

110

1916 = 4*479; 321 = 3*107

3*107 kann sich auf drei DR beziehen, von denen jede aus 10 Linien und 7 Punkten besteht, 110 = 10*11 auf 21 Elemente einer einzelnen DR. Aufgeteilt in 32+1 = 33 ist ein Achsenkreuz aus 33 Elementen denkbar, worauf auch die Zahlen 19 und 16 bei drei Mittelpunkten hinweisen:

Die Primzahl 479, zusammengesetzt aus (4+7)+9 stellt zwei komplementäre Basisachsenkreuze dar:

 

 

 

Erstellt: Juli 2016

Inhalt II