Primzahlabstand 6

1.      Die folgenden Ausführungen setzen die Ergebnisse über den Primzahlabstand 6 und zwei parallele Primzahlreihen fort. Die eine Primzahlreihe beginnt mit 1, die zweite mit 5. Für die Zahlen 1-100 gibt es je 12 Primzahlen mit der gleichen Zahlensumme (ZS) 528 = 11*48 = 12*44:

 

1

7

13

19

31

37

43

61

67

73

79

97

528

 

5

11

17

23

29

41

47

53

59

71

83

89

528

sm

6

18

30

42

60

78

90

114

126

144

162

186

1056

FW

5

8

10

12

12

18

13

24

15

14

14

36

181

Alle Summen sind entsprechend der Abstands 6 und der ersten Summe 1+5 durch 6 teilbar. Zweistellige Faktoren sind die trinitarischen Umkehrzahlen 13 und 31 und 19 der Zahlen 78, 186 und 114. Höhere Zahlen sind durch niedrigere mehrfach zusammensetzbar. Die Summe 186 kann noch dreimal erreicht werden: 6+18+162; 60+126; 144+42. Übrig bleiben 30+78+90+114 = 312. Die Summen 744 und 312 enthalten wiederum die Faktoren 31 und 13: 744+312 = 24*(31+13). Die Durchschnittszahlen sind 93 und 78. 78 ist selbst eine der vier Zahlen, die 312 ergeben, es ergibt sich das Verhältnis 78*(1:3).

2.      Die besondere Bedeutung der Zahl 528 kann an den Einzelziffern und an ihrem Faktorenwert (FW) abgelesen werden. Sie bezieht sich auf die Doppelraute (DR), die aus zwei Rauten und jeweils 11 Elementen besteht. Diese zweimal 11 Elemente der DR werden durch die Faktoren der Zahl 528 = 48*11 = FW 11+11 wiedergegeben.

Der Rahmen der Doppelraute besteht aus 5 hexagonalen und 2 Erweiterungspunkte sowie aus 8 Linien:

5+2 Punkte und 4+4 Linien geben in zweistelliger Zusammensetzung 52 = 4*13 und 44 = 4*11 die beiden geometrischen Figuren des Oktaeders wieder. Ihr Additionsergebnis ist 96 = 4*24. 5:2 Punkte geben das Kreisflächenverhältnis 1:2 wieder.

Die Bedeutung der beiden Primzahlreihen wird nun klar: Durch Vereinigung zweier DR in einem DR-Kreuz wird die Voraussetzung für die Bildung eines Oktaeders geschaffen.

Eine einzelne Doppelraute besteht aus dreimal 9 Durchmesserelementen, die durch 3 Schnittpunkte auf 21 Elemente reduziert werden. Es ist daher nicht ausgeschlossen, daß ein 6-er Umlauf, den Holger Ullmann vertritt, Relevanz besitzt: Er könnte etwa folgendermaßen aussehen:

Die ersten drei und die zweiten drei Achsenarme gehören zusammen. Eine sinnvolle Fortführung dieses Umlaufs von 6 Zahlen könnte dann sinnvoll erscheinen, wenn von beiden Reihen aus je 3 Umlaufzahlen die Zahlensummen und Faktorensummen (FS) ermittelt werden. Für den ersten Umlauf ergibt sich 6+6 = 12 und 15+14 = 29. Die beiden Summen treffen auf die 41 Elemente eines DR-Kreuzes zu, das aus 29 Rahmenelementen und 2*6 Binnenelementen besteht.

3.      Die beiden Primzahlreihen werden in der folgenden Tabelle von 1-1000 ausgeführt:

1-9

1

7

13

19

31

37

43

61

67

 

 

 

 

 

 

 

279

 

5

11

17

23

29

41

47

53

59

 

 

 

 

 

 

 

285

 

10-25

73

79

97

103

109

127

139

151

157

163

181

193

199

211

223

229

2434

 

71

83

89

101

107

113

131

137

149

167

173

179

191

197

227

233

4782

 

26-41

241

271

277

283

307

313

331

337

349

367

373

379

397

409

421

433

 

 

239

251

257

263

269

281

293

311

317

347

353

359

383

389

401

419

 

42-49

439

457

463

487

499

523

541

547

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

431

443

449

461

467

479

491

503

 

 

 

 

 

 

 

 

18300

 

50-65

571

577

601

607

613

619

631

643

661

673

691

709

727

733

739

751

 

 

509

521

557

563

569

587

593

599

617

641

647

653

659

677

683

701

 

66-81

757

769

787

811

823

829

853

859

877

883

907

919

937

967

991

997

 

 

719

743

761

773

797

809

821

827

839

857

863

881

887

911

929

941

47646

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

71292

Die Zahlen der ersten Reihe sind gegenüber denen in der zweiten in der Unterzahl und ihnen daher voraus. Am Ende bleiben von der zweiten Reihe 5 Zahlen übrig: 947, 953, 971, 977, 983, zusammen 4831. Die 81 Zahlenpaare haben die Summe 36669+34623 = 71292 = 12*13*457 = FW 477. Die Gesamtsumme der 86 Zahlen der zweiten Reihe beträgt 34623+4831 = 39454, die Differenz zur ersten 2785 = 5*557 = FW 562.

4.      Wenn man zu den 5 Zahlen der zweiten Reihe noch die bisher unberücksichtigten Primzahlen 2 und 3 hinzufügt, enthält das Ergebnis wiederum die trinitarischen Umkehrzahlen 31 und 13: 4836 = 12*403 = 12*13*31 = FW 51. Das Verhältnis von 162+7 Zahlen ist 12*13*(457+31) = 156*488 = 4*24*13*61. Je 13 Zahlen haben den Durchschnittswert 5856. In den Einzelziffern 5+8 = 13 und 5+6 = 11 sind die Elemente der beiden geometrischen Figuren zu erkennen, aus denen der Oktaeder zusammengesetzt ist.

Die FW 477+51 der beiden Summen ergeben wiederum 528, die Summen der ersten zweimal 12 Primzahlen.

5.      Es liegt nahe, die 2+5 Primzahlen auf den Punkten der DR anzuordnen:

Die Summe der unteren drei Zahlen und der Mittelpunktszahl beträgt 2873 = 13*221 =13*13*17, die Summe der oberen drei Zahlen 1963 = 13*151, zusammen 13*(221+151) = 13*372 = 12*13*31.

In dem S-förmigen Zickzackverlauf werden die 7 Punkte durch 6 Linien verbunden. Der Punkteverlauf 3+1+3 spiegelt die beiden trinitarischen Faktoren 13 und 31 wider.

6.      Die beiden Zickzacklinien der DR bestehen aus 8 symmetrischen Elementen und dem Mittelpunkt. Die Einzelziffern der zweimal 81 Primzahlen lassen sich so auf zwei Durchmesserlinien der DR beziehen. Bildet man das quadratische Produkt 9*9, kann ein Achsenkreuz aus zwei DR gemeint sein, aus dem sich ein Oktaeder zusammensetzen läßt. Der FW von zweimal 81 ist 12+12 = 24. Auf diese Weise haben die ersten 24 Primzahlen gewissermaßen eine Leitfunktion.

7.      Numeriert man vom Mittelpunkt aus die Punkte konzentrischer Quadrate, schließt jedes mit einer Quadratzahl ab. Auf diese Weise werden 1+80 Primzahlen auf 4 konzentrischen Quadraten untergebracht, die auch in Kreisform dargestellt werden können:

Von besonderer Bedeutung sind die diagonalen Achsen und das Achsenkreuz, denn sie sind die Konstanten konzentrischer Erweiterungen. Auf jedem der 8 Achsenarme befinden sich 4 Zahlen. Hinzu kommt die Mittelpunktzahl 1. In der vorliegenden Quadratausdehnung zeigt sich die Bedeutung darin, daß nicht nur die Faktorensumme (FS) aller 81 Zahlen durch 13 teilbar ist, sondern auch die 33 Zahlen der vier Achsen. Die Gesamt-FS 1612 = 4*13*31 enthält erneut die trinitarischen Umkehrzahlen. Die FS der 33 Achsenzahlen beträgt 624 = 48*13 und ihr Verhältnis zu der FS 988 der 48 übrigen Zahlen 4*13*(12:19). Die Summen der 8 Achsenarme sind folgende:

Auffällig sind Teilbarkeiten durch 7, 11, 19 und 23: (77+77+42+133)+(69+1+61+72) = 7*(47+29) = 7*76 = 532; (77+77)+(92+1+72) = 11*(14+15) = 11*29; (69+92)+(61+77+1+42+72) = 23*(7+11) = 23*18 = 414.

8.      Keine der 9 Summen ist durch 13 teilbar, aber zweimal durch 77+1 = 78 = 6*13. Die Einzelziffern weisen zweimal auf die 15 Rahmenelemente der DR hin:

Die Faktoren 7*11 und die Einzelziffern 7+7 bedeuten zweimal das Kreisflächenverhältnis 1:3. Aus 7 Elementen besteht das Dreieck, das bei der hexagonalen Erweiterung durch 4 Elemente zur Raute wird. Das Flächenverhältnis 1:3 des inneren zum äußeren Kreis wird durch 7 Elemente des Kreises und (7+4) Elemente der Raute, die sich innerhalb beider Kreise befindet, wiedergegeben:

Aus 7+7 Punkten besteht das Hexagramm, wenn man zur Erzeugung eines äußeren Kreises den Mittelpunkt erneut verwendet.

Die Zahl 78 verbindet die Tetraktys mit der DR auf folgende Weise:

·     Aus 7+8 Elementen besteht der DR-Rahmen.

·     Das Produkt 3*26 weist auf drei Oktaeder hin, von denen jeder aus 26 Elementen besteht, indem jede der drei DR des Hexagramms sich mit jeder zu drei DR-Kreuze verbindet, aus denen ein Oktaeder gebildet werden kann. Die dreistellige Zahl 326 besteht zweimal aus der Primzahl 163, deren Einzelziffern den Aufbau der Tetraktyspunkte darstellen: Mittelpunkt, 6 Kreislinienpunkte, 3 Eckpunkte.

·     Das Produkt 6*13 weist ebenso auf die 10 Punkte der Tetraktys hin.

Die horizontale Mittelachse bildet die Mitte des Quadrats von oben und von unten. Die oberen 6 Zahlen und die unteren 3 sind durch 13 teilbar und haben das Verhältnis 377:247 = 13*(29:19). Fügt man den linken Achsenarm und Mittelpunkt mit den Zahlen 77+1 zu den unteren drei Zahlen hinzu, ist das Verhältnis von 4:5 Zahlen 299:325 = 13*(23:13).

9.      Auch die Achsenzahlen der 81 Primzahlpaare sind durch 13 teilbar, wenn der Mittelpunkt weggelassen wird. Es stehen sich also gegenüber 49 Zahlen der ersten drei konzentrischen Quadrate und 32 Zahlen, die die Differenz zwischen 49 und 81 bilden. Das Verhältnis der Diagonalzahlen zu den Achsenkreuzzahlen beträgt 11232:10296 = 72*13*(12:11), die Durchschnittszahl der 16 Diagonalzahlen ist 27*13 = 351, die Summe der Zahlen 1-26:

Die Summe der 32 Achsenzahlen ist 21528 = 12*13*(6*23), die der übrigen 49 Zahlen 49764 = 12*13*(11*29), das Verhältnis 156*(138*319). Der konstante Faktor 13 wird begleitet einmal durch 23 und einmal durch 29, die zusammen 52 und wiederum Teilbarkeit durch 13 ergeben. Die ZS des Wortes OPERA im SATOR-Quadrat ist aus beiden Zahlen zusammengesetzt: OP (29) ERA (23).

10.   Von den Einzelsummen der beiden Reihen ist nur die Summe 1690 der ersten Reihe des unteren mittleren Achsenarmes durch 13 teilbar. Die darüber aufgefächerten 3 Achsenarme sind zusammen durch 13 teilbar:

Die Summe der drei oberen Zahlen ist 3588 = 12*13*23. Die Faktoren 12*13 sind sowohl in der Gesamtsumme aller 81 Zahlenpaare als auch in der Summe der 32 Zahlenpaare der 16 Achsenarme enthalten. Zu berücksichtigen sind je 8 Achsenarme der ersten und zweiten Reihe. Das Zahlenverhältnis von 3:13 Achsenarmen beträgt demnach 12*13*23*(1:5).

Das Verhältnis 3:13 zeigt sich in der Summe 1312, die die beiden trinitarischen Kreisflächenverhältnisse 1:2 und 1:3 wiedergibt, also 3+4 Flächeneinheiten. Die Faktoren der Zahl 1312 sind 32*41: Aus 41 Elementen besteht das DR-Kreuz, 25 davon gehören dem hexagonalen Bereich, 16 dem Erweiterungsbereich an; 25:16 Elemente bedeuten daher 1:2 Flächeneinheiten. Die Einzelziffern der Zahl 32 sind auf 3+2 Radialelemente der DR in der Bedeutung von 1:2 Flächeneinheiten zu beziehen und 25 auf 2+5 Punkte der DR in der Bedeutung von 2:1 Flächeneinheiten.

Die Summen der vier Achsenarme zusammen ergeben 5278 = 26*203 = 13*14*29. Das Zahlenverhältnis von nunmehr 4*(1:3) Achsenarmen beträgt nun 5278:16250 = 26*(203:625); 625 = 25².

11.   Ob es eine inneren Zusammenhang zwischen den Zahlen 1-81 und den 81 Primzahlpaaren gibt? Die folgende Grafik vereint die Summen beider Achsenzahlen:

Die Gesamtsumme beträgt 22152 = 24*13*71 >FW 93 =3*31. Keine einzelne Summierung ist durch 13 teilbar, jedoch die drei rechten Zahlen zusammen: Die Summe 8671 = 13*23*29 vereinigt die drei zweistelligen Faktoren, die mehrfach schon in Kombination aufgetreten sind.

Die drei rechten Zahlen stellen eine Quadrathälfte ohne Mittelachse dar. Die Summe der sechs anderen Zahlen beträgt 13481 = 13*17*61 >FW 91. Die FW beider Summen sind durch 13 teilbar und ergeben 143 = 11*13. Von Interesse ist der Faktor 61, der in der Gesamtsumme 76128 der 169 Primzahlen von 1-1000 enthalten ist.

Eine Sonderrolle nimmt der Faktor 23 ein:

·     Die Faktoren der mittleren Zahl 2875 sind 5³*23. Mit den anderen beiden Zahlen bildet sie das Verhältnis 2875:5796 = 23*(125:252) = 23*377 = 23*(13*29).

·     Beide Einzelsummen der linken oberen Zahl 2139 sind durch 23 teilbar: 69+2070 = 3*23*(1+30) = 69*31 = 23*93. 8671+2139 ergibt 10810 = 10*23*47.

·     Die Zahl 2875 sorgt durch Addition mit 1961 für eine zweite durch 13 teilbare Summe: 4836 = 12*13*31. Es ist dieselbe Summe wie die der 5 überzähligen Primzahlen + der Primzahlen 2 und 3.

12.       Die Gesamt-FS der Zahlen 1-81 und der 81 Primzahlpaare beträgt 1612+71292 = 72904 = 8*13*701 = FW 720 >12+7 = 19. In ihren Einzelziffern gesehen bedeutet 701 7+1 Punkte der DR, 1 ist als zweiter Mittelpunkt zu verstehen. 12+7 Punkte der DR geben 4+3 Kreisflächeneinheiten wieder, 13:8 Elemente der DR das Kreisflächenverhältnis 1:2.

13.       Ähnlichkeiten zu den quadratischen Ergebnissen zeigen sich, wenn man alle 169 Primzahlen von 1-1000 und die FS der Zahlen 1-81 addiert: 76128+1612= 77740 = 4*5*13*13*23. Das Verhältnis der 36 Zahlen der drei rechten Achsenarme zur Summe der 207+7 übrigen Zahlen beträgt daher 8671:69069 = 13*23*(29:231) und das Verhältnis der 64 Achsenzahlen der 81 Primzahlpaare zu den 179+7 übrigen Zahlen 21528:56212 = 4*13*23*(18:47).

Die Zahlen 13 und 23 sind besonders auf Entsprechung der Radialelemente und Durchmesserelemente der DR zu den Kreisflächenverhältnissen 1:2 und 1:3 zu beziehen: (3+2)+(3+5) = 5+8 = 13; (5+4)+(5+9) = 9+14 = 23. Die Summe von 13 Radialelementen gilt für beide Radialhälften, was sich im Faktor 13² der Gesamtsumme 77740 zeigt. Die zweimal 13 Radialelemente fallen zusammen mit den 26 Elementen des Oktaeders.

Dem Produktergebnis 13*23 = 299, aufgeteilt in 29+9, entspricht die Numerierungssumme von 1-5 vom Mittelpunkt der DR an zum Rand von 9 Durchmesserelementen:

Aufgeteilt in 2*(9+9) oder 29+9 ist 299 auf ein DR-Kreuz beziehbar, aus dem sich ein Oktaeder zusammenfügen läßt: Der DR-Rahmen besteht aus zwei Durchmesserlinien von je 9 Elementen, der Rahmen eines DR-Kreuzes aus 29 Elementen; die einzelne 9 kann als Ausgangszahl von 9 Durchmesserelementen interpretiert werden.

14.       Die 33 Achsenzahlen der Zahlen 1-81 lassen sich auf einem einfachen Achsenkreuz von der niedrigsten zur höchsten in Vierer-Einheiten rundum anordnen. Dabei gibt es Additionsergebnisse für die Zahlen auf Punkten und auf Linien. Das unnumerierte Grundmodell hat folgende Gestalt:

Die Rundumnumerierung ist im folgenden in vier Tabellenzeilen dargestellt. Die 1 des Mittelpunktes ist dabei zunächst nicht berücksichtigt:

2

6

11

19

28

40

53

69

228

2

5

11

19

11

11

53

26

138

4

8

15

23

34

46

61

77

268

4

6

8

23

19

25

61

18

164

3

7

13

21

31

43

57

73

248

3

7

13

10

31

43

22

73

202

5

9

17

25

37

49

65

81

288

5

6

17

10

37

14

18

12

119

 

30

 

88

 

178

 

300

596

 

24

 

62

 

93

 

129

308

14

 

56

 

130

 

236

 

436

14

 

49

 

98

 

154

 

315

1032 = 2*12*43 = 2*516

1032

308:315 = 7*(44:45)

623

216:300 = 12*(18:25); 192:324 = 12*(16:27)

 

147:168 = 21*(7:8)

408:624 = 24*(17:26)

 

376+1:247 = 13*(29:19); 233+1:390 = 78*(3:5)

Die Zahlen sind jeweils von innen nach außen angeordnet: Horizontalachse links, rechts, Vertikalachse oben, unten.

Die Summen der Punktezahlen und Linienzahlen stehen jeweils in der oberen und unteren Tabellenzeile. Die ZS und FS befinden sich in der linken und rechten Hälfte der Tabelle.

Jeweils zwei ZS der Punkte und Linien lassen sich zweimal zur halben Gesamtsumme 516 zusammensetzen.

Für die FS der Punkte und Linien sind – ohne Mittelpunkt-1 – Teilbarkeit durch 7 kennzeichnend. Die vier Liniensummen sind jeweils einzeln durch 7 und in zwei konzentrischen Paaren durch 21 teilbar. Unter Hinzufügung der Mittelpunkt-1 sind zwei oder mehr Verhältnisse mit Teilbarkeit durch 13 möglich.

Die Gesamt-ZS+FS beträgt 1033+624 = 1657, eine Primzahl. Die Einzelziffern 1+6 und 5+7 sind zweimal auf die Punkte der DR zu beziehen, sie geben 3+4 oder 4+4 Kreisflächeneinheiten der beiden Tetraktyskreise wieder.

15.       Das erstellte Achsenkreuz läßt sich um 32 Primzahlpaare erweitern. Die Abfolge von Linien und Punkten ist dieselbe:

18

78

162

330

534

822

1170

1584

4698

42

114

240

408

666

966

1362

1800

5598

30

90

204

372

594

900

1242

1686

5118

60

126

288

462

738

1050

1452

1938

6114

 

408

 

1572

 

3738

 

7008

12726

150

 

894

 

2532

 

5226

 

8802

 

 

8736

 

 

21528

Wieviele durch 13 teilbare Verhältnisse möglich sind, kann ich nicht sagen. Eine konzentrische Paarung der Außen- und Innenglieder ergibt 12792:8736 = 312*(28:41). 5226 ist allein durch 13 teilbar, wodurch das Binnenverhältnis 5226:7566 = 78*(67:97) zustande kommt.

Die Summen der 33+32 Achsenzahlen lassen sich untereinander schreiben:

 

408

 

1572

 

3738

 

7008

150

 

894

 

2532

 

5226

 

 

24

 

62

 

93

 

129

14

 

49

 

98

 

154

 

 

432

 

1634

 

3831

 

7137

164

 

943

 

2630

 

5380

 

Drei gemeinsame Punktesummen +1 ergibt das Verhältnis 9204:12948 = 156*(59:83) = 312*71 = 22152. Weitere Verhältnisse müßten gesucht werden.

Die Gesamt-ZS+FS beträgt 22561+21152 = 44713 = 61*733 = FW 794 = 2*397. Die Einzelziffern der beiden Faktoren lassen sich auf 7 hexagonale Punkte und 13 Punkte des Hexagramms beziehen, sie geben das Kreisflächenverhältnis 1:3 wieder. Die Einzelziffern von 397 sind auf die möglichen Punktesummen 7 und 9 der DR beziehbar, die sich dreimal im Hexagramm befindet:

Die Numerierungssummen für 7 und 9 betragen 28+45 = 73. Aufgeteilt in 39+7 kann die Zahl 397 die FS der Zahlen 1-9 und der Zahl 10 bedeuten.

16.       Am Ende möchte ich noch einmal auf die Doppelreihe von zweimal 12 Primzahlen von 1-100 zurückkommen. Je eine Reihe kann auf 4*3 "Dachelementen" der DR angeordnet und in einem DR-Kreuz dargestellt werden:

Die zwei Reihen werden von unten und links in Schleifenform eingetragen. Die Summe der unteren und linken sowie der rechten und oberen weisen jeweils eine Differenz von 6 auf: 270:276 = 6*(45:46) = 546; 252:258 = 6*(42:43) = 510.

Die Zahlen von je drei Dachelementen können addiert und ihre FW ermittelt werden:

vert.

21

87

171

249

528

FW

10

32

25

86

153

hor.

33

93

159

243

528

FW

14

34

56

15

119

119:153 = 17*(7:9) = 272

272 = 17*16

Die Summen 153 und 119 stellen die ZS und FS der Zahlen 1-17 dar. Zweimal 1-17 lassen sich auf zwei Oktaederhälften beziehen, von den jede aus 17 Elementen besteht.

17.       Verschiebt man die untere und linke Raute diagonal nach rechts oben, erhält man ein Oktogon:

Die Zahlen der Reihe 1 stehen sich horizontal, die der Reihe 2 vertikal gegenüber. Von den farblich zusammgehörigen Rauten gibt es jeweils 6 äußere (a) und 6 innere (i) Zahlen. Die inneren Zahlen der grünen Rauten (282) und die äußeren Zahlen der gelben Rauten (246) ergeben die Hälfte von 1056. Dasselbe gilt parallel für die beiden anderen Zahlengruppen. An den Summenhälften sind jeweils beide Reihen beteiligt:

 

R1

R2

 

R1

R2

 

282i

249

33

264i

171

93

 

246a

87

159

264a

21

243

 

 

336

192

 

192

336

 

336:192 = 48*(7:4)

Das Summenverhältnis ist einmal 7:4 und einmal 4:7. Die beiden Umkehrverhältnisse sind auf 7 Elemente des Dreiecks zu beziehen, die durch weitere 4 Elemente zu einer Raute erweitert werden. Die DR enthält beide Verhältnisse, wenn man von einer Seite zur anderen liest:

Einander gegenüber stehende Zahlen gleicher Farbe haben dieselbe Summe. Für Reihe 2 gilt dies für zweimal drei Zahlenpaare (blau, grün), die Summen 3*112 = 336 und 3*64 = 192 haben das eben festgestellte Verhältnis 7:4.

In der Reihe 1 haben nur zweimal zwei Paare gleiche Summen: 2*110 = 220; 2*68 = 136. Hinzukommen zwei einzelne Summen 56 und 116. Fügt man diese zu den beiden anderen Summen, ergibt sich 276:252 = 12*(23:21).

Fügt man der vollen Summe 528 der Reihe 2 220 hinzu, erhält man 748 = 11*68 = 4*11*17. Durch 2*68 erhöht sich die Summe auf 884 = 4*13*17. Auf diese Weise enthalten die Ergebnisse die Elemente der drei geometrischen Figuren, die sich in der DR befinden:

Jede Figur ist zweimal in der DR zu erkennen, das sanduhrförmige Doppeldreieck, wenn die äußeren Punkte vereinigt werden, um mit einer zweiten DR einen Oktaeder zu bilden, die "Fischfigur", wenn sie vom entgegengesetzten Punkt erstellt wird. Der FW 47 der übrigen Summe 172 = 4*43 kann wieder auf die 4+7 Elemente der DR bezogen werden.

18.       Die Zahl 17 tritt in zwei ZW/FW-Verrechnungen in Erscheinung. Dazu sind die FS der zweimal 6 Paarungen zu ermitteln:

mal

3

3

sm

2

2

1

1

sm

GS

 

112

64

528

110

68

56

116

528

1056

FS

45

36

81

36

42

13

33

124

205

Die erste Verrechnung hat die beiden Teilsummen zum Ausgangspunkt:

 

 

 

sm

FW

sm

FW

FS

81

124

205

46

 

 

FW

12

35

47

47

 

 

sm

 

 

252

93

345

31

FW

 

 

17

34

51

20

252= 12*21; 17:34 = 17*(1:2)

51

Die Zahl 51 kommt durch zwei aufeinander folgende Additionen zustande. Die aus 17 Elementen bestehende "Fischfigur" ist dreimal in der Tetraktys vorhanden:

Die drei Dreiecke dieser geometrischen Figur stellen die drei göttlichen Personen dar. 17 ist weiterhin aus 9+8 zusammengesetzt, den Komplementärzahlen zu 1+2. Die beiden Komplementärsummen sind in der Multiplikation 3*17 = 51 vereint.

Die zweite Verrechnung erfolgt mit den Summen 1056 und 205:

 

ZS

FS

sm

FW

sm

FW

 

1056

205

1261

110

 

 

FW

24

46

70

14

 

 

sm

11³

1331

124

1455

105

FW

 

 

33

35

68

21

1261 = 13*97; 21:105 = 21*(1:5)

126

13 und 97 sind Komplementärzahlen wie 31 und 79, stehen im Oktogon aber nicht gegenüber. Die FW 33 und 35 sind auf zwei komplementäre Achsenkreuze AK5 beziehbar, das erste enthält 1 Mittelpunkt, das zweite 3. Auf diese Weise besteht jede der 4 Achsen durchschnittlich aus 17 Elementen:

Die Zahl 68 = 4*17 ist auf das DR-Kreuz beziehbar, da in einer DR die Fischfigur zweimal zu sehen ist. Aus 17+4 = 21 Elementen besteht die DR:

3+1 Dreiecke kennzeichnen die drei göttlichen Personen als eine Einheit.

Aus 126 = 6*21 lassen sich drei Oktaeder bilden, wenn jede der drei DR sich mit jeder zu einem DR-Kreuz verbindet. Aus 1+26 Elementen besteht ein Oktaeder, wobei 1 das Volumen bezeichnet.

19.       Besitzt die Struktur der Oktogonpaarungen einen inneren Sinn? Man könnte sie drei Achsenfiguren mit 6, 4 und 2 Maßeinheiten zuordnen. Die ersten beiden sind für das Dezimalsystem relevant, da durch Verbindung der Eckpunkte Dreiecksflächen entstehen, was bei der einfachen Kreisachse nicht möglich ist:

Die FS der 12 Paarungen sind daher in drei Gruppen zu unterteilen:

mal

3

3

sm

2

2

sm

1

1

sm

GS

 

112

64

528

110

68

356

56

116

172

1056

FS

45

36

81

36

42

78

13

33

46

205

Die ZW/FW-Verrechnung der drei FS ergibt:

 

 

 

 

sm

FW

sm

FW

FS

81

78

46

205

46

 

 

FW

12

18

25

55

16

 

 

sm

30

25

260

62

322

32

FW

 

 

 

22

33

55

16

30:25 = 5*(6:5); 22:33 = 11*(2:3)

48

Die Verrechnung enthält zweimal die Summe 55 der Zahlen 1-10, und zweimal als Verhältnisprodukt 5*11.

Die 24 Linien des Hexagramms umgrenzen 12 Dreiecksflächen. Je 3 Primzahlpaare der zweiten Reihe lassen sich den zwei hexagonalen Kreishälften zuordnen, die 6 Paare der ersten Reihe umlaufend den Dreiecken des Erweiterungsbereichs:

Die Eintragungen kann man nach zwei Hexagrammhälften und drei DR verrechnen:

2H.

o.

u.

sm

FW

sm

FS

630

426

1056

24

 

FW

20

76

96

13

 

sm

 

 

1152

37

 

96:1056 = 96*(1:11) = 96*12 = 2*24²

Die Verrechnung verstärkt durch die FW-Summe 96 die Bedeutung der Zahlen 12 und 24. Die Einzelziffern der FW 24 und 13 enthalten die Zahlen 1-4, die der Summe 37 die 3 Eckpunkte und 7 hexagonalen Punkte der Tetraktys. 2:4 Radialmaßen der beiden Tetraktyskreise entspricht das Kreisflächenverhältnis 1:3.

DR

l.

M.

r.

sm

FW

sm

FW

FS

354

348

354

1056

24

 

 

FW

64

36

64

164

45

 

 

sm

 

 

 

1220

69

1289

1289

FW

 

 

 

70

26

96

13

1302 = 42*31

1302

354:348 = 6*(59:58)

Die Einzelziffern des Produkts 42*31 wiederholen die Entsprechung zwischen Radialmaßen und Kreisflächenverhältnis:

Auch die Einzelziffern der Faktoren 59 und 58 sind auf Kreisflächeneinheiten beziehbar: 5:9 auf Durchmesserelemente, 5:8 auf Radialelemente.

 

 

Erstellt: Juni 2016

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