Die
Primzahllücken in den Zahlen 1-900
I. Überblick
II. Weitere
Ergebnisse
a) Durch 13 teilbar
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Die 9 Faktorensummen (FS) sind durch drei waagrechte und drei senkrechte Reihen zustande gekommen und daher in Quadrate gesetzt worden. Sie können jedoch auch Punkten zugeordnet werden, wodurch zwei Achsenkreuze erkennbar werden. Durch Verknüpfung von Punkten und den ihnen zugeordneten Zahlen kommen Summen zustande, deren jeweils gemeinsamer Faktor einer einzigen Zahl oder Kombination zugrunde liegt. Die Punkteverknüpfungen bilden drei regelmäßige Figuren.
a) Durch 13 teilbar
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1. Die Summe der 5 Zahlen auf dem horizontal-vertikalen Achsenkreuz sind zusammen wie die einzelne untere Zahl 1248 durch 13 teilbar: 304+436+1025+289 = 2054:1248 = 2*13*(79+48) = 2*13*127 = FW 142. Auch in der ZS 45212 der 88 Lückenzahlen ist der Faktor 127 enthalten.
2. Die drei Faktoren 2*13*127 verknüpfen Tetraktys und Doppelraute (DR): Die Einzelziffern von 127 geben die 10 Punkte der Tetraktys von außen nach innen – von den 3 Eckpunkten zu den 7 hexagonalen Punkten – wieder. Aus 13 Elementen besteht das hexagonale Doppeldreieck, aus 26 = 2*13 Elementen der Oktaeder. Die Einzelziffern von 254 = 2*127 lassen sich den 11 Elementen der Rautenfigur zuordnen, die zusammen mit dem Doppeldreieck die Bausteine des Oktaeders sind:
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3. 127 ist die FS der Zahlen 1-18. Die Zahl 18 ist aufzuteilen in 8+10 Maßeinheiten. Sie entstehen dadurch, daß die Grundzahlen 1-9 8 Maßeinheiten begrenzen und 2 weitere durch die Null hinzukommen:
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4 Rahmenlinien und 1 Querlinie charakterisieren auch die Raute (s.o.), die sich in der DR verdoppeln. Die Kennzahl hierfür ist die Primzahl 181, deren Verdoppelung 362 die FS der 9 Quadratzahlen ist:
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140 |
304 |
150 |
436 |
1025 |
289 |
558 |
1248 |
775 |
4925 |
FW |
16 |
27 |
15 |
113 |
51 |
34 |
39 |
26 |
41 |
362 |
Die Verdoppelung weist auf ein DR-Kreuz hin, aus dem ein Oktaeder gebildet werden kann. Die für den Oktaeder charakteristische Zahl 13 wegen seiner 26 Elemente erscheint auch in der ZW/FW-Verrechnung:
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ZS |
FS |
sm |
FW |
|
4925 |
362 |
5287 |
328 |
FW |
207 |
183 |
390 |
23 |
sm |
|
|
|
351 |
390 = 30*13; 351
= 27*13 |
351 ist die Summe der Zahlen 1-26.
Aus 18 Linien besteht die Tetraktys und vereinigt somit beide Aspekte von 8 und 10 Maßeinheiten.
4. Der FW 142 zeigt einige Aspekte des Dezimalsystems:
·
Die ZS und FS der Zahlen 1-10
und ihre jeweiligen FW ergeben zweimal 71: 55+16 = 71; 46+25 = 71.
Aus den Einzelziffern 7+1 bestehen die Rahmenelemente einer Raute, wobei 1 den Mittelpunkt einer Doppelraute bildet und zweimal gezählt werden kann.
· Ein
einfaches Achsenkreuz besteht aus zweimal 9
Elementen, wenn der Mittelpunkt einmal und aus 10
Elementen, wenn er zweimal gezählt wird. Durch Verbindungslinien zwischen den
äußeren vier Eckpunkten entsteht zunächst ein Rautenquadrat, das durch
Winkelverschiebung zu einem horizontal-vertikalen Quadrat wird. Numeriert man
die 5 Punkte reihum, erhält man folgende
Figuren:
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Durch Winkelverschiebung treten die Zahlen 52 und 43 nebeneinander, die 1 des Mittelpunktes wird verdoppelt, so daß die Zahlenfolge 71, 71 bzw. 17, 17 entsteht.
1. Keine der 9 Zahlen ist allein durch 29 teilbar, aber zweimal zwei und einmal drei Zahlen als Summen:
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Die 7 Zahlen rahmen U-förmig drei Seiten des Quadrats. Die zusammengehörigen Zahlen bilden folgende Summen:
140 |
304 |
150 |
290 |
10*29 |
436 |
1025 |
289 |
725 |
25*29 |
558 |
1248 |
775 |
2581 |
89*29 |
|
|
|
3596 |
124*29 |
3596 = 4*29*31 |
Einzeln durch 31 teilbar sind 558 = 18*31 und 775 = 25*31, zusammen 43*31. Von 116*31 bleiben somit übrig 73*31.
2. Die 7 Rahmenzahlen spiegeln eine Tetraktysseite wider:
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Die auf den drei Maßeinheiten liegenden Zahlen 436+1248+289 ergeben die Primzahl 1973. Die Komplementärzahlen 1+9 = 10 und 7+3 = 10 lassen sich auf die jeweils 10 Punkte von zwei Tetraktys beziehen, wodurch die Wechselbeziehung zwischen Punkten und Maßeinheiten erkennbar wird.
3. Die 7 Zahlen lassen sich auch auf der DR anordnen. Die übrigen 2 Zahlen sind gewissermaßen als Inhalt auf den zwei Querlinien unterzubringen:
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Die ersten beiden Horizontalreihen des Quadrats sind auf den Rautenmitten, die dritte Reihe auf den Vertikalpunkten angeordnet. Das Verhältnis der unteren drei zu den oberen vier Zahlen beträgt 2525:2400 = 25*(101:96), das der Mittelpunktszahl zu den drei oberen Zahlen 1248:1152 = 96*(13:12).
4. Die Addition der äußeren beiden Punkten beträgt 31*43 = 1333. Die Einzelziffern des Ergebnisses zeigen die Struktur des Dezimalsystems, das bei einem Nullpunkt beginnt und sich in 3*3 Einheiten fortsetzt. Tatsächlich stellt das Produkt 31*43 in seiner Addition die Numerierungssumme von 10 Maßeinheiten und 12 Punkten dar:
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Die 10 Maßeinheiten sind in den beiden Achsenkreuzen verwirklicht. Die Numerierungssumme des hexagonalen Achsenkreuzes beträgt 49, die des einfachen Achsenkreuzes 25. Die vierstellige Zusammensetzung zu 4925 ist die FS der 9 Quadratzahlen.
Die Zusammenlegung von unnumerierter und numerierter Zählweise ergibt:
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2 Achsen |
|
3 Achsen |
|
|
||
|
un. |
nu. |
sm |
un. |
nu. |
sm |
GS |
Pu. |
5 |
15 |
20 |
7 |
28 |
35 |
55 |
Li. |
4 |
10 |
14 |
6 |
21 |
27 |
41 |
|
9 |
25 |
34 |
13 |
49 |
62 |
96 |
Und in anderer Gruppierung:
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numer. |
|
unnum. |
|
|
||
|
3 A. |
2 A. |
sm |
3 A. |
2 A. |
sm |
GS |
Pu. |
28 |
15 |
43 |
7 |
5 |
12 |
55 |
Li. |
21 |
10 |
31 |
6 |
4 |
10 |
41 |
|
49 |
25 |
74 |
13 |
9 |
22 |
96 |
Von Bedeutung sind die Primzahlen 31 und 41. Die FS 775 enthält durch das Produkt 25*31 und dem FW 41 beide Zahlen.
5. Die Zahl 96 = 4*24 ist eine besondere Kennzahl für den Oktaeder. An der Außenfläche kann man in vertikaler Betrachtung eine umlaufende Doppelraute erkennen und daneben, von der Mittelbasis aus über das obere und untere Eck hinweg zurück zwei Doppeldreiecke. Auf diese Weise zählt man 2*(11+13) = 48 Elemente. Diese kann man verdoppeln, wenn jede der beiden geometrischen Figuren den ganzen Oktaeder beschreiben:
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Aus 9
hexagonalen und 6
Erweiterungselementen besteht auch der DR-Rahmen. Diese Aufteilung gibt das Kreisflächenverhältnis 1:2 wieder.
Die Teilungszahl 96 erscheint in der FS 1248 und in der Summe der 169 Primzahlen von 1-1000: 1248 = 96*13; 76128
= 96*13*61.
6. Die drei durch 29 teilbaren Summen ergaben das Produkt 4*29*31. Der Faktor 31 selbst ist in den Zahlen 558 und 775 enthalten. Die enge Beziehung der beiden Faktoren ist in den Rahmenelementen des DR-Kreuzes zu finden. Diese betragen 29 Elemente bei einem Mittelpunkt und komplementär 31 bei drei Mittelpunkten. Durch die Komplementarität bleibt die Zahl von 15 Elementen je DR gewahrt.
Das Pendant zu den Rahmenelementen bildet die Gesamtheit von 21 Elementen je DR. Die beiden komplementären Summen sind 41 und 43. 31*43 ist die Summe der 7 U-Zahlen, 41 ist in der FS 1025 enthalten. Komplementär ergeben 29+43 und 31+41 jeweils die Summe 72.
1. Einzeln durch 25 teilbar sind drei Zahlen, die ein Dreieck bilden:
150 |
775 |
1025 |
1950 |
6*25 |
31*25 |
41*25 |
78*25 |
Zwei weitere Zahlen sind in ihrer Summe durch 25 teilbar: 436+287 = 725 = 29*25. Zusammen ergibt sich 107*25. Dreht man das Quadrat um 90° nach links, erhält man die Form eines T:
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Es zeigt sich auf dreierlei Weise ein Bezug zu den 7 hexagonalen und 10 Tetrakyspunkten:
· Die
FS der drei
durch 25 teilbaren Zahlen ist 107:
150 |
1025 |
775 |
1950 |
15 |
51 |
41 |
107 |
·
Die Summe der 5
Zahlen ist 25*107.
·
Die Differenz
zur restlichen Summe 25*90 ist 17.
2. Die 5 Zahlen des T können als Punkte auf einem einfachen Achsenkreuz angeordnet werden. Tatsächlich weisen die Quersummen 33+32 der 3+2 Zahlen auf ein entsprechendes Achsenkreuz (AK9) hin:
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Es lohnt sich, die Quersummen der 9 Zahlen zu ermitteln:
150 1025 775 |
289 436 |
304 1248 |
140 558 |
|
33 |
32 |
22 |
23 |
110 |
65 |
45 |
|
||
65:45 = 5*(13:9) |
Die Summen können so kombiniert werden, daß zweimal 55 zustande kommt: 33+22 und 32+23. Als Summe der Zahlen 1-10 stellen zweimal 55 die numerierten Punkte von zwei Tetraktys dar.
Das Verhältnis 13:9 weist auf die 10 Maßeinheiten hin, die durch 12 Punkte begrenzt werden:
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3. Sinnvoller erscheint es, die 5 Zahlen als hexagonale Elemente und die übrigen 4 als Erweiterungselemente des Tetraktyssterns zu verstehen:
P |
L |
P |
L |
P |
L |
P |
L |
P |
140 |
304 |
150 |
289 |
1025 |
436 |
750 |
1248 |
558 |
Das Verhältnis der hexagonalen Summe zur Gesamtsumme ist 107*25 : 197*25 = FW 117:207 = 9*(13:23) = FW 19+29 = 48. Die Zahlen 13 und 23 beziehen sich auf Radialelemente und Durchmesserelemente der DR und geben jeweils 7 Flächeneinheiten wieder. Das FS-Verhältnis von zweimal 9 zu 13+23 ist 12:36 = 12*(1:3). Die Einzelziffern der FW 19 und 29 bedeuten 10 Punkte auf dem Kreis und 11 Punkte auf der Gerade.
4. Die Zahlensummen der drei Figuren ergeben 245*13 + 4*29*31 + 107*25 = 9573 = 3*3191 > FW 3194.
Erstellt: Sptember 2015