s.a. Zyklische Zahlen

Zwei Primzahlmuster

 

Primzahlmuster: Grundmuster von je drei Zehnereinheiten

Primzahlmuster 1

a) Grundlegung

b) Deutung der Zahlen 1-30

c) Reduktionen

d) Die Primzahlen 2 3 5

Primzahlmuster 2

Einleitung

Die Zahlen des Dezimalsystems sind einem lebendigen Organismus vergleichbar, der durchzogen wird von Strukturprinzipien und Bauelementen. Dazu gehören auch die beiden zu untersuchenden Primzahlmuster.

Ist 1 eine Primzahl? Es herrscht in der Mathematik die Übereinkunft, die Zahl 1 nicht zu den Primzahlen zu rechnen, da sonst bei weiteren Definitionen stets auf die Zahl 1 als Ausnahme verwiesen werden müßte. Eine Übersicht über das Problem ist bei Wikipedia zu finden. Es sind somit nicht prinzipielle, sondern praktische Gründe, die Zahl 1 von den Primzahlen auszuschließen. Prinzipiell gilt also: Die Zahl 1 ist eine Primzahl. Wie sollte man auf die Zahl 1 verzichten, aus der alle anderen Zahlen hervorgehen? Ohne den Baustein der Primzahl 1 würde das Ordnungsgebäude der Primzahlen nur unvollständig erkannt werden. Nur so tritt z.B. das den drei Musterreihen analoge Verhältnis von 15:30:15 Primzahlen der ersten 300-er Einheit in Erscheinung (mehr dazu unter PZ 1-900).

Siehe auch: Warum 1 eine Primzahl ist.

Erstes Primzahlmuster

a) Grundlegung

1.       Primzahlen sind immer ungerade. Laut Definition sind sie nur durch sich selbst und durch 1 teilbar. Alle anderen Zahlen sind aus zwei oder mehr Faktoren zusammengesetzt. Zur Bestimmung von Primzahlen fallen also alle geraden und somit durch 2 teilbaren Zahlen außer der Zahl 2 selbst weg.

Die Zahl 5 ist die Hälfte des dezimalen Zyklus von je 10 Zahlen und ist als Endziffer stets durch sich selbst teilbar. Als Positionen für Primzahlen kommen also die Endziffern 1 3 7 9 in Frage.

Bildet man mit der Zahl 3 eine Multiplikationsreihe von 1-9, werden 4 ungerade Endziffern besetzt:

Reihe 1

1

1*3

7

3*3

Reihe 2

1

3

7

9

Reihe 3

7*3

3

9*3

9

Die Multiplikationen fallen in je zwei ungerade Ziffern der ersten und der dritten Dekade, während die zweite Dekade unverändert 4 mögliche Primzahlpositionen aufweist.

Jede der 4 ungeraden Ziffern ist nun zweimal vertreten, ihre Summe ist 2*20 = 40. Von den ersten 30 Zahlen kommen also nicht mehr als 8 Zahlen als Primzahlen in Frage. Das Verhältnis der 4 Endziffern in den 3 Reihen ist 2:4:2 = 2*(1:2:1).

Reihe 1

1

–

7

–

Reihe 2

11

13

17

19

Reihe 3

–

23

–

29

Die Tabelle zeigt 4 komplementär einander zugeordnete Paare, z.B. 1+29, deren Addition jeweils 30, zusammen 120 ergibt.

Wenn alle PZ-Positionen mit Primzahlen besetzt sind, gilt für jede 30-er Einheit die mittlere Zehnerzahl mal 8 + 40, z.B. zwischen 31 und 59: 8*40 = 320+40 = 360. Da PZ-Position 49 ausfällt, ist die PZ-Summe 311. Jede neue 30-Einheit nimmt um 240 zu, also 360+240 = 600 zwischen 61 und 89, es fällt 77 heraus, die PZ-Summe ist 523. Für die ersten 100 Zahlen ergibt sich somit nach 30-er Einheiten die Addition 120+311+523+97 = 1051, mit 2+3+5 1061. Beide Summenzahlen sind prim.

2.       Dieses grundlegende Primzahlmuster kommt dadurch zustande, daß die Zahlen 2, 3 und 5 "ausgesiebt" werden, wobei 5 bereits eine Addition von 2+3 ist. Gemeinsam ist ihnen, daß ihre mindestens einmalige Verdoppelung innerhalb der ersten Zehnereinheit erfolgt. Die bei der Aussiebung herausfallenden Summen von der Gesamtsumme 55 sind 2+4+6+8+10 = 30, 3+9 = 12 und 5, zusammen 47, es bleiben 1 und 7 übrig. Läßt man die drei Ausgangszahlen 2+3+5 = 10 weg, ist die Addition 28+9+0 = 37. Dieses Ergebnis ist zweifach auf die Tetraktys beziehbar:

·     Die 37 Elemente der Tetraktys teilen sich auf in 10 Punkte + 18 Linien und 9 Dreiecke.

·     Bei Numerierung der 10 Punkte befinden sich 1+7+(2+3+5) auf den erweiterten 3 Eckpunkten und die übrige Summe 37 auf den 7 hexagonalen Punkten:

Die Zahl 10 ist also gewissermaßen die Wiederholung und Zusammenfassung der Primzahlen 2+3+5. Es zeigt sich, daß neben 2, 3 und 5 auch die anderen Zahlen durch 2 und 3 dargestellt werden können: 4+6 = 2*(2+3), 8 = 2³, 9 = 3², 1+7 = 8 = 2³; 27+8 = 3³+2³. Fügt man die hexagonalen 2+3+5 zu der Eckpunktsumme 18 hinzu, ergibt sich die Summe der Zahlen 1-7 = 28 und die Summe 8+9+(4+6) für die restlichen 3 Zähler.

3.       Lücken im PZ-Muster treten dort auf, wo eine PZ-Position durch ein Produkt aus zwei oder mehr Primzahlen eingenommen wird. Die folgende Tabelle zeigt, wie eine Primzahl nach der anderen, beginnend von ihrem eigenen Quadrat, Produkte mit fortlaufend höheren Primzahlen bildet, z.B. 7*11 und damit eine PZ-Position unbesetzt bleibt. Die oberste Reihe der folgenden Tabelle enthält 14 Nicht-Primzahlen auf PZ-Positionen:

49

77

91

119

121

133

143

161

169

187

203

209

217

221

7

7

7

7

 

7

 

7

 

 

7

 

7

 

7

11

13

17

 

19

 

23

 

 

29

 

31

 

 

 

 

 

11

 

11

 

 

11

 

11

 

 

 

 

 

 

11

 

13

 

 

17

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

17

Das Muster aus 3 Zehnereinheiten beginnt von neuem nach 10*3 Einheiten. Es endet mit der Zahl 300 und beginnt von neuem mit der Zahl 301. Siehe dazu Die Primzahlen von 1-1000 mit Anordnung der Primzahlen in 30-er Einheiten.

4.       Zwischem dem Ende und Anfang zweier 30-er Einheiten liegen zwei aufeinander folgenden PZ-Positionen, denen eine Verbindungsfunktion zugewiesen werden kann. Wird eine der beiden oder beide Positionen nicht durch Primzahlen besetzt, wird eine Kette von 30-er Einheiten unterbrochen. Dies geschieht z.B. durch die Zahlen 91 und 119/121. Den 3:1 30-er Einheiten (1-90, 91-120) gehören 22+6 Primzahlen an, deren Summen 945 und 630 das Verhältnis 18*(53:35) haben.

Die 30-Einheiten bilden also zwei Gruppen von verbundenen und unverbundenen Einheiten. Letztere nehmen stetig zu. Zwischen 1 und 990 gibt es 11 Primzahlzwillinge mit Verbindungsfunktion:

29

59

149

179

239

269

419

569

599

659

809

3979

31

61

151

181

241

271

421

571

601

661

811

4001

7980 = 19*20*21 = 210*38

7980

Die Primzahlen 991 und 997 werden an die PZ-Zwillinge 1019 und 1021 angebunden. Die Summe der 164 Primzahlen (ohne 2 3 5) beträgt 74130 = 210*353.

Fügt man zur Gesamtsumme die Primzahlen 2+3+5 hinzu, enthält das Produkt 10*29*31 die beiden Primzahlen, die die ersten zwei 30-er Einheiten verbinden.

Das Verhältnis der 11 Primzahlzwillinge zu den insgesamt 33 30-er Einheiten ist 11*(1:2).

Das Verhältnis der verbundenen zu den unverbundenen Primzahlen ist 100:64 = 4*(25:16).

5.       Jede 300-er Einheit enthält 80 Primzahlpositionen in der Hunderterfolge 26+28+26. Für die Zahlen 1-1000 ergeben sich daher 3*80+26 = 266 PZ-Positionen. Davon sind 166 Primzahlen und 100 Primzahllücken, 10 je Hundert. Alle Lückenzahlen bestehen aus Produkten von Primzahlen. Die unterste Primzahl 7 und sieben weitere wandern durch die aufsteigende Reihe der Primzahlen bis zu dem Produkt, das als letztes unter 1000 liegt. Die letzte Primzahl 31 kann nur noch das Quadrat mit sich selbst bilden:

7

11

13

17

19

23

29

31

150

139

89

73

53

47

43

31

31

506

31

20

16

10

8

6

2

1

94

506 = 11*46

Die zweite Reihe zeigt die jeweils höchste Primzahl, die unterhalb 1000 ein Produkt mit der Primzahl der ersten Reihe bilden kann. Die dritte Reihe zeigt die Zahl der Primzahlen zwischen der Zahl der ersten und zweiten Reihe.

6 Produkte bestehen aus drei Primzahlen:

343

539

637

833

847

931

4130

7*7*7

7*7*11

7*7*13

7*7*17

7*11*11

7*7*19

166

Die Zahl 7 bildet also 31+6 = 37 Produkte. Die Einzelziffern geben ein Verteilungsmuster der 10 Tetraktyspunkte wieder:

4:6 Punkten entspricht das Kreisflächenverhältnis 3:1. 4:6 beträgt auch das Verhältnis der inneren vier zu den äußeren vier Primzahlmengen: (26+14):(57+3).

Weitere Details finden sich im Kapitel Die Zahlen 1-1000.

6.       Seit der Veröffentlichung dieses Beitrags sind neun Jahre vergangen. Mittlerweile scheint eine früher verbreitete irrationale Haltung zu den Primzahlen im Schwinden begriffen zu sein. Die Abfolge der Primzahlen wird nun auch von den Primzahllücken her wahrgenommen, die gemäß einem klar definierten Primzahlmuster entstehen. Computerdarstellungen sind dabei eine große Hilfe.Tatsächlich scheint früher kaum jemand über das "Sieb des Eratosthenes" hinaus gedacht zu haben. Denn dieses Sieb setzt sich endlos fort. Man müßte also von einem "Sieb des Eratosthenes plus" sprechen.

b) Deutung der Zahlen 1-30

1.       Das ermittelte Primzahlmuster wiederholt sich nach jeweils 30 Zahlen. Es läßt klar erkennen, wieviele Primzahlen und an welcher Stelle in einer Zehnerreihe maximal zu erwarten sind.

Das vorliegende Primzahlmuster schafft einige rationale Klarheit. Die Frage stellt sich jedoch, handelt es sich um eine Abstraktion menschlichen Denkens, oder kommt ihm wesentliche, d.h. letztlich ontologische Bedeutung zu? Um diese Frage zu klären, ist die Einbeziehung von Faktorenwerten (FW) unerläßlich.

2.       Eine wesentliche Bedeutung der Zahlen 1-30 besteht darin, daß 10 Maßeinheiten (Linien) von je 2 Punkten begrenzt werden, wie dies durch zwei Radien eines Kreises vorgebildet ist. Als geometrische Modelle sind die 2 Achsen des Achsenkreuzes und 3 Achsen des Hexagons anzusehen:

Eine Achse besteht aus 2+3 = 5 Elementen, zwei Radien aus 3+3 = 6 Elementen. Dies drückt sich sinnfällig in der Zahlensumme (ZS) + Faktorensumme (FS) der Zahlen 1-30 aus: 465+294 = 759 = 23*33.

Die FW der 30 Zahlen sind:

 

 

1

 

 

2

 

 

3

 

 

4

 

 

5

 

 

6

 

 

7

 

 

8

 

 

9

 

 

10

 

sm

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

465

P

1

 

3

4

 

5

7

 

6

7

 

7

13

 

8

8

 

8

19

 

10

13

 

9

10

 

9

11

 

10

168

L

 

2

 

 

5

 

 

6

 

 

11

 

 

9

 

 

17

 

 

9

 

 

23

 

 

15

 

 

29

 

126

126:168 = 42*(3:4)

294

Die Zuordnung von je zwei Punkten zu einer Maßeinheit wird durch das FaktorenSummen-Verhältnis 3:4 bestätigt.

Je drei FW für eine Maßeinheit ergeben folgende FS:

1

2

3

4

5

6

7

 

8

 

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

6

14

19

25

30

33

38

45

34

50

Die Mitte der Skala bilden die Maßeinheiten 5 und 6 mit den FS 30+33 = 3*(10+11) = 63. Sie sind konzentrisch umgeben von 4 und 7 mit derselben FS 63 (25+38), so daß die FS 126 dieser 4 Maßeinheiten zur restlichen FS 168 von 6 Maßeinheiten das Verhältnis 42*(3:4) ergibt.

3.       Die ZS+FS der Zahlen 1-30 ist 465+294 = 759 = 3*(11*23). Die Zahl 3 bezieht sich auf drei Achsen des Hexagon und der Doppelzählung von numerierten und unnumerierten Radial- und Durchmesserelementen:

c) Reduktionen

1.       Die Existenz eines unveränderlichen Primzahlmusters hilft, die ins Endlose wachsenden Zahlen immer wieder auf grundlegende Zahlenverhältnisse zu reduzieren – sofern logisch stimmige Zahleneinheiten gewählt werden. Die Ausgangsverhältnisse sind stets die beiden Kreisflächenverhältnisse 1:2 und 1:3 bzw. deren Umkehrungen.

2.       Das Ausgangsverhältnis des Primzahlmusters ist 8 PZ-Positionen zu 22 übrigen Zahlen, also das Verhältnis 8:22 bzw. 22:8.

Der FW von 22 ist 2*11 = 13. Die Einzelziffern von 2*11 kennzeichnen bereits das Kreisflächenverhältnis (2+1):1 = 3:1:

Die Bedeutung ändert sich, wenn man die Einzelziffern der Zahl 22 hinzunimmt: Die Zahl 3 und einmal 2 beziehen sich nun auf die Radialelemente, die die Flächeneinheiten 1 und 2 wiedergeben:

Ein weiterer Aspekt kommt durch die Addition 22+13 = 35 hinzu. Die Einzelziffern bezeichnen nun 3 und 5 Radialelemente des hexagonalen inneren Kreises und des ganzen äußeren Kreises in der Bedeutung von 1:3 Flächeneinheiten. Dieselbe Bedeutung haben auch die Faktoren 5*7 der Zahl 35. Bezugspunkt sind die 7 Punkte der Doppelraute: 5 Punkte gehören dem hexagonalen, 2 dem Erweiterungsbereich zu:

Die Rahmenelemente ermöglichen die Reduktion von 8+22 auf die Einzelziffern 8+(2+2), auf 8 Linien und 2+2 Querpunkte; die 9 vertikalen Elemente sind dabei nicht berücksichtigt.

Der FW von 8 ist 6, das FW:ZW-Verhältnis 2*(3:4). Das interne Differenzverhältnis der Verhältniszahlen ist 3:1.

3.       Weitere Auskunft gewinnen wir durch die Hinzufügung der FW:

ZW

FW

sm

FW

22

13

35

12

8

6

14

9

30

19

49

21

49:21 = 7*(7:3)

Die Summe 35+14 = 49 ergibt die Zahl der Elemente des Tetraktyssterns. Das entsprechende Verhältnis 7*(5:2) kann auf je 7 Punkte eines DR-Kreuzes bezogen werden, das zu einem Oktaeder zusammengefügt werden kann. Das Verhältnis 7*(7:3) bezieht sich auf die 7 Punkte des Hexagons und 7+3 Punkte der Tetraktys und gibt das Kreisflächenverhältnis 1:3 der beiden Tetraktyskreise wieder.

4.       Sofern die logischen Ordnungsstrukturen des Dezimalsystems eingehalten werden, führen Zahlenergebnisse auf ihr Zentrum zurück, d.h. zu Zahlen, die nicht mehr als etwa vier Stellen umfassen und somit interpretierbar sind. Dies gilt für endlos hohe Zahlen. Möglich sind Reduktionen durch Zahlenverhältnisse. Das Grundverhältnis besteht in der Dualität von Zahlensummen (ZS) und Faktorensummen (FS). Die Reduktion geschieht durch die Verrechnung von ZS und FS.

5.       In der Betrachtung der Zahlen von 1-1000 liegen drei ZS und drei FS vor. Es handelt sich um die ZS und FS von 169 Primzahlen, 100 Zahlen auf Primzahlpositionen und 731 übrigen Zahlen. Sie können in verschiedener Weise einander zugeordnet werden. Hier sollen ihre Faktorenwerte (FW) ermittelt werden:

 

ZS

sm

FS

sm

GS

 

169

100

731

 

169

100

731

 

 

 

76128

56550

367822

500500

76128

6012

60568

142708

643208

FW

87

57

112

256

87

177

186

450

706

706 = 2*353 = FW 355

Durch die Ermittlung der FW wird die Gesamtsumme 643208 auf 706 reduziert. Die Einzelziffern der Primzahl 353 kann zweifach interpretiert werden:

·     Als 5 Durchmesser- und 3+3 Radialelemente der Kreisachse:

·     Als Kontraktion von 3+5/5+3 beziehen sie sich auf die bereits oben erwähnten Radialelemente des Doppelkreises des Tetraktyssterns in der Bedeutung von 1:3/3:1 Flächeneinheiten:

6.       Die Faktoren der Gesamt-FS 142708 sind 2²*35677 = FW 35681, die Faktoren der Gesamt-ZS 500500 sind 2²*5³*7*11*13 = FW 50. Die Primzahl 35677 ist zwar interpretierbar als 356 und 677, aber eben doch 5-stellig. Ihre Reduktion gelingt erst durch die ZW/FW-Verrechnung:

 

ZS

FS

sm

FW

 

500500

142708

643208

137

FW

50

35681

35731

35731

sm

 

 

 

35868

643208 = 2³*37*41*53 > 137

35868 = 21*28*61 = FW 10+11+61 = 82

Ebenfalls auf 137 reduzieren sich die zwei 9-stelligen Kaprekar-Konstanten: 554999445 = 34* 5* 7* 11* 13* 37* 37 > 122 und 864197532 = 2²*3³* 11* 181* 4019 > 4224:

 

 

 

sm

FW

Zahl

554999445

864197532

1419196977

4778461

FW

122

4224

4346

96

sm

 

 

 

4778557

4346 = 2*41*53; 4778557 = 7* 19²* 31* 61 >137

Die Primzahl 137 ist insbesondere als 13:7 zu lesen: Der Tetraktysstern besteht aus 13 Punkten, das darin enthaltene Hexagon aus 7. Schlägt man um das Hexagramm einen Kreis so geben 13:7 Punkte das Kreisflächenverhältnis 3:1 wieder.

7.       Die Dreiteilung der Zahlen in Primzahlen, Zahlen auf Primzahlpositionen (Lückenzahlen) und übrige Zahlen sowie die Ermittlung ihrer Faktorenwerte ermöglicht eine Verfolgung ihrer allmählichen Verschiebung: Die FS der übrigen Zahlen wird die FS der ersten beiden Gruppen aufgrund stetiger Abnahme der Primzahlen irgendwann einholen. Dasselbe gilt für die Lückenzahlen gegenüber den Primzahlen sowohl hinsichtlich der ZS als auch der FS.

 

 

Erstellt: Februar 2006

Überarbeitet: Oktober 2010, August 2015

 

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