64 Zweistellige Komplementärzahlen

I. 16 Komplementärsummen

a) Überblick

b) 16 FS im Quadratrahmen und in Kreisandordnung

c) 32 FW aus 32 FS

II./III. Die Komplementärsumme 273

IV. Ordnung der Komplementärzahlen nach Primzahlen

V. 64 Komplementärzahlen in drei konzentrischen Quadraten

a) Überblick

1.      Unter zweistelligen Komplementärzahlen sind Zahlenpaare zu verstehen, deren Zehner- und Einerstellen sich jeweils zu 10 ergänzen, z.B. 12 98 und 21 89. Unter ihnen befinden sich 4 Zahlen und ihre Umkehrungen, die in sich komplementär sind: 19, 28, 37, 46. Sie werden hier nicht berücksichtigt. Ihre Faktorensumme (FS) ist 240.

2.      Zu den komplementären Paaren treten noch ihre Umkehrungen hinzu, sodaß es 16*4 Komplementärzahlen gibt. Die Summe von je vier Zahlen ist 20*11 = 220. Die Gesamtsumme beträgt demnach 320*11 = 3520. Die Zahlensummen werden in diese Untersuchung nicht einbezogen. Hier soll in erster Linie gezeigt werden, welchen Beitrag die 16 Faktorensummen zum Sinngefüge des Zahlensystems leisten.

Die FS der 64 Komplementärzahlen beträgt 1750 = 250*7, die Zahlensumme + Faktorensumme 3520+1750 = 5270 = 10*17*31.

3.      In der folgenden Tabelle wird nur jeweils ein Komplementärpaar angezeigt, es werden aber auch die Faktorenwerte (FW) der Umkehrungen berechnet, z.B. 12>7, 21>10. Die jeweiligen Summen stehen in den vorletzten zwei Spalten (die vollständigen Tabellen s. unten):

Zahl

12

13

14

15

16

17

18

23

24

25

26

27

34

35

36

45

380

830

1210

FW

17

44

50

28

69

88

20

33

21

27

48

21

62

65

23

22

188

450

638

Zahl

98

97

96

95

94

93

92

87

86

85

84

83

76

75

74

65

1380

930

2310

FW

105

176

39

83

63

50

56

50

66

53

25

104

90

35

86

31

549

563

1112

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2497

2773

5270

 

SM

122

220

89

111

132

138

76

83

87

80

73

125

152

100

109

53

1750

 

Die ZS 1210 und 2310 der komplementären Umkehrzahlen haben das Verhältnis 110*(11:21). 23 und 24 bilden die konzentrische Mitte der 16 Zahlen.

4.      Bei konzentrischer Zuordnung sind die ersten drei Paare jeweils durch 7 teilbar:

122

53

175

25*7

220

109

329

47*7

89

100

189

27*7

431

262

693

99*7

25+47 = 72+27 = 99

72 und 27 bilden eine Umkehrung. Das FS:ZS-Verhältnis beträgt 693:1320 = 33*(21:40) = 33*61 = 2013. Als Produkt 63*11 bezieht sich 693 auf drei Doppelrauten (DR), von denen jede aus 21 Elementen besteht. Eine Raute besteht aus 11 Elementen.

Die Summe 175 des ersten konzentrischen Paares stellt ein Zehntel der Gesamt-FS 1750 dar.

Zwei weitere durch 7 teilbare Summen kommen nur zustande durch Hinzunahme einer dritten Summe zu einem konzentrischen Zahlenpaar, wobei die Zusatzzahlen ebenfalls konzentrisch zueinander stehen:

111

132

138

76

83

87

80

73

125

152

Die Summe der beiden Dreiergruppen beträgt jeweils 322 = 14*23. Bereits aus den Einzelziffern der Zahl 322 geht die Bedeutung des Produktes hervor. Aus 3+2+2 Elementen besteht eine Tetraktysseite und aus 37 Elementen eine Tetraktys. Teilt man 322 in zweimal 32 auf, lassen sich die Einzelziffern auf die Radialelemente der zwei konzentrischen Tetraktyskreise beziehen:

Da eine Doppelraute aus zwei gekreuzten Durchmesserlinien besteht, erscheint eine Doppelung der Zahl 322 sinnvoll. Die 5 Radialelemente können auch durch 1+4 dargestellt werden.

Zwei konzentrische Positionen einer Reihe von 1-16 Zahlen ergänzen sich stets zur Summe 17. Die Positionssummen der zweimal sechs Zahlen betragen 51+51 = 102. Die beiden gleichen Summen sind auf zwei Tetraktys zu beziehbar, von denen jede drei fischförmige Figuren aus 17 Elementen enthält:

Die Zahl 102 ist auch die FS der Zahlen 1-16. Die Differenz 34 zur ZS 136 wird durch die restlichen 4 konzentrischen Zahlen wiedergegeben.

5.      Die Konzentrik von innen ist der eigentliche Ausgangspunkt, die Konzentrik von außen die Umkehrung. Man kann dies an den Umkehrzahlen 125 und 152 ablesen.

Das zweite konzentrische Paar von innen ist 76+80 = 156, dessen Produkt 12*13 in den Einzelziffern die zwei Kreisflächenverhältnisse 1:2 und 1:3 der beiden konzentrischen Tetraktyskreise wiedergibt. Die beiden Flächenverhältnisse werden durch die nächsten beiden konzentrischen Zahlenpaare bestätigt:

111

132

138

76

83

87

80

73

125

152

Beide Zahlenpaare zusammen ergeben 468, die dreifache Summe von 156 bei einem Paarverhältnis von 2:1. Nur beide Paare zusammen ermöglichen Teilbarkeit durch 13, entsprechend den zwei Flächeneinheiten des äußeren Kreisrings:

Die Flächeneinheiten vorstehender Grafik liest sich von unten nach oben dreistellig 211. Das ist auch die Summe des fünften Zahlenpaare 138+73.

Thematisch bemerkenswert ist die Summe der niedrigsten und höchsten FS 53+220 = 273 = 21*13. Aus 21 Elementen besteht die DR und aus 13 der hexagonale Bereich. 21 und 13 geben daher das Kreisfächenverhältnis 3:1 wieder. Unter der Annahme, daß 53+220 konzentrisch ab der Zahl 1 zu verstehen ist, geht es um die Summe 1-272, die sich aus dem Produkt 137*136 errechnet. 272 ist sowohl aus den angrenzenden Produktzahlen 16*17 als auch als FS 119 + ZS 153 = 17*(7:9) der Zahlen 1-17 zu verstehen. Die thematische Bedeutung der Zahl 17 zeigt sich in den mittleren beiden FS 83+87 = 170.

Die beiden Kreisflächenverhältnisse werden weiterhin bestätigt durch die Summe 1213 der fünf äußeren Zahlenpaare, die die zweimal 5 Radialelemente des Tetraktyssterns repräsentieren:

122

220

89

111

132

138

76

83

87

80

73

125

152

100

109

53

674

 

 

 

 

 

 

539

Die Summe der zwei inneren konzentrischen Paare ist 326. Die Zahl 326 ist vornehmlich zu verstehen als 3*26 mit Verweis auf drei Oktaeder, die aus drei DR-Kreuzen hervorgehen. Die Umkehrung 263 ist die Summe des vierten konzentrischen Zahlenpaares von innen und fünften von außen: 111+152 = 263.

6.      Auch das vierte und fünfte konzentrische Paar von außen ist durch 13 teilbar. Die Summe ist 520 = 40*13. Das kommt daher, daß 111+152 = 263 um 52 größer ist als 138+73 = 211.

111

132

138

76

83

87

80

73

125

152

Die Gesamtsumme ist nun 156+520 = 676 = 26², wiederum ein Hinweis auf die 26 Elemente des Oktaeders.

Die Summe der durch 7 und 13 teilbaren Zahlenpaare beträgt 693+676 = 1369 = 37², Hinweis auf die je 37 Elemente von zwei Tetraktys.

Das Zahlenpaar 132+125 = 257 verhilft einem weiteren Zahlenpaar also zweimal zu einer Teilbarkeit durch 13, einmal von innen, einmal von außen:

 

 

 

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

 

 

 

122

220

89

111

132

138

76

83

87

80

73

125

152

100

109

53

1

2

3

4

5

 

 

 

 

 

 

5

4

3

2

1

Die Einzelziffern der Primzahl 257 beziehen sich auf die Punkteverteilung der DR:

Die Punkte 5+2 und 5+7 sind wieder auf die beiden Kreisflächenverhältnisse 1:2 und 1:3 übertragbar. Die Positionen 5 und 4 der 8 Zahlenpaare geben die 5+4 Durchmesserelemente des Hexagons und der Erweiterung wieder.

----------------------

Die FS 520 des 4. und 5. Zahlenpaares ist programmatisch für eine wesentliche Bedeutung der 16 FS. Die Zahlen 5 und 2 teilen die beiden Tetraktyskreise in 5 DR-Punkte des Hexagons und 2 des Erweiterungsrings, dessen Fläche doppelt so groß ist wie die des Hexagons. Die Radialelemente des Erweiterungsbereiches haben die Positionen 4 und 5. Dem Kreisflächenverhältnis 1:2 entsprechen also 3+2 Radialelemente, dem Verhältnis 1:3 3+5 Radialelemente. Die 16 Komplementärwerte teilen sich demnach konzentrisch auf in zweimal 3+5, jedoch so, daß die in der Zahl 5 die ersten 3 enthalten sind. Das bedingt eine doppelte Rechnung, von außen und von innen, also 32 FS.

Bezeichnend in diesem Zusammenhang sind die beiden Umkehrzahlen 125 und 152, erstere zu lesen als (1+2)+5 Radialelemente, letztere als Hinweis auf die Konzentrik von außen.

Rechnet man Flächengrößen und Radialelemente zusammen, entsprechen 7 Flächeneinheiten 13 Radialelemente. Dies ist wohl der spezielle Sinn der Teilbarkeit durch 7 und 13 der konzentrischen FS-Paare.

----------------------

Rechnet man die FW zu den beiden FS hinzu, ergibt sich 125+15 = 140 und 132+18 = 150 und das Verhältnis 10*(14:15). Wenn man die Durchmesserlinie der DR von innen nach außen so von 1-5 numeriert, daß die Linien die Zahlen 3 und 4 erhalten, ist die Summe der 4 Linien 14 und der 5 Punkte 15:

Man kann in der Abfolge der Numerierung die Zahlen 132 und 125 erkennen.

Auch der Rahmen eines DR-Kreuzes besteht aus 15+14 = 29 Elementen. Das erklärt die Doppelrolle der FS 257. Ein DR-Kreuz mit 3 Mittelpunkten setzt sich aus 15+16 Elementen zusammen. Das sind auch die FW der Zahlen 150 >15 und 140 >16.

7.      Die doppelte Teilbarkeit durch 7 und 13 verweist auf den Tetraktysstern mit seinen zwei konzentrischen Kreisen. Die 7 Punkte des Hexagons und 13 Punkte des ganzen Hexagramms geben das Kreisflächenverhältnis 1:3 wieder.

8.      Die Summe der inneren 5 Zahlenpaare beträgt 1057 = 7*151. Die Primzahl 151 zeigt die Punktestruktur der Doppelraute: 5 Punkte gehören dem hexagonalen Bereich, 2 dem Erweiterungsbereich an. 2:5 Punkte bedeuten das Kreisflächenverhältnis 2:1. Die zweimal 5 FS sind, wie oben dargelegt, als 3+2 Radialelemente zu verstehen.

b) 16 FS im Quadratrahmen und in Kreisandordnung

1.      Die 16 FS lassen sich abwechselnd auf den Punkten und Linien eines Quadratrahmens eintragen. Beginn ist die Summe 122 auf der Mittelachse links, es folgen die weiteren Summen im Uhrzeigersinn:

Die Gleichwertigkeit von Punkten und Linien zeigt sich auch im Zahlenverhältnis ihrer Summen:

Punkte

122

 

89

 

132

 

76

 

87

 

73

 

152

 

109

 

840

Linien

 

220

 

111

 

138

 

83

 

80

 

125

 

100

 

53

910

Das FS-Verhältnis der Punkte und Linien beträgt 70*(12:13). Damit zeigt sich erneut die Bedeutung der beiden Kreisflächenverhältnisse.

2.      Es sollen nun die Summen ermittelt werden, die den Flächenverhältnissen 1:2 und 1:3 entsprechen. Dies geschieht doppelt konzentrisch von innen und von außen. Für ersteres Verhältnis werden entsprechend den 5 Radialelementen die Positionen 4 und 5 von beiden konzentrischen Bewegungen erfaßt. Da diese beiden FS-Paare 520 betragen, ist die Gesamtsumme 1750+520 = 2270.

Es handelt sich beim Verhältnis 1:2 um 4*5 Radialelemente, die auf die beiden Zickzacklinien der DR eingetragen werden können.

3.      Für das Verhältnis 1:3 werden wie vorher einmal 5 Radialelemente berechnet und einmal 3 Radialelemente, (also 4*5+4*3). Da beim zweiten Vorgang die Positionen 4 und 5 wegfallen, ist das Summenergebnis 2*1750 = 3500. Beide Summen ergeben 5770. Die Einzelziffern der Primzahl 577, bezogen auf die 5+2 DR-Punkte, geben die beiden Kreisflächenverhältnisse wieder: 5:7 das Verhältnis 1:3, 7 (5+2) das Verhätnis 1:2.

Für die 7 Flächeneinheiten sind die FS der 12 hexagonalen Elemente (H) dreimal und die der 4 Erweiterungselemente (E) viermal zu multiplizieren. Die doppelte FS der Erweiterungselemente entfällt sowohl auf die Punkte als auch auf die Linien. Insgesamt sind 52 Einzelwerte einzutragen.

4.      Die ermittelten Werte können nach Punkte- und Liniensummen differenziert werden:

Die zwei horizontalen Summenpaare sind einmal Linien und einmal Punkte. Demnach beträgt die Summe für die Punkte 3275 = 25*131 und für die Linien 2495 = 5*499. Die Primzahl 499 ist besonders zu verstehen als (4+9)+9 und bezeichnet die Elemente der gleichseitigen Dreiachsigkeit und rechteckigen Zweiachsigkeit, die beide im Doppelrautenkreuz vertreten sind:

Die FW beider Summen betragen 635 = 5*127 > FW 132 = 11*12. Die Primzahl 127 ist wiederum im Sinne der beiden Kreisflächenverhältnisse als (5+7)+7 zu interpretieren. Die Einzelziffern des FW 132 geben die Numerierung der hexagonalen Radialelemente wieder, 11+12 betragen die Summen der Durchmesser- und Radialelemente:

5.      Die beiden konzentrischen Ausgangspaare sind 122+53 = 175 und 83+87 = 170 und bilden das Verhältnis 5*(35:34) = 5*69 = 345. Die Zahlen 35 und 34 setzen sich aus den Elementen von 5 Figuren der DR zusammen:

Zur Summe 69 fehlen auf vorstehender Grafik eine weitere Raute nach unten, die aus dem Doppeldreieck hervorgeht, und eine weitere "Fischfigur" nach unten, sodaß zu addieren ist 11+13+11 = 35 und 17+17 = 34. Das Wort SATOR des SATOR-Quadrats hat diese ZS-Struktur. Die zu den 16 FS gehörende Zahl 138 bezieht sich dann auf zwei DR bzw. auf ein DR-Kreuz. 138 ist auch die Quersumme aller 16 FS, nach 3+2+3 Paaren 45+25+68.

Durch 23 ist auch die Einzelsumme 138 = 6*23 teilbar. Die Einzelziffern des Produkts 21*23 = 483 sind auf die Kreisflächeneinheiten 2:1 der beiden Tetraktyskreise und ihrer entsprechenden Radialelemente 2+3 zu beziehen.

c) 32 Faktorenwerte von 32 Faktorensummen

1.      Wenn man von zweimal 16 Komplementärpaaren jeweils zwei FW addiert, kann von der Summe wiederum der FW ermittelt werden, z.B. 12 >7 98 > 16; 7+16 = 23 > FW 23; 21>10 89>89; 10+89 = 99 > FW 17. In der folgenden Tabelle erscheinen nur die Basiszahlen und ihre Umkehrungen:

BZ

12

13

14

15

16

17

18

23

24

25

26

27

34

35

36

45

380

FW

7

13

9

8

8

17

8

23

9

10

15

9

19

12

10

11

188

KZ

98

97

96

95

94

93

92

87

86

85

84

83

76

75

74

65

1380

FW

16

97

13

24

49

34

27

32

45

22

14

83

23

13

39

18

549

S-FW

23

110

22

32

57

51

35

55

54

32

29

92

42

25

49

29

737

FW

23

18

13

10

22

20

12

16

11

10

29

27

12

10

14

29

276

 

BZ

21

31

41

51

61

71

81

32

42

52

62

72

43

53

63

54

830

FW

10

31

41

20

61

71

12

10

12

17

33

12

43

53

13

11

450

KZ

89

79

69

59

49

39

29

78

68

58

48

38

67

57

47

56

930

FW

89

79

26

59

14

16

29

18

21

31

11

21

67

22

47

13

563

S-FW

99

110

67

79

75

87

41

28

33

48

44

33

110

75

60

24

1013

FW

17

18

67

79

13

32

41

11

14

11

15

14

18

13

12

9

384

Das Verhältnis der beiden Summen 276:384 ist 12*(23:32). Die Einzelziffern der beiden Umkehrzahlen spiegeln die 5+5 Radialelemente der beiden Tetraktyskreise wider und ebenfalls die Kreisflächenverhältnisse 2:1 und 1:2:

2.      Die Addition der zweimal 16 FW ergibt eine neue Reihe von FS:

12

13

14

15

16

17

18

23

24

25

26

27

34

35

36

45

 

23

18

13

10

22

20

12

16

11

10

29

27

12

10

14

29

276

17

18

67

79

13

32

41

11

14

11

15

14

18

13

12

9

384

40

36

80

89

35

52

53

27

25

21

44

41

30

23

26

38

660

Hinsichtlich der Teilbarkeit durch 11 enthält die Zahlenreihe zwei Umkehrpaare (25, 35) mit der Summe 15*11 = 165, das Komplementärpaar 89+21 = 110 und die Einzelzahl 44, woraus sich für 7:9 FS das Verhältnis 11*(29:31) ergibt.

3.      Wie oben bei der ersten Addition von FW zu der Summe 1750 ist auch bei den vorliegenden 16 FS von einer konzentrischen Sichtweise auszugehen, in Übereinstimmung mit den Radialelementen der beiden Tetraktyskreise:

40

36

80

89

35

52

53

27

25

21

44

41

30

23

26

38

Die FS des inneren und äußeren Paares – jeweils die Konstitutivzahlen ihrer Summen – haben das Verhältnis 52:78 = 2*13*(2:3).

Die inneren beiden Paare entsprechen den Radialelementen des äußeren Kreisrings. In paralleler Addition haben sie das Verhältnis 130:65 = 5*13*(2:1) = 15*13 = 195. Die Summe der 4*3 übrigen Zahlen beträgt 465 = 15*31. Den beiden Umkehrzahlen 13 und 31 entspricht das Verhältnis 4*(1:3) der äußeren und inneren Radialelemente.

4.      Unter den 4*3 inneren Radialelementen gibt es mehrfache Beziehungen:

40

36

80

89

35

52

53

27

25

21

44

41

30

23

26

38

156

 

 

132

90

 

 

87

Das Verhältnis der linken Summen 156:132 ist 12*(13:11) = 12*24 = 288. Die Summe der übrigen 6+4 FW ist 177+195 = 372 = 12*31. Es ergibt sich so das Gesamtverhältnis 12*(24:31).

Das Verhältnis der beiden inneren Summen 132:90 ist 6*(22:15) = 6*37 = 222. Das Verhältnis 22:15 findet sich in der numerierten Tetraktys und bezieht sich auf die 7 Hexagonpunkte:

Die beiden mittleren FW 53+21 = 74 bilden ein Drittel der Gesamtsumme 222 = 3*74.

5.      Die Einzelziffern des Verhältnisses 3*5*(31:13) korrespondieren darin, daß 3:5 Radialelementen das Kreisflächenverhältnis 1:3 entspricht. Die 4*(3:5) Elemente sind in den beiden folgenden Grafiken dargestellt:

Das obere 3:5 Verhältnis ist 243:(243+195) = 243:438 = 3*(81:146) = 3*227, das untere

222:(222+195) = 222:417 = 3*(74:139) = 3*213. Zusammengenommen beträgt das Verhältnis 465:855 = 3+5*(31:57) = 15*88. 5:7 Punkte der DR geben das Kreisflächenverhältnis 1:3 wieder, wodurch das Ursprungsverhältnis 31:13 der 12+4 FS gewahrt bleibt.

6.      Nach der oben formulierten Formel für beide Kreisflächenverhältnisse entfallen auf Punkte und Linien folgende Werte:

 

P

 

sm

L

 

sm

GS

 

H 3x

E 2x

 

H 3x

E 2x

 

 

 

329

195

 

136

195

 

 

Fkt.

987

390

1377

408

390

798

2175

1377 = 81*17 >12+17; 798=42*19>12+19

Die Faktorenwerte 12+17 und 12+19 beziehen sich auf die Rahmenelemente von zwei DR-Kreuzen, entsprechend der Zahl der Erweiterungs- und der hexagonalen Elemente, mit einem und drei Mittelpunkten:

7.      Die ZS+FS der vier Zahlenreihen ergeben, in konzentrischer Addition, Teilbarkeit durch 31:

 

12

98

21

89

 

ZS

380

930

830

1380

3520

FS

188

549

450

563

1750

 

568

1479

1280

1943

5270

3520 = 320*11; 5270 = 10*17*31

(568+1943):(1479+1280) = 2511:2759 = 31*(81:89) = 31*170. Die Einerstellen der Verhältniszahlen 81 und 89 ergänzen sich komplementär zu 10.

Auch Verhältnisse von Einzel- zu Gesamtsummen sind vorhanden: 930:4340 = 310*(3:14), 1479:3791 = 17*(87:223), 1280:2240 = 320*(4:7).

 

Erstellt: September/November 2014

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