Umkehrungen dreistelliger Zahlen

VI. Komplementäre Ordnung von 14 Primzahlumkehrungen

a) Drei Gruppen

b) 2. Gruppe mit 739

c) 2. Gruppe mit 709

d) Vereinbarkeit von 709 und 739

e) Aspekte der 3. Gruppe

f) 5-mal komplementäre 1110

g) 157, 359 einzeln

h) 157, 359 mit Umkehrungen

a) Drei Gruppen

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

107

113

149

157

167

179

199

311

337

347

359

389

701

709

991

983

971

967

953

941

937

907

769

761

751

743

739

733

28

27

26

25

24

23

22

21

20

19

18

17

16

15

1.      Im vorhergehenden Kapitel wurde erkennbar, daß von den 14 Umkehrzahlen sich 4 darin unterscheiden, daß ihe Umkehrungen in ihrer eigenen Tausenderhälfte liegen, 113 –311, 709 – 907, 739 – 937, 769 – 967. Dies führt zur Annahme, daß sich die 14 Zahlen aus 10+4 zuammensetzen: aus der Summe der Zahlen 1-4 und aus 4 selbst. Da die Gesamtsumme 16370 durch 10 teilbar ist, liegt es nahe, die Zahlen so in Paaren zu ordnen, daß ihre Summe jeweils durch 10 teilbar ist.

Voraussetzung für komplementäre Paare sind Additionen der Einerstellen 1+9 und 3+7:

2.      Die komplementäre Ordnung ergibt drei Gruppen:

·     5 Zahlenpaare erfüllen die komplementäre Bedingung auf der ersten und dritten Stelle, daher bedürfen sie zur Teilbarkeit durch 10 nur ihre eigene Umkehrung:

 

 

 

sm

 

 

sm

GS

149

179

199

527

337

347

684

1211

941

971

991

2903

733

743

1476

4379

1090

1150

1190

3430

1070

1090

2160

5590

1211 = 7*173 >FW 180; 4379 = 29*151 >180

5590 = 10*13*43 >63

Diese 10 Zahlen scheiden im weiteren Verlauf der Untersuchung für die konzentrische Anordnung der übrigen 18 Zahlen aus.

·     Die 9 anderen Zahlenpaare sind in der folgenden Tabelle konzentrisch angeordnet, d.h. unter der niedrigsten Zahl steht die höchste. Die ersten drei Paare ergänzen sich zu einer 10-er Summe, die Ergänzung von vier Paaren ergibt sich durch lineare Verschiebung der unteren Reihe um eine Stelle, die restlichen 4 Zahlen ergänzen sich durch 3*7 und 1*9:

18

17

16

16

14

13

12

11

10

107

113

157

167

311

359

389

701

709

983

967

953

937

907

769

761

751

739

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

983

967

953

769

761

751

739

5923

107

113

157

311

359

389

701

2137

1090

1080

1110

1080

1120

1140

1440

8060

8060 = 20*13*31 > 53

Die sieben Komplementärpaare beginnen mit der Zahl 107 und enden mit ihrer Umkehrung 701. In der von unten ansteigenden Primzahlfolge fällt erstmals 167 aus, da keine 3 als Einerstelle des oberen Zahlenbereichs mehr zur Verfügung steht. Dies gilt umgekehrt auch für 937 und 907 im unteren Zahlenbereich. Schließlich bleibt 709 übrig.

·     Die 4 Zahlen im Zusammenhang sind:

167

937

907

709

2720

1104

1616

 

2720 = 160*17 > 32

1104:1616 = 16*(69:101)

b) 2. Gruppe mit 739

1.      Die ZW/FW-Verrechnung der drei Summen ergibt:

 

 

 

 

sm

FW

sm

FW

ZS

5590

8060

2720

16370

1644

 

 

FW

63

53

32

148

41

 

 

sm

 

 

 

16518

1685

 

 

FW

16518 = 2*3*2753

2758

342

3100

45

148 = 4*37; 1685 = 5*337; 342 = 18*19

In den Ergebnissen erkennt man die Ausrichtung auf Hexagramm und Doppelkreis: 337, selbst eine der 14 Umkehrzahlen, gibt in den Einzelziffern die Punkteaufteilung der 13 Punkte wieder. Das Produkt 18*19 des Faktorenwertes (FW) 342 bezeichnet die 18 Linien und 10 Punkte + 9 Dreiecke der Tetraktys.

2.      Die Faktoren der FS 3100 sind 31+7+7 = 45 = 5*9. Wenn um die 6 äußeren Punkte des Hexagramms ein Kreis geschlagen wird, kommt der 7. Punkt hinzu. Das Kreisflächenverhältnis dieses äußeren Kreises zum inneren Kreis beträgt 3:1:

3.      Der FW 45 ist ebenfalls auf die Flächen der beiden Kreise hin zu interpretieren. 45 ist die Summe der Zahlen von 1-9. Die Zickzacklinie der (DR) besteht aus 9 Durchmesserelementen, 5 gehören der inneren Kreisachse an, 4 der hexagonlen Erweiterung: 5:4 und 5:9 Durchmesserelemente geben die Flächenverhältnisse 1:2 und 1:3 wieder:

c) 2. Gruppe mit 709

1.      Würde man statt 739 die benachbarte Zahl 709 mit 701 verbinden, liefen die 7 Zahlenpaare vom weitesten Abstand bis zum engsten zu. Es würden dann die Umkehrzahlen 937 und 739 übrig bleiben statt den Umkehrzahlen 907 und 709:

107

113

157

311

359

389

701

2137

983

967

953

769

761

751

709

5893

1090

1080

1110

1080

1120

1140

1410

8030

8030 = 10*11*73 > 91

 

167

937

907

739

2750

2750 = 10*11*25 > 28

2.      Betrachten wir nun die FW der drei Gruppen, erkennen wir, daß sie durch 7 teilbar sind: 63+91+28 = 7*(9+13+4) = 7*26 = 182 = 13*14. Die FW sind auf die 7 Punkte des Hexagons und die 13 Punkte des Hexagramms beziehbar:

Die Summen der Zahlen von 1-7 und 1-13 sind 28 und 91, die Differenz zwischen beiden ist 63. In Flächeneinheiten des Doppelkreises ausgedrückt bedeuten die drei FW 63, 91, 28 demnach 2+3+1 = 6 Einheiten. Das Produkt 13*14 ist zu verstehen als 13+(7+7), was 3+(1+3) = 7 Kreisflächeneinheiten entspricht. Die zweite 7 besteht aus 6 äußeren Punkten und einem zusätzlichen Mittelpunkt und gibt dieselben 3 Flächeneinheiten wieder wie alle 13 Punkte, wie in der oberen Grafik bereits gezeigt wurde.

d) Vereinbarkeit von 709 und 739

1.      Die zweite Komplementärpaarung erscheint schlüssiger als die erste. Gründe für zwei Lösungen sind etwa folgende:

·     739 und 709 haben beide ihre Umkehrungen in ihrer eigenen Tausenderhälfte.

·     Die 8. Zahl ist 701, die nun die Wahl hat, sich die nächste Zahl 709 zur Partnerin zu wählen oder diese zu überspringen, um die bisherige konzentrische Ordnung einzuhalten. Wegen der gemeinsamen Null und der konzentrischen Mitte ist die Paarung 701 709 besonders sinnvoll.

·     Wenn die Zahl 739 gewählt wird, sind beide Umkehrzahlen 907 – 709 zu den vier verbleibenden verbannt, wird 709 gewählt, geschieht dasselbe mit 937 739.

·     739 und 709 bilden die Mitte der nunmehr 18 Zahlen. Von der untersten Zahl 107 und der obersten Zahl 983 her gesehen nehmen sie beide die 9. Stelle ein.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

9

8

7

6

5

4

3

2

1

107

113

157

167

311

359

389

701

709

739

751

761

769

907

937

953

967

983

Die Tabelle zeigt, daß zweimal drei zusammenhängende Zahlen (braun, grün unterlegt) 6 konzentrische Paarungen bilden. Von den übrigen 6 Zahlen liegen 3 (weiß unterlegt) als nicht komplementierbar fest. Dadurch verschiebt sich die parallele konzentrische Zuordnung der grün unterlegten um einen Zähler.

Die Summen der vier verschieden unterlegten Positionen betragen von links nach rechts 12+13+39+26 = 90. Durch Gruppierung 12+39 = 51 und 13+26 = 39 erhält man das Verhältnis 3*(17:13). Zwei durch 13 teilbare Verhältnisse sind 13*(1:3) und 13*(1:2).

2.      Trinitarisch läßt sich die Summe der mittleren drei Primzahlen interpretieren: 701+709+739 = 2149 = 7*307 >FW 314. Der FW ist verstehbar als 3+14: 3 Flächen und 14 Elemente der "Fischfigur" und als trinitarische Gleichung 3+1 = 4, bezogen auf die Punkte der Doppelraute, die aus zwei Rauten und je 4 Punkten besteht. Die 7 Ziffern der drei Zahlen haben die Quersumme 43 und geben in den Einzelziffern die 4 Dreiecke der DR und 3 Dreiecke der "Fischfigur" wieder, ebenso 4+3 Punkte der DR.

3.      Auch die Tabellenpositionen der 3+1 Zahlen der 3. Gruppe haben ihre Bedeutung: Aus 5+4 Elementen besteht ein Achsenkreuz aus zwei Achsen, das durch 4 weitere Elemente zu den drei Achsen des Hexagons erweitert wird. Die 9. Position vertritt das einfache Achsenkreuz:

Durch die beiden Achsenkreuze werden 4+6 = 10 Maßeinheiten dargestellt. Sie bilden ein wesentliches Modell des Dezimalsystems.

Wenn man als 9. Position die Zahl 739 nimmt, ergibt sich für 4:2 Zahlen (weiß und gelb unterlegt) das Verhältnis 2720:1440 = 160*(17:9).

e) Aspekte der 3. Gruppe

1.      Zwischen beiden Zahlenpaaren 709 – 907 und 739 – 937 besteht offensichtlich eine besondere Beziehung. Sie wird sichtbar durch Kreuzaddition 709+937 = 1646, 907+739 = 1646 = 2*823. Die Primzahl 823 ist zu lesen als Doppelaspekt von (5+3)+(2+3) Radialelementen der zwei konzentrischen Kreise des Hexagramms; Radialelement treten im Kreis nach zwei Seiten auf, was den Faktor 2 erklärt:

Die Kreisflächenentsprechung der aufgeteilten Radialelemente beträgt 3:1 und 2:1. Die Einzelziffern der Zahl 1646 geben die 7 Punkte des Hexagons und 10 Punkte der Tetraktys sowie die analogen Kreisflächeneinheiten 1+(3+1) wieder.

f) 5-mal komplementäre 1110

1.      Die Einzelziffern von 5 Primzahlpaaren ergänzen sich zu jeweils 10, so daß die Summe jeweils 1110 beträgt:

113

157

199

337

359

1165

5*233

238

26

997

953

911

773

751

4385

5*877

882

22

 

 

 

 

 

5550

 

1120

48

5550 = FW 52 1120 = FW 22; 52:22 = 2*(11:26) = 2*37

26:22 = 2*(13:11)

Die Faktoren 233 und 877 sind ebenfalls komplementäre Primzahlen mit der Summe 1110.

Die Verrechnung der ZS 5550 und FS 1120 führt zu je 37 Elementen von zwei Tetraktys, das Verhältnis 2*(13:11) weist auf zwei geometrische Figuren hin, aus denen die Oberfläche des Oktaeders zusammengesetzt ist.

Die Zahlen 157 und 953 sind ein zweites Mal als ihre Umkehrungen 751 und 359 vertreten. Sie scheiden bei der folgenden Umkehrbetrachtung aus.

2.      Von den 5 Primzahlpaaren lassen sich 3 Umkehrungen mit Komplementärzahlen bilden:

311

991

733

2035

311

911

733

2035

4070

799

119

377

1295

64

24

42

130

1425

 

 

 

3330

 

 

 

2165

5495

5495 = 5*7*157 >169 = 13²>26 ; 2165 = 5*433 > 438 = 6*73>78

26:78 = 26*(1:3)

Hervorzuheben ist das ZS-Verhältnis 2035:1295 = 5*37*(11:7). Das Verhältnis 11:7 bezieht sich auf die 11 Elemente der Raute, von denen 7 zum hexagonalen Bereich gehören, es gibt das Kreisflächenverhältnis 3:1 wieder:

g) 157, 359 einzeln

1.      Die Zahlen 157, 359, 751, 953 gerieten durch einen selektiven Prozeß in den Blickpunkt. Zuerst befinden sie sich unter den 14 Paaren primer Umkehrzahlen. Dann wurden 5 Paare herausgefunden, deren Einzelziffern sich in den Einer-, Zehner- und Hunderterstellen zu je 10 ergänzen. Die Einmaligkeit der 4 genannten Zahlen ist, daß je zwei Komplementärzahlen auch in ihrer Umkehrung Primzahlen sind. Dies läßt eine besondere Zusammengehörigkeit der zwei Zahlenpaare vermuten.

2.      Die Bedeutungen der beiden Ausgangszahlen 157 und 359 sowie ihrer Umkehrungen scheinen sich hauptsächlich aus ihren Einzelziffern zu erschließen. Letztere ist eher leicht, erstere jedoch schwer zu deuten. Beginnen wir mit letzterer.

Die Zahlen 5 und 9 gehen jeweils aus der vorherigen mit ihrer niedrigeren Konstitutivzahl hervor, als 3+2 = 5, 5+4 = 9; 3 selbst entsteht aus 2+1. In zweistelliger Zusammensetzung ergibt sich (21+32)+54 = 53+54 = 107, auf zuteilen in 10 Tetraktyspunkte und 7 Hexagonpunkte.

Die Zahlen 3+5 und 5+9 sind auf die Radial- und Durchmesserelemente einer Zickzacklinie der DR zu beziehen. Sie stellen innerhalb der beiden konzentrischen Tetraktyskreise 1:3 Flächeneinheiten dar:

Die zusammengesetzten Zahlen 35 und 39 haben trinitarische Bedeutung, weil sie die Elemente von jeweils drei geometrischen Figuren im Hexagon darstellen:

Die Summe 74 weist auf 2*37 Elemente von zwei Tetraktys voraus.

In zweistelliger Zusammensetzung ergibt 35+59+39 133 = 7*19. Die Einzelziffern weisen auf die Punkteverteilung der DR hin: Mittelpunkt + zweimal 3 symmetrische Punkte. 5:7 und 5:2 Punkte, zusammen 19 Punkte repräsentieren 7 Kreisflächeneinheiten:

3.      Die Zahl 157 ist von den Einzelziffern der doppelten Summe 314 her zu sehen, die einen Bezug zum Kreis in der Kreiszahl PI (p) 3,14 hat. Die Ziffern genügen der Gleichung 3+1 = 4, die zweimal die Punkte der DR wiedergibt, wobei der Mittelpunkt zweimal zu zählen ist. In einfacher Zählung erkennt man den Kreisbezug im Kreisbogen, der durch zwei Punkte halbiert wird:

Zählt man 2*3 Elemente für je eine Hälften und 4 Elemente für zwei Hälften zusammen, erhält man die systemrelevante Summe 10.

Die Verdoppelung des Mittelpunktes der DR spielt auch eine Rolle für die Einzelziffern 1 5 7. Den 3 Achsen des Hexagons zu je 5 Elementen entsprechen 3 Tetraktysseiten zu je 7 Elementen:

Die Zahl 1 bezeichnet den Mittelpunkt. 1 und 5 sind demnach doppelt zu lesen: (1+5)+5 = 6+5 = 11. Zu zählen sind 6 Radial- und 5 Durchmesserelemente. Die Zahl 6 gilt jedoch auch für eine Tetraktysseite. Denn alle drei Seiten zusammen bestehen aus 9 Punkten und 9 Linien, also aus 18 Elementen und je Seite aus 6 Elementen. Damit kommt ebenfalls eine Doppelzählung von 7+6 = 13 Elementen je Seite zustande. Für drei Achsen und drei Seiten ergibt sich die Summe 3*(11+13) = 72.

Da nun die Gestalt der DR zwei Tetraktys voraussetzt, ist die Verdoppelung der Zahl 157 zu 314 sinnvoll.

Freilich kann man die drei Einzelziffern auch auf die Punkte der DR selbst beziehen: 5:7 Punkte geben das Kreisflächenverhältnis 1:3 wieder und 1+7 Punkte ergeben wiederum 8 DR-Punkte bei zwei Mittelpunkten.

Auch die Zusammensetzungen 15 und 17 sind in der DR relevant:

Rechts werden die 15 Rahmenelemente der DR in schleifenförmiger Umfahrung gezählt, bis der Ausgangspunkt wieder erreicht ist. Dadurch werden 2 Positionen hinzugewonnen.

4.      Die systemrelevante Zahl 10 zeigt sich in den Einzelziffern der Faktoren der Addition 157+359 = 516 = 12*43 = FW 50. Aus je 25 Elementen besteht das Hexagon und seine Erweiterung, wenn für letztere der Mittelpunkt ein zweites Mal zählt.

In zweistelliger Zusammensetzung ergeben sich für beide Zahlen folgende ZS und FS:

15

17

57

89

35

39

59

133

222

8

17

22

47

12

16

59

87

134

23

34

79

136

47

55

118

220

356

89+(47+220) = 89+267; 89:267 = 89*(1:3)

Die ZS+FS der 12 Werte ist 4-mal die ZS 89. Aus 8+9 Elementen besteht eine Oktaederhälfte, aus 8 Linien und 9 Punktepositionen die schleifenförmige Umfahrung der DR-Elemente, aus 8 Linien und 6 Punkten + 3 Flächen die "Fischfigur", die im DR-Kreuz 4-mal vorhanden ist:

Den 13+4 Elementen der Fischfigur entspricht auch die Gesamt-FS 134, die wiederum als Gleichng 1+3 = 4 die 8 Punkte der DR darstellt. Einmal 89 ergibt sich aus der Addition der ZS+FS 34+55.

h) 157, 359 mit Umkehrungen

1.      Um zu erkennen, wie die Primzahlen 157 und 359 zusammengehören, ist es nützlich, die jeweils 6 Umkehrungen mit ihren FW zu ermitteln.

Die ZS einer dreistelligen Zahl mit drei verschiedenen Einzelziffern ergibt sich aus der doppelten Quersumme mal 111. Die doppelte Quersumme der beiden Zahlen ist also 2*13 = 26 und 2*17 = 34, die Gesamt-ZS 111*(26+34) = 6660. Die beiden doppelten Quersummen verweisen auf den Oktaeder, der aus 26 Elementen als ganzer und aus 2*17 je Hälfte besteht. Da zur Oktaederbildung die äußeren Punkte einer DR verbunden werden, entsteht ein zweites Doppeldreieck aus 13 Elementen. Dazu kommen zwei Fischfiguren aus je 17 Elementen, wie in obiger Grafik bereits veranschaulicht.

Die Umkehrungen mit ihren FW sind:

Zahl

157

175

517

571

715

751

2886

359

395

539

593

935

953

3774

6660

FW

157

17

58

571

29

751

1583

359

84

25

593

33

953

2047

3630

 

232

1819

1579

 

 

 

314

192

575

1142

744

1502

4469

718

479

564

1186

968

1906

5821

10290

Entsprechend den beiden Quersummen 13+17 = 30 ist die FS 3630 durch 30 teilbar und ermöglicht ein Zahlenverhältnis zur ZS: 3630:6660 = 30*(121:202) = 30*343 = 30*. 121 verweist durch die Faktoren 11*11 auf die DR, auf die 3*7 Elemente der Tetraktysseiten.

2.      Vier Zahlen 517, 715, 539, 935 sind durch 11 teilbar: (47+65+49+85)*11 = 246*11. Für 246 sind drei Bedeutungen anzumerken:

·     In die Fischfigur aus 17 Elementen, je dreimal in 2 Tetraktys vertreten, sind die Raute und das sanduhrförmige Doppeldreieck aus 11 und 13 Elementen integriert. Auf diese Weise kommen 6*41 = 246 Elemente zustande:

·     Aufgeteilt in 2*(4+6) ist an zweimal 10 Tetraktyspunkte zu denken:

Die Punkteaufteilung gibt das Kreisflächenverhältnis 3:1 wieder.

·      In der Aufteilung 24+6 tritt sie als Addition der 3 komplementären Zahlenpaare 9+8+7 und 1+2+3 auf.

Die FW der 4 mit dem Faktor 11 verbundenen Ergebnisse 47+65+49+85 sind 47+14+18+22 = 101. Hinzu kommen die FW 17+84 = 101 der Zahlen 175 und 395 sowie 4*11 = 44. 202+44 ergeben ein zweites Mal 246 als FS von 6 Zahlen.

3.      Neben den 4 Komplementärzahlen der Ausgangssituation sind auch noch 571+593 = 1164 Primzahlen. Als FS kann man daher 8:4 Zahlen gegenüberstellen: 2220*(1164+246) = 1410:2220 = 30*(47:74). Den Einzelziffern der beiden Umkehrzahlen entsprechen die 11 Elemente der Raute in der DR : 7 Elemente des hexagonalen Dreiecks und 4 Erweiterungselemente:

Teilbarkeit durch 47 tritt noch zweimal auf:

·     Die 6 Primzahlen haben die ZS 2220+1164 = 3384 = 72*47 = FW 59.

·     Jede der beiden Ausgangszahlen und ihre Umkehrung addiert sich zu 157+751 = 908 = 4*227 = FW 231; 359+953 = 1312 = 32*41 = FW 51; 231+51 = 282 = 6*47.

4.      Aus zahlreichen weiteren Berechnungsmöglichkeiten möchte ich eine einzige herausgreifen: Wenn man dreistellige Komplementärzahlen und ihre Umkehrungen von der untersten bis zur obersten Zahl, zuerst die eine, dann die andere, wie oben ausgeführt, aneinanderreiht, ergänzt sich jedes konzentrische Paar zu 1110. Die FS der äußeren zweimal drei Zahlen und der inneren sechs Zahlen liegen nur 8 Zähler auseinander:

1811 ist eine Primzahl. Die Zahlen 18 und 11 sind Numerierungssummen der hexagonalen Erweiterungen und der Kreisachse, sie repräsentieren das Kreisflächenverhältnis 2:1:

Die Faktoren von 1819 sind 17*107 = FW 124 = 4*31. Aus 18 und 19 Elementen besteht die Tetraktys. 17 und 107 bedeuten zweimal dasselbe: 10 Tetraktyspunkte und 7 Hexagonpunkte in der Bedeutung von 3:1 Flächeneinheiten. Die Faktoren 4*31 weisen auf die 4+4 Punkte der DR hin, wenn der Mittelpunkt zweimal gezählt wird.

Die ZS und FS lassen sich auf zweifache Weise verrechnen:

·      Die erste Verrechnung trennt ZS und FS:

 

ZS

FS

ZS

FS

sm

FW

 

3330

1118

3330

1819

10290

31

FW

50

1811

50

124

2035

53

sm

2035 = 5*11*37 >53

Die Einzelziffern sind als Entsprechungen von 3:1 Kreisflächeneinheiten zu 5:3 Radialelementen zu interpretieren.

·      Die zweite verbindet ZS+FS:

 

 

 

sm

FW

sm

ZS+FS

5141

5149

10290

31

 

FW

150

290

440

22

 

sm

 

 

10730

53

 

FW

 

 

73

53

126

5141 = 53*97; 5149 = 19*271; 126 = 6*21

440 = 44*10 = FW 15+7 = 22

Die Einzelziffern der FW 31 und 22 sind Entsprechungen von 3 hexagonalen Radialelementen zu 1 Flächeneinheit und 2 Erweiterungselementen und 2 Flächeneinheiten.

126 entspricht 6 DR , die sich zu 3 DR-Kreuzen und 3 Oktaedern kombinieren. Die Einzelziffern können als 10 Tetraktyspunkte verstanden werden, 1+26 bedeuten auch Volumen + 26 Oktaederelemente.

Die Einzelziffern der FW 73 und 53 sind interpretierbar als 3*7 Rahmenelemente der Tetraktys und 3*5 Achsenelemente des Hexagons.

Die Summe der Zahlen von 1-29 beträgt 15*29 = 435. 440 enthält einerseits die Elemente von 4 Rauten, die einen Oktaeder konstituieren, andererseits weist der FW 22 auf eine einzelne DR.

 

 

Erstellt: Juni 2015, Oktober 2016

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