Dreistellige Umkehrzahlen (5): 15 Primzahlpalindrome

VII. 15 Palindromzahlen

a) Modelle

1. Zu den 14 dreistelligen Primzahlen, deren Umkehrungen ebenfalls Primzahlen sind und im vorherigen Kapitel behandelt wurden, sind auch 15 Palindromprimzahlen zu rechnen. Sie verteilen sich folgendermaßen auf die vier Hunderterbereiche 1 3 7 9:

						sm						sm	GS
1	101	131	151	181	191	755	7	727	757	787	797	3068
3	313	353	373	383		1422	9	919	929			1848
						2177						4916	7093
7093 = *41173 = FW 214 = 2107;* 2177 = 7311; 4916 = 41229

7093, aufgeteilt in 70+93 = 163, gibt in den Einzelziffern die Punkteaufteilung der Tetraktys wieder. In der Produktaufteilung 7*10 bezeichnet 70 die 7 Punkte des Hexagons und 10 Punkte der Tetraktys. Dieselbe Bedeutung hat auch der Faktor 107, geteilt in 10+7. Beide Zahlen enthält auch die Doppelraute mit 10 Linien und 7 Punkten.

93 = 31*3 hat seine Entsprechung in der spiegelbildlichen Punkteaufteilung 3-1-3 der Doppelraute (DR):

Der Faktor 173 der Summe 7093 weist vornehmlich auf die "Fischfigur" hin, die sich in der Tetraktys dreimal befindet; sie besteht aus 17 Elementen. Der Faktor 41 ist beziehbar auf 41 Elemente des DR-Kreuzes, und auf 11+13+17 Elemente dreier geometrischer Figuren in Tetraktys und DR.

Die ZS 7093 + ihr FW 214 ergibt die Primzahl 7307. Sie ist zu verstehen als 7+3 Punkte der Tetraktys und 7 Punkte des Hexagons. Ihnen entspricht das Kreisflächenverhältnis 3:1 des äußeren Kreises zum inneren Kreis.

Der ZS 7093 entspricht dieselbe FS 7093.

2. Wenn ein Kreis durch den Mittelpunkt geteilt wird, verhalten sich beide Hälften spiegelbildlich zueinander:

Anfang und Ende der ersten Hälfte des Kreisbogens wird durch die Zahlen 12 und der zweiten durch 21 gekennzeichnet. In dreistelliger Zusammensetzung stellt sich der Kreisumlauf als 121 dar. Palindromzahlen sind daher in genauerer Definition Spiegelbildzahlen, d.h. 131 z.B. ist aufzuteilen in 13 und 31. Spiegelbildcharakter hat insbesondere die Doppelraute (DR) mit der Punktestruktur 3-1-3 (s.o.), in dreistelliger Zusammensetzung eine der 15 Palindromprimzahlen.

3. Will man die 15 Palindromprimzahlen in einer geometrischen Figur anordnen, hilft ihre Anzahl in jeder der vier Hunderterbereiche:

1	5	101	131	151	181	191
3	4	313	353	373	383
7	4	727	757	787	797
9	2	919	929

Numeriert man die 7 Punkte der Doppelraute (DR) in achtförmiger Umfahrung bis zum Ausgangspunkt, erhält man 7+2 = 9 Positionen. 5 Zahlen befinden sich auf der ersten Zickzacklinie, 4 auf der zweiten. Damit sind die zwei Hunderterbereiche der ersten Tausenderhälfte abgeschlossen. Wiederum vom Ausgangspunkt aus sind nun 4 Dreiecksflächen zu besetzen und in einer zweiten Rückkehr die 2 Querlinien:

Die untere Raute enthält 8 Zahlen, die obere 7. Die Summendifferenz zwischen 3552 und 3541 beträgt 11, das entpricht den 11 Elementen einer Raute bzw. den 7 Punkten und 4 Dreiecken der DR.

4. Die obere Summe 3541 ist eine Primzahl, die untere ist in das Produkt 32*111 = 32*(3*37) aufteilbar: Von jeder dreistelligen Zahl, die aus drei unterschiedlichen Ziffern besteht, gibt es 6 Umkehrungen, deren Summe durch 111 teilbar ist. Die Gesamtsumme ist dabei zweimal die Quersumme mal 111, in vorliegendem Fall 2*16*111. Für die Summe 3552 kommt demnach z.B. 259 = 7*37 in Frage, weitere 7 Zahlen sind 178, 169, 268, 349, 358, 367, 457; die Summe dieser 7 Zahlen ist ebenfalls durch 37 teilbar: 2146 = 58*37.

Zweimal vier Zahlen der unteren Raute bilden ein Zahlenverhältnis:

373	131	504	101	383	484
151	929	1080	727	757	1484
		1584			1968
1584:1968 = 48(33:41) = 4874

Den Einzelziffern von 33 und 41 entsprechen 6 Radial- und 5 Durchmesserelemente der Kreisachse.

Die Summe 3552 als Summe von 6 Umkehrungen ist somit sinnvoll, da Palindromzahlen in sich Umkehrzahlen sind.

5. Eine Besonderheit der 15 Palindromzahlen besteht darin, daß ohne 101 die Summe von je vier Zahlen der ersten Tausenderhälfte in konzentrischer Zuordnung, wie die Gesamtsumme 7093, jeweils durch 173 teilbar ist:

131	151	282	181	191	372
383	373	756	353	313	666
514	524	1038	534	504	1038
2076 = 12*173

Die Summe von 8:7 Zahlen hat nun das Verhältnis 173*(12:29). Die Primzahl 1229 ist bereits als Faktor der Summe der zweiten Tausenderhälfte in Erscheinung getreten. Die beiden Verhältniszahlen entsprechen 12+29 = 41 Elementen des DR-Kreuzes: Aus 15+14 Elementen besteht der Rahmen, aus zweimal 6 die Binnenelemente:

Die restlichen 7 Palindromzahlen lassen sich nicht in ein DR-Kreuz anordnen. Deswegen sollen alle 15 Zahlen in Zickzackfolge auf die Doppelraute (DR) eingetragen werden:

15 dreistellige Palindromzahlen

Wenn sich die äußeren Punkte vereinigen, um mit einer anderen DR einen Oktaeder zu bilden, wird klar, warum die Palindromzahl 101 sich von den übrigen acht Zahlen der ersten Tausenderhälfte unterscheidet: Sie soll sich im Sinne ihrer Kreisform mit der letzten zu einem Kreis zusammenschließen.

4 blauen Zahlen bilden die gemeinsame Mittelbasis des Oktaeders, 6 Zahlen des Erweiterungsbereichs den oberen pyramidalen Aufbau und 5 Zahlen des hexagonalen Bereichs den unteren. Deren Summen sind:

oben	Mitte	unten
3028	1916	2149	7093
3028 = 4757; 2149 = 7307
1916 = 4*479

Die beiden Oktaederhälften bedürfen jeweils der Summe ihrer gemeinsamen Mittelbasis:

3028	1916	4944
2149	1916	4095

Die Summe führt wiederum zu zwei Palindromzahlen:

			sm	FW	sm	FW
ZS	4944	4095	9009
FW	114	279	393
9009 = 9711*13 >FW 37

6. Die oben im DR-Kreuz angeordneten acht durch 173 teilbaren Zahlen lassen sich folgendermaßen ergänzen:

15 dreistellige Palindromzahlen

Diese Anordnung setzt bereits die Kenntnis des Verhältnisses 173*(12:29) voraus. Die 8 Flächenzahlen vertreten 12 Binnenelemente, 7 Punktezahlen 29 Rahmenelemente der DR.

Die drei für die Oktaederbildung relevanten Summen sind:

oben	Mitte	unten
2048	3200	1845	7093
2048 = 2¹¹; 1845 = 45*41
2048:3200 = 128(16:25) = 12841

41 ist Faktor der Gesamtsumme 7093 = 41*173.

Die Verrechnung der drei Summen ergibt:

				sm	FW	sm
ZS	2048	3200	1845	7093	214
FW	22	24	52	98	16
sm	7191 = 91747			7191	230
FW				70	30	100
70:30 = 10*(7:3)

Das Verhältnis 10*(7:3) ist ein Hinweis auf das Dezimalsystem in Gestalt von je 10 Punkten zweier Tetraktys.

Die Verrechnung der zwei Hälften ergibt:

			sm	FW	sm
ZS	5248	5045	10293	123
FW	55	1014	1069	1069
sm			11362	1192
FW			57	155	212
10293 = 34773; 212 = 4*53
11362 = 2131923; 1192=16149

Die Faktoren 3*47 sind auf die 3*7 Elemente der drei Tetraktysseiten zu beziehen: 4 Punkte verhalten sich zum Ganzen von 4 Punkten + 3 Linien wie 4:7.

Der Faktor 73 kennzeichnet die Tetraktys mit 7 hexagonalen und 3 Erweiterungspunkten. Der FW 123 = 3*41 bezieht sich auf dreimal drei ineinanderliegenden geometrischen Figuren von 11+13+17 Elementen in der Tetraktys:

Die Faktoren 4*53 lassen sich die Radialelemente von zwei Zickzacklinien der Doppelraute beziehen. 5:3 Radialelemente geben das Kreisflächenverhältnis 3:1 wieder:

Die Einzelziffern der Zahl 212 geben die 5 Punkte der Zickzacklinien an.

b) 5 Komplementäre Paarungen

1. Die Grundzahlen 1-9 verhalten sich symmetrisch komplementär zueinander; sie ergänzen sich jeweils zur Summe 10. Zu jeder Zahl – ohne Null – gibt es eine Komplementärzahl, für 123 z.B. ist sie 987. Im dreistelligen Bereich ist die Summe beider Zahlen jeweils 1110 = 30*37; aus den Einzelziffern erkennt man den Bezug zum Hexagramm, das aus 13 Punkten besteht.

Die 15 Prim- und Palindromzahlen weisen 5 komplementäre Paare auf:

181	191	313	353	383	1421
929	919	797	757	727	4129
1421 = 7203 = 77*29 >FW 43					5550

Die Summe 4129 ist eine Primzahl, die zwei Zählungen eines DR-Kreuzes enthält, die erste umfaßt alle 41 Elemente, die zweite 29 Rahmenelemente. Der FW 43 weist ebenso auf die Elemente eines DR-Kreuzes mit drei Mittelpunkten hin. Aus 7*7 = 49 Elementen besteht das Hexagramm.

Die Quadratzahl 7*7 ist jedoch auch auf zweimal 7 Punkte beziehbar: Die 7+6 Punkte des Hexagramms werden um einen Punkt vermehrt, wenn der Mittelpunkt ein zweites Mal verwendet wird, um einen Kreis um die äußeren 6 Punkte zu ziehen. Dann nämlich wird erkennbar, daß der innere zum äußeren Kreis sich wie 1:3 verhält, ein Hinweis auf das trinitarische Geheimnis von dem einen Gott in drei Personen. Eine häufig wiederkehrende Symbolzahl für diesen Zusammenhang ist die Primzahl 167, die nach drei Schritten der ZW/FW-Verrechnung in Erscheinung tritt und hier dokumentiert werden soll:

			sm	FW	sm	FW
ZS	1421	4129	5550	52
FW	43	4129	4172	160
sm			9722	212	9934	4969
FW			4863	57	4920	55
sm						5024
FW	5024 = 32*157					167

2. Die verbleibenden 5 Palindromzahlen sind 101, 131, 151, 373, 787, in Summe die Primzahl 1543. Vier gehören der ersten, eine der zweiten Tausenderhälfte an. Die Summe der ersten vier Zahlen ist 756 = 27*28 = 4*189 = 4*7*27. Das Produkt 27*28 ist von besonderer Bedeutung für den Tetraktysstern: 28 ist die Summe der Zahlen 1-7, der 7 Hexagonalpunkte, 27 ihre Faktorensumme (FS). In innerer Übereinstimmung mit dieser FS wird das Hexagon um 8+9+10 = 27 zu den 10 Punkten der Tetraktys erweitert. Die Zahl 189 setzt sich zusammen aus 3*6 und 3+6. Zu 7*27 verweise ich auf einen Beitrag über SPQR.

Die vier Zahlen bilden durch 101+151 = 252 und 131+373 = 504 das Verhältnis 252*(1:2).

Die 4:5 Palindromzahlen der ersten Tausenderhälfte haben das Verhältnis 756:1421 = 7*(108:203). Auffällig ist Teilbarkeit von 5 Palindromzahlen durch 131, wozu noch 131 selbst kommt:

181	353	383	917
131	151	373	655
917:655 = 131*(7:5)

Als geometrischer Ort für die Einzelziffern ist die DR denkbar:

Palindromzahl 131

Die drei Zahlen bezeichnen spiegelbildlich die Erweiterung des Hexagramms aus dem Hexagon. Die Erweiterung besteht aus je 4 Elementen, das dazugehörige hexagonale Dreieck aus 7 Elementen. Einen Hinweis darauf gibt die Addition 131+151 = 282 = 6*47.

3. Die Summen der 5 Komplementärpaare und der übrigen 5 Palindromzahlen ergeben in der ZW/FW-Verrechnung:

			sm	FW
ZS	5550	1543	7093	214
FW	52	1543	1595	45
sm				259
1595 = 51129;
259 = 7*37 >FW 44

Die Faktoren 11 und 29 bilden die Numerierungssummen der Durchmesserelemente des hexagonalen Bereichs und der gesamten Zickzacklinie:

Das Verhältnis 11:29 gibt das Kreisflächenverhältnis 1:3 wieder. Dasselbe geschieht durch die Faktoren 7*37, denen 7 hexagonale Punkte und 3+7 Punkte der Tetraktys entsprechen. Der FW 44 = 4*11 verweist auf die vier Rauten des Oktaeders.

4. Die Primzahl 1543 als Summe der 5 alleinstehenden Palindromzahlen zeigt in folgender Weise Eigenschaften des Oktaeders:

15 ist in 5*3 = 5+3 = 8 aufzulösen, 43 in 4+3. Von der unteren Kante bis zur oberen sind es 5 Elemente, es bleiben 3 weitere Elemente eines Umlaufs von 8 Elementen übrig. In vertikaler Sicht gibt es 4 Umläufe von 8 Elementen, in horizontaler Sicht 3. In letzterer fehlen noch die untere und obere Kante, was zu 8*(4+3)+2 = 58 führt. 58 ist auch die Summe der Addition 15+43. Zur trinitarischen Bedeutung der Zahl 58 verweise ich auf einen anderen Eintrag.

5. Von der Zahl 101 läßt sich keine komplementäre Zahl bilden. Die Addition der Zahl 101 zu jedem der 5 komplementären Paare führt jedoch zu Teilbarkeit durch 173: 1110+101 = 1211 = 7*173. Es ergibt sich so das Verhältnis 173*(7:34).

Die 15 Palindromzahlen halten eine weitere Überraschung bereit. Man kann unter Weglassung der Zahl 101 von den restlichen 4 Zahlen ebenfalls Komplementärzahlen bilden. Die ZS+FS der 5 Komplementärpaare beträgt 5550+5550 = 11100, es kommt hinzu die ZS 4440 der 4 Komplementärpaare + 101 sowie die FS 1543 der restlichen 5 Palindromzahlen, zusammen 5550+4440+101 = 10091; 5550+1543 = 7093; 10091+7093 = 17148 = 48*358 = 96*179. Die Zahl 179 ist die Summe aus 9*17+(9+17) und auf die 26 Oktaederelemente beziehbar. Eine Oktaederhälfte besteht aus 8+9 = 17 Elementen, es bleiben 9 übrig. 96 ist zu verstehen als 4*(11+13) und auf die Zusammensetzung des Oktaederelemente bezogen.

Die – bisher noch nicht berücksichtigten – FW der 4 Komplementärzahlen sind:

	131	151	373	787
Zahl	979	959	737	323	2998
FW	100	144	78	36	358
979:737 = 11(89:67) = 11156 = 111213
100+78 = 178; 144:36 = 36(4:1) = 180*

Zu 48*358 kommt also noch einmal 358 hinzu: 49*179. Die 49 Elemente des Tetraktyssterns sind in den ungeraden Mittelpunkt + 48 symmetrische Elemente aufteilbar. Die Summen 178+180 sind konstitutiv für ihre Summe 358. Die Gesamt-ZS 10091 und die FS 7093+358 = 7451 sind Primzahlen.

6. Die Summe der 143 Primzahlen von 100 bis 1000 beträgt 75067 = 271*277 = FW 548 = 4*137. Ungewöhnlich sind die aufeinanderfolgenden zwei Primzahlen. In der Aufteilung 27+1 bedeutet 271 die Summe der Zahlen von 1-7 für den Mittelpunkt des Hexagons und 6 Kreislinienpunkte:

Die Einzelziffern deuten bereits auf die Erweiterung des Hexagons zum Tetraktysstern hin, der zwei Tetraktys mit jeweils 2+1 Eckpunkte enthält.

Die Zahl 277 ist relevant in der Aufteilung 27+7 = 13+7+7+7: 13 Punkte des Hexagramms bedeuten 1+2 Kreisflächeneinheiten des äußeren Kreises, 7+(6+1) Punkte 1+(1+2) Flächeneinheiten, zusammen 3+4 = 7:

Der äußere Kreisbogen erfordert eine nochmalige Verwendung des Mittelpunktes.

Die Einzelziffern des FW 548 sind als 17 Elemente des Achsenkreuzes AK3 interpretierbar:

Die Faktoren 4*137 lassen sich auf 2 Zickzacklinien der DR beziehen:

Die Zahl 137 ist hier zu verstehen als 13 Radialemente, die 7 Kreisflächenelemente wiedergeben:

Rechnet man die Radialelemente nur einmal je Durchmesserlinie, läßt sich der Faktor 4 – als Parallele zum Achsenkreuz – ein DR-Kreuz beziehen.

7. Von den 143 Primzahlen lassen sich 14 Paare von Primzahlen, deren Umkehrung ebenfalls eine Primzahl ist, und die 15 Palindromzahlen abziehen: 16370+7093 = 23463 = 27*11*79 = FW 99; 75067-23463 = 51604 = 4*7*19*97 = FW 127. Die Umkehrfaktoren 79 und 97 sind trinitarische Komplementärzahlen zu 31 und 13. Die Summe 99+127 = 226 ist als 22+26 zu verstehen und auf zwei geometrische Figuren zu beziehen, die die Oberfläche des Oktaeders bilden:

Erstellt: Juni 2015, Oktober 2016

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